基于偏微分方程的圖像處理方法研究

基于偏微分方程的圖像處理方法研究

1、圖像濾波方法在數(shù)字圖像的處理中，由于圖像方法、條件和外部干擾，圖像信號不可避免地會受到噪聲信號的污染。圖像中的邊緣、細節(jié)特征等重要信息常湮沒于噪聲信號中,給圖像的后繼處理如邊緣檢測、圖像分割、圖像匹配等帶來很大影響,所以有必要對圖像在預處理階段去噪。圖像處理的PDE方法是從大約20世紀90年代開始,并迅速發(fā)展起來的一個新興交叉的學科分支。近年來研究表明,偏微分方程(PDE)理論可以為圖像處理提供統(tǒng)一的理論框架。基于PDE的圖像濾波方法,在去噪的同時檢測圖像特征強弱及其方向,顯示出了優(yōu)于傳統(tǒng)濾波方法的性能。對于圖像特征比較強的區(qū)域平滑程度小,對于圖像特征弱的區(qū)域平滑程度大,并且平滑時盡可能沿著圖像特征的方向進行。圖像處理的PDE方法不僅可以有效地去除噪聲,而且還可以很好地保持圖像的邊緣細節(jié)。COMSOLMultiphysics是一款大型的高級數(shù)值仿真軟件,廣泛應用于各個領域的科學研究以及工程計算,通過有限元方法模擬在科研和工程中能用PDE描述的各種問題。COMSOLMultiphysics以高效的計算性能和杰出的多場直接耦合分析能力實現(xiàn)了任意多物理場的高度精確地數(shù)值仿真,在全球領先的數(shù)值仿真領域里得到了廣泛的應用。本文在COMSOLMultiphysics平臺下利用其中的PDE模塊對三種經典的圖像處理的PDE模型進行數(shù)值仿真,達到在去除圖像噪聲的同時保持圖像的邊緣細節(jié)的效果。2、異性擴散模型基于PDE方法的圖像處理,最早開始于Gabor和Jain的研究,后來Koenderink與Witkin嚴格引入尺度空間的概念,他們的研究為PDE在圖像處理領域中的應用奠定了基礎。隨后Perona和Malik等人對此進行了深入的研究,提出了非線性擴散模型,有效地去除了圖像的噪聲,同時使邊緣得到一定程度的保持。1992年,Alvarez-Lions-Morel根據(jù)圖像灰度等值線的曲率提出了各向異性擴散模型。其中,Perona與Malik在各向異性擴散方面的論文是圖像正則化領域最有影響的研究成果。他們建議用一種保持邊界的擴散來替代基于熱傳導等式的各向同性擴散的高速光滑濾波。在此基礎上Osher與Rudin等提出沖擊濾波器,Rudin提出的全變分下降法,Price等提出的反應—擴散式,都成為當前PDE在圖像恢復領域成功應用的典范與當前的研究熱點。3、非線性擴散模型圖像處理中偏微分方程的一般形式為:其中,是一個平面有界開區(qū)間,是圖像的定義域;是Ω的邊界,n是邊界上的單位外法向量;u0(x)是初始圖像;F是依賴于的函數(shù),在濾波處理時,要求F不僅能去除噪聲,而且還能保持圖像的邊緣細節(jié)。最早用于圖像處理的PDE是熱方程,實際上是一個各向同性擴散方程。由于線性擴散在去噪時存在模糊邊緣的缺點,人們轉而去研究非線性擴散。較早的非線性擴散是Perona-Malik提出的如下模型(簡稱P-M模型):其中,是依賴于圖像梯度模的擴散函數(shù),當時,退化為熱方程。通過適當定義擴散函數(shù),P-M模型既可以去噪又能較好地保護邊緣。P-M模型用的大小來判斷某一局部區(qū)域是均勻區(qū)域還是邊緣。在均勻區(qū)域,對應較小,為了去除噪聲,擴散應近似為熱方程,即各向同性擴散;而在邊緣附近,對應較大,磨光作用應“停止”,以保護邊緣。這要求c(s)是單調減函數(shù)且整體變分(TV)圖像模型最初是為解決圖像去噪問題而引入的。整體變分去噪模型,利用了自然圖像內在的正則性,易于從噪聲圖像的解中反映真實圖像的幾何正則性。TV圖像復原模型是由Rudin、OsherandFatemi提出的,并且現(xiàn)在成為圖像復原中最成功的方法。廣義的TV去噪模型為:上述泛函Jp(u)在有界變差函數(shù)空間BV(Ω)下最小,歐拉-拉格朗日方程為:4、圖像的pde模擬COMSOLMultiphysics作為一款基于全新有限元理論、直接針對偏微分方程為研究對象的大型數(shù)值仿真軟件,成功地實現(xiàn)了任意多物理場、直接、雙向、實時耦合。目前,COMSOLMultiphysics還沒有一個專門的圖像處理模塊。本文利用COMSOLMultiphysics中的PDE模塊,通過與Matlab的連接,實現(xiàn)了三種經典的圖像處理的PDE模型。具體實現(xiàn)方法如下:(1)選擇COMSOLMultiphysics中的PDE模塊,COMSOLMultiphysics→PDE模式→PDE系數(shù)型。具體的模擬方程為:(2)將Matlab中的圖像數(shù)據(jù)以插值函數(shù)g的形式,導入到COMSOLMultiphysics中,如圖1所示,作為PDE的求解初始值。(3)設置方程的求解域為初始圖像的大小,初始值為插值函數(shù),設定求解系數(shù)使其滿足圖像處理的PDE模型。其中線性擴散模型的系數(shù)設置為:非線性擴散P-M模型的系數(shù)設置為:圖像復原模型的系數(shù)設置為:(5)對求解域進行網格劃分,通過控制求解器中的時間步長進行求解,得到不同時刻的濾波圖像。5、圖像噪聲對比實驗利用COMSOLMultiphysics軟件對三種經典的圖像處理的PDE模型進行數(shù)值仿真,實驗過程中我們控制COMSOL求解器參數(shù)中的迭代時間,選擇不同時刻的濾波圖像,并對三種模型的去噪和保持邊緣的能力進行了對比分析,實驗結果如下:從實驗結果可以看出,圖像處理的PDE方法很好地去除了圖像中的噪聲,有效地降低了干涉圖中殘差點的數(shù)目,并且保持了較高的峰值信噪比。P-M模型和TV模型相比于線性擴散在去除圖像噪聲的同時,也使得圖像的邊緣細節(jié)得到了一定程度的保持。6、pde優(yōu)化模型本文對圖像處理的PDE方法進行了詳細地分析,研究了基于PDE的圖像濾波的基本思想和理論