mems流行病的數(shù)學(xué)模型與流行特征分析

mems流行病的數(shù)學(xué)模型與流行特征分析

2002年12月以來(lái)，廣東省一些地區(qū)出現(xiàn)了以“高、干咳、哮喘或呼吸困難、肺x線淺潤(rùn)性陰影”為主要臨床特征的非典型肺炎。15日，世界衛(wèi)生組織將該疾病命名為嚴(yán)重急性呼吸道綜合征。這種疾病具有強(qiáng)烈的傳染性，可以通過(guò)近距離接觸和唾液傳播。由于人們對(duì)這種新型疾病的病因、傳染病、診斷和治療方法不太了解，因此他們很少關(guān)注，因此他們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)傳播到香港、北京、加拿大、新加坡、泰國(guó)、越南等地。從2003年5月27日開始，世界上31個(gè)國(guó)家和地區(qū)發(fā)現(xiàn)了8211例非典型肺炎，735例死亡，4787例康復(fù)，8.94%。在中國(guó)，有26例病例報(bào)告了這一疾病，8311例非典型肺炎患者死亡，47477例患者康復(fù)，8.94%的死亡率為8.5%。在中國(guó)，有26例病例報(bào)告了這一疾病，3036例患者死亡，涂膠試驗(yàn)和異常規(guī)律。對(duì)于中國(guó)和世界其他國(guó)家和地區(qū)的西方疫情情況有明顯改善，但由于缺乏準(zhǔn)確的傳播源、傳播路徑、疾病機(jī)制、流行趨勢(shì)和變異規(guī)律，目前還沒(méi)有確定具體的疫苗和處理藥物。此外，國(guó)家決策部門還需要確定現(xiàn)有干預(yù)措施的影響，以及是否可以在短時(shí)間內(nèi)確定非洲的發(fā)展趨勢(shì)。我們需要科學(xué)方法，在調(diào)查的基礎(chǔ)上，闡明“非洲”的流行趨勢(shì)。本文用傳染病模型對(duì)部分國(guó)家和地區(qū)的SARS疫情進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模擬,模擬結(jié)果與實(shí)際疫情比較吻合.在此基礎(chǔ)上對(duì)疫情的發(fā)展提出了預(yù)測(cè),以期有利于對(duì)疫情的防范和控制.2關(guān)于s根據(jù)SARS流行特點(diǎn),為簡(jiǎn)化起見(jiàn),模型僅考慮以下三個(gè)未知量:易感類S(t)、傳染類I(t)以及移除類(表示t時(shí)刻病愈或因染病而死亡)R(t).三者之和保持常數(shù)1,即S(t)+I(t)+R(t)=1.參數(shù)α>0為傳染率,β>0為移除率,τ=1/β即為病程.其模式為SαΙS→ΙβΙ→RS?→αISI→βIR根據(jù)文獻(xiàn),給出以下SARS傳染病模型:{dSdt=-αSΙdΙdt=αSΙ-βΙdRdt=βΙ(1)?????????dSdt=?αSIdIdt=αSI?βIdRdt=βI(1)其中S+I+R=1.模型中前兩個(gè)方程與R(t)無(wú)關(guān),所以可以從前兩個(gè)方程求出I(t)與S(t)之間的關(guān)系.即先考慮{dSdt=-αSΙdΙdt=αSΙ-βΙ(2){dSdt=?αSIdIdt=αSI?βI(2)消去dt,得一階方程dΙdS=αSΙ-βΙ-αSΙ=-1+βαS記ρ=βα,則上述方程變?yōu)閐Ιdt=-1+ρS顯然這是變量可分離的方程,分離變量并積分即得Ι(S)=Ι0+S0-S+ρlnSS0因?yàn)棣?S)=-1+ρS,由此可知:當(dāng)S>ρ時(shí),I′(S)<0,故I(S)嚴(yán)格單減;當(dāng)S<ρ時(shí),I′(S)>0,故I(S)嚴(yán)格單增.由此可知I=I(S)的圖像如圖1所示.由dSdt=-αSΙ≤0知,S(t)始終是單減的,所以對(duì)任何的t>0,都有S(t)≤S0.若記r=S0ατ,則當(dāng)r<1時(shí),即S0<ρ時(shí),有dΙdt=αSΙ-βΙ=βΙ(Sρ-1)＜0這說(shuō)明當(dāng)r<1時(shí),傳染病將逐漸消失而不流行.而當(dāng)r>1,即S0>ρ時(shí),由圖1可知,隨時(shí)間的增大,I(t)將增大到最大值以后開始減少,最后消亡.這表明當(dāng)r>1時(shí),傳染病會(huì)流行.可見(jiàn)r=1是個(gè)很重要的數(shù)值.稱r為再生數(shù),r=1為傳染病流行與否的閾值.3跟蹤模擬結(jié)果用以上SARS傳染病模型對(duì)中國(guó)香港、加拿大、新加坡的SARS疫情進(jìn)行了跟蹤模擬,并對(duì)中國(guó)臺(tái)灣以及我國(guó)內(nèi)陸北京市、河北省、山西省和內(nèi)蒙古自治區(qū)的SARS感染情況進(jìn)行了模擬和預(yù)測(cè),計(jì)算了反映病毒感染特性和人為干預(yù)行為的模型參數(shù),模擬結(jié)果與實(shí)際疫情比較吻合,見(jiàn)圖3—圖6.