2023江蘇省高考數(shù)學真題

2024江蘇省高考數(shù)學真題2024年一般高等學校招生全國統(tǒng)一考試江蘇卷數(shù)學全解全析

數(shù)學Ⅰ試題

參考公式：錐體的體積公式:V錐體=

1

3

Sh，其中S是錐體的底面積，h是高。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應的位．．．．．．．置上．．

.1、設集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實數(shù)a=______▲_____.

2、設復數(shù)z滿意z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為______▲_____.

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_▲__.

4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_▲___根在棉花纖維的長度小于20mm。

5、設函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則實數(shù)a=_______▲_________

注意事項

考生在答題前請仔細閱讀本留意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題（第1題——第14題）、解答題（第15題——第20題）。本卷滿分160分，考試時間為120分鐘。考試結束后，請將本卷和答題卡一并交回。

2.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。

3.請仔細核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您本人是否相符。

4.請在答題卡上根據(jù)晤挨次在對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效。作答必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆。請留意字體工整，筆跡清晰。

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清晰，線條、符號等須加黑、加粗。

6.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。

6、在平面直角坐標系xOy中，雙曲線

112

42

2=-yx上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是___▲_______

7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是______▲_______

8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____

9、在平面直角坐標系xOy中，已知圓42

2

=+yx上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是______▲_____

10、定義在區(qū)間??

?

?

?

20π,

上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1⊥x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_______▲_____。

11、已知函數(shù)2

1,0()1,

0xxfxx?+≥=?的x的范圍是__▲___。

12、設實數(shù)x,y滿意3≤2

xy≤8，4≤yx2≤9，則43

y

x的最大值是▲。

13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，

6cosba

Cab

+=，則tantantantanCC

AB

+=____▲_____。

14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記

2

(S=梯形的周長）梯形的面積

,則S的最小值是____▲____。

二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.15、（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系xOy中，點A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿意(OCtAB-)·OC=0，求t的值。

16、（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。(1)求證：PC⊥BC；

(2)求點A到平面PBC的距離。

17、（本小題滿分14分）

某愛好小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)該小組已經(jīng)測得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α-β最大？

18、（本小題滿分16分）

在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓15

92

2=+yx的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（mt,）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M),(11yx、),(22yxN，其中m>0,0,021yy。

（1）設動點P滿足422=-PBPF,求點P的軌跡；（2）設3

1

,221=

=xx，求點T的坐標；（3）設9=t,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。

19、（本小題滿分16分）

設各項均為正數(shù)的數(shù)列{}na的前n項和為nS，已知3122aaa+=，數(shù)列{}n

S是公差為d

的等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列{}na的通項公式（用dn,表示）；

（2）設c為實數(shù)，對滿足nmknm≠=+且3的任意正整數(shù)knm,,，不等式knmcSSS>+都成立。求證：c的最大值為2

9

。

20、（本小題滿分16分）

設)(xf是定義在區(qū)間),1(+∞上的函數(shù)，其導函數(shù)為)('xf。假如存在實數(shù)a和函數(shù)

)(xh，其中)(xh對任意的),1(+∞∈x都有)(xh>0，使得)1)(()('2+-=axxxhxf，則稱

函數(shù))(xf具有性質(zhì))(aP。(1)設函數(shù))(xf2

ln(1)1

bxxx+=+

>+，其中b為實數(shù)。(i)求證：函數(shù))(xf具有性質(zhì))(bP；(ii)求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間。

(2)已知函數(shù))(xg具有性質(zhì))2(P。給定1212,(1,),,xxxx∈+∞>βα，

若|)()(βαgg-|??12、考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉化思想。

22()xy∈，211183xy∈，322421()xxyyxy=?∈，43

y

x的最大值是27。13、考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)學問的應用，等價轉化思想。一題多解。

（方法一）考慮已知條件和所求結論對于角A、B和邊a、b具有輪換性。

當A=B或a=b時滿意題意，此時有：1cos3C=

，21cos1

tan21cos2

CCC-==+，

tan2C=，

1tantantan2

ABC==

=，

tantantantanCC

AB

+

=4。（方法二）

226cos6cosba

CabCabab

+=?=+，

22222222

36,22

abccabababab+-?=++=

2tantansincossinsincossinsin()1sintantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABCABCABCABCAB

