2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019題型講義第4講平面向量萬能建系法5種常見題型

第4講平面向量萬能建系法5種常見題型【考點分析】考點一：常見建立坐標(biāo)系方法邊長為的等邊三角形正方形已知夾角的任意三角形矩形直角梯形平行四邊形等腰梯形圓【題型目錄】【題型目錄】題型一：建坐標(biāo)系求向量值題型二：三角形建坐標(biāo)系求向量最值問題題型三：四邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題題型四：多邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題題型五：建坐標(biāo)系設(shè)三角函數(shù)求向量最值問題【典型例題】題型一：建坐標(biāo)系求向量值【例1】如圖在中，，為中點，，，，則（）A．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到各點坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運算法則求出，，從而求出數(shù)量積.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，，則，即，即，則，，則，；故選：C．【例2】已知正方形的邊長為2，以為邊作正三角形，使得位于直線的兩側(cè)，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，以為軸非負半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，由正三角形及正方形的邊長為2可知，，所以.故選：D【例3】，其中，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．B．C．D．在方向上的投影向量為【答案】C【分析】選擇合適的位置建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，逐項驗證即可.【詳解】由題意，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：在正八邊形中，由過作因為，所以，所以對A選項：，故A正確，對B選項：，故B正確，對C選項：所以所以，故C不正確，對D選項：所以在方向上的投影向量為：，故D正確故選：C.【例4】《九章算術(shù)》中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”其大意為現(xiàn)有水池丈見方（即丈尺），蘆葦生長在水池的中央，長出水面部分的長度為尺．將蘆葦向池岸牽引，牽引至恰巧與水岸齊接的位置（如圖所示）．試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？若將蘆葦均視為線段，在蘆葦移動的過程中，設(shè)其長度不變，則（）．A．平方尺B．平方尺C．平方尺D．平方尺【答案】C【分析】設(shè)（尺），利用勾股定理可構(gòu)造方程求得，以為坐標(biāo)原點可建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)（尺），則（尺），（尺），，解得：．以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（單位：尺），則，，，，，，（平方尺）．故選：C.【例5】已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】以點A為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點、、、，，則點，，，因此，，.【題型專練】1．已知矩形中，，，，，則（）A．6B．10C．14D．38【答案】C【分析】以為原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由條件得出點的坐標(biāo)，進而得出向量的坐標(biāo)，從而得出向量的數(shù)量積.【詳解】以為原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則,由，則,由，則所以,所以故選：C2．（多選題）已知是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是，上的點，且，，與交于點O，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．在方向上的投影為【答案】BD【分析】以E為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，用向量的線性運算、數(shù)量積、向量的模坐標(biāo)運算以及數(shù)量積的幾何意義判斷各選項．【詳解】因為是邊長為2的等邊三角形，，所以E為的中點，且，以E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，,由得，則，取的中點G，連接，易得且，所以，所以，則.對于A，，故A錯誤；對于B，由可得，故B正確；對于C，，，，，所以，所以，故C錯誤；對于D，，，所以在方向上的投影為，故D正確.故選：BD.3．已知矩形，，．為矩形所在平面內(nèi)一點，，．則______．【答案】0【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得點坐標(biāo)滿足的關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得結(jié)果.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：則，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，因為，，故可得，上述兩式相減可得：；則.故答案為：.4．如圖，四邊形是邊長為8的正方形，若，且為的中點，則___________.【答案】20【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出來，的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)求數(shù)量積即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，則，，所以.故答案為：20.5．已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形邊長為，則___________.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解即可【詳解】由圖可得，故故答案為：題型二：三角形建坐標(biāo)系求向量最值問題【例1】已知在邊長為的正三角形中，?分別為邊?上的動點，且，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系由數(shù)量積坐標(biāo)運算公式可得答案.【詳解】如圖建系，則??，則，，設(shè)()，則()，則，，∴，，∴，