其中香港、加拿大、新加坡、臺(tái)灣的疫情數(shù)據(jù)來(lái)自世界衛(wèi)生組織的官方網(wǎng)站,(香港的部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)自香港衛(wèi)生署網(wǎng)站);國(guó)內(nèi)的數(shù)據(jù)來(lái)自國(guó)家衛(wèi)生部的新聞發(fā)布,時(shí)間范圍為4月20日—6月9日.根據(jù)網(wǎng)站每日發(fā)布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),利用最小二乘法確定模型(1)中所用的參數(shù),表1列出了截止到6月9日所擬合的相關(guān)參數(shù)及其生物意義.在對(duì)疫情跟蹤模擬的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)這些參數(shù)是隨病情的發(fā)展而不斷變化的,同時(shí),參數(shù)的變化也反映出人為的控制.圖2繪出了中國(guó)香港地區(qū)傳染病模型的參數(shù)隨時(shí)間變化情況(其中的天數(shù)是擬合采用的數(shù)據(jù)天數(shù),從3月12日起),從中看出傳染率α呈單調(diào)減小的趨勢(shì),這明顯反映了人為的控制因素使傳染率不斷減小;而移除率β呈單調(diào)增加的趨勢(shì),顯示病程在逐漸縮短.4般資料:疫情下的cs流行病,傳統(tǒng)模型和實(shí)際情況時(shí)一般在思1)圖3—圖6分別為新加坡、中國(guó)香港、中國(guó)臺(tái)灣以及北京市的SARS疫情變化與模擬結(jié)果的比較圖,圖中實(shí)線為計(jì)算曲線,圓圈表示實(shí)際數(shù)據(jù).從各地疫情變化圖及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析SARS流行特征,發(fā)現(xiàn)都有明顯的發(fā)病高峰時(shí)段.以香港為例,3月16日以前,每日雖有確診和疑似病例報(bào)告,但染病人數(shù)較少.3月17日開始,疫情迅猛發(fā)展,患病人數(shù)每天都以兩位數(shù)字增長(zhǎng),這種狀態(tài)大約持續(xù)到5月3日左右.這段時(shí)間累計(jì)感染1579人,占目前總患病人數(shù)的90.8%,可以看作是發(fā)病高峰.從5月4日開始,疫情出現(xiàn)平緩趨勢(shì),每日?qǐng)?bào)告的確診和疑似病例均以個(gè)位數(shù)字出現(xiàn),且出現(xiàn)穩(wěn)中漸降勢(shì)態(tài)走勢(shì),預(yù)示疫情已被基本控制.其它地區(qū)疫情的發(fā)展也呈現(xiàn)明顯的三個(gè)階段.2)對(duì)同樣的SARS流行病,不同國(guó)家和地區(qū)的傳染率存在一定差異,可見(jiàn)傳染率不僅與傳染病類型有關(guān),而且與各地區(qū)人口密度、發(fā)病順序及控制力度等因素有關(guān).而移除率β也有較大差異,τ=1/β即為病程,所研究地區(qū)平均病程為22天,與實(shí)際情況相符.3)通過(guò)該模型可以反推計(jì)算各地區(qū)出現(xiàn)首例SARS患者的時(shí)間.按先后順序:中國(guó)香港是2月21日,新加坡是2月23日,加拿大是2月25日,中國(guó)臺(tái)灣是3月13日,山西是3月15日,北京市是3月18日,內(nèi)蒙古是4月4日,河北是4月8日.這個(gè)結(jié)果與實(shí)際情況基本相符,而且各地區(qū)出現(xiàn)首例患者的先后順序也與實(shí)際報(bào)道一致.4)如前所述,再生數(shù)r是一個(gè)重要的數(shù)值,當(dāng)r<1時(shí),傳染病將逐漸消失而不流行,而當(dāng)r>1時(shí),傳染病會(huì)流行.因此,為防止傳染病流行,理論上應(yīng)設(shè)法減小再生數(shù)r,使其小于1.從r=S0ατ可以看出,通過(guò)加強(qiáng)治療可以縮短病程τ;盡早隔離,以避免與染病者接觸,可以減小傳染率α;同時(shí)應(yīng)設(shè)法減少易感者人數(shù)S0,為此,醫(yī)學(xué)上應(yīng)該加強(qiáng)防疫,及時(shí)研制疫苗以增加易感者免疫力;將染病者迅速隔離可以減少易感者染病的機(jī)會(huì),等等,都是控制易感者數(shù)目的重要措施.5)由后