+++=?=?=?由正弦定理，得：上式=222

2

2214113cos()662

ccccCabab=?===+?14、考查函數(shù)中的建模應用，等價轉化思想。一題多解。

設剪成的小正三角形的邊長為x

，則：22

2

(3)(01)1xSxx-==遞增；

故當1

3

x=

時，S

的最小值是3。

（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。

令111

3,(2,3),(,)32xttt-=∈∈

，則：222186681tStttt

==-+--+-

故當131

,83

xt==時，S

的最小值是3。

一、解答題

15、本小題考查平面對量的幾何意義、線性運算、數(shù)量積，考查運算求解力量。滿分

14分。

（1）（方法一）由題設知(3,5),(1,1)ABAC==-uuuruuur

，則(2,6),(4,4).ABACABAC+=-=uuuruuuruuuruuur

所以||210,||42.ABACABAC+=-=uuuruuuruuuruuur

故所求的兩條對角線的長分別為42、210。

（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則:

E為B、C的中點，E（0，1）

又E（0，1）為A、D的中點，所以D（1，4）故所求的兩條對角線的長分別為BC=42、AD=210；

（2）由題設知：OCuuur=(－2,－1)，(32,5)ABtOCtt-=++uuuruuur

。

由(OCtAB-)·OC=0，得：(32,5)(2,1)0tt++?--=，

從而511,t=-所以115

t=-

?；蛘撸?·ABOCtOC=uuuruuuruuur，(3,5),AB=uuu

r2115

||

ABOCtOC?==-uuuruuuruuur

16、本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象力量、推理論證力量和運算力量。滿分14分。

（1）證明：由于PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PDIDC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD。

由于PC?平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，由于PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知

DF=

2

，故點A到平面PBC

。（方法二）體積法：連結AC。設點A到平面PBC的距離為h。由于AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。從而AB=2，BC=1，得ABC?的面積1ABCS?=。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積1133

ABCVSPD?=

?=。由于PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1

，所以PC=

=

由PC⊥BC，BC=1，得PBC?

的面積2

PBCS?=。由APBCPABCVV--=，11

33

PBCShV?==V

，得h=故點A到平面PBC

17、本題主要考查解三角形的學問、兩角差的正切及不等式的應用。（1）

tantanHHADADββ=?=，同理：tanHABα

=，tanhBDβ=。AD—AB=DB，故得

tantantanHHhβαβ-=，解得：tan41.24

124tantan1.241.20

hHαβα?===--。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設知dAB=，得tan,tanHHhHh

dADDBdαβ-=

===

，2tantantan()()

1tantan()1HHhhdhddHHhHHhdHHhdddd

αβαβαβ--

--====

--+?+-+?+

()HHhdd

-+≥

當且僅當d=取等號）

故當d=tan()αβ-最大。由于02

π

βα

，得m=

此時直線MN的方程為1x=，過點D（1，0）。

若12xx≠

，則m≠MD的斜率222

2

4010802403401

80MD

m

mmkmm

m+==---+，直線ND的斜率222

2

20242036040120NDm

mmkmmm

-+==

---+，得MDNDkk=，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過x軸上的點（1，0）。

19、本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關學問，考查探究、分析及論證的力量。滿分16分。（1）由題意知：0d>，

(1)(1)ndnd=-=-

21323213233()aaaaSSSS=+?=?-=

，22213)]2),dad-=

化簡，得：2

2

11,adddad-+===

22(1),ndndndSnd=+-==，

當2n≥時，22222

1(1)(21)nnnaSSndndnd-=-=--=-，適合1n=情形。故所求2

(21)nand=-

（2）（方法一）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

mnkSScSmdndckdmnck+>?+>??+>?，222

mnck

++=?

>，故92

c≤

，即c的最大值為29

。

d=

(1)nd=-，得0d>，22

nSnd=。

于是，對滿意題設的knm,,，mn≠，有

22

2

2

222()99

()222

mnkmnSSmndddkS++=+>==。

所以c的最大值max92c≥

。另一方面，任取實數(shù)92a>。設k為偶數(shù)，令33

1,122

mknk=+=-，則knm,,符合條件，

且222222

22331()(94)222

mnSSmnddkkdk+=+=++-=+。

于是，只要2

2

942kak+所以)('xf0>，故此時)(xf在區(qū)間),1(+∞上遞增；當2b>時，()x?圖像開口向上，對稱軸12

b

x=

>，方程()0x?=的兩根為：

2244,22bbbb+---，而222441,(0,1)4

bbbbbb+--->=∈+-

當24(1,

)bbx+-∈時，()x?0時，)(xf在2

4(1,)bb+-上遞減；

)(xf在2

4[,)bb+-+∞上遞增。

(2)（方法一）由題意，得：22

'()()(21)()(1)gxhxxxhxx=-+=-又)(xh對任意的),1(+∞∈x都有)(xh>0，

所以對任意的),1(+∞∈x都有()0gx'>，()gx在(1,)+∞上遞增。又1212,(21)()xxmxxαβαβ+=+-=--。當1

,12

mm>

≠時，αβ對于任

意的),1(+∞∈x都成立。所以，當1x>時，2

'()()(1)0gxhxx=->，從而()gx在區(qū)間

),1(+∞上單調(diào)遞增。

①當(0,1)m∈時，有12111(1)(1)mxmxmxmxxα=+->+-=，

12222(1)(1)mxmxmxmxxα=+->及()gx的單調(diào)性知

12()()()()ggxgxgβα≤<≤，所以|)()(βαgg-|≥|)()(21xgxg-|，與題設不符。

③當1m≥時，同理可得12,xxαβ≤≥，進而得|)()(βαgg-|≥|)()(21xgxg-|，與題設不符。

因此綜合①、②、③得所求的m的取值范圍是（0，1）。

21、A本題主要考查三角形、圓的有關學問，考查推理論證力量。（方法一）證明：連結OD，則：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）證明：連結OD、BD。

由于AB是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2OB。由于DC是圓O的切線，所以∠CDO=900。又由于DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。

B本題主要考查圖形在矩陣對應的變換下的變化特點，考查運算求解力量。滿分10分。

解：由題設得0010011010kkMN??????

==?

???????????

由00220240001022kk--??????

=?

?????

--??????

，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。計算得△ABC面積的面積是1，△A1B1C1的面積是||k，則由題設知：||212k=?=。所以k的值為2或-2。

C本題主要考查曲線的極坐標方程等基本學問，考查轉化問題的力量。滿分10分。解：2

2cosρρθ=，圓ρ=2cosθ的一般方程為：2

2

2

2

2,(1)1xyxxy+=-+=，

直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的一般方程為：340xya++=，

1,=解得：2a=，或8a=-。

D本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的力量。滿分10分。

（方法一）證明：3322)ababab++=+

55]=-

2432234]=++++

由于實數(shù)a、b≥0，2432234

]0≥++++≥

所以上式≥0。即有33

22)abab+≥+。

（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得

3322)ababab++=+

55]=-

當ab≥55≥，得55]0-≥；

當ab<55<，得55]0-<；

所以33

22)abab+≥

+。

22、本題主要考查概率的有關學問，考查運算求解力量。滿分10分。解：（1）由題設知，X的可能取值為10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列為：

（2）設生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4n-件。由題設知4(4)10nn--≥，解得14

5

n≥，又nN∈，得3n=，或4n=。

所求概率為3

344

0.80.20.80.8192PC=??+=答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192。

23、本題主要考查余弦定理、數(shù)學歸納法等基礎學問，考查推理論證的力量與分析問題、解決問題的力量。滿分10分。

（方法一）（1）證明：設三邊長分別為,,abc，222

cos2bcaAbc

+-=，∵,,abc是有理數(shù)，

222bca+-是有理數(shù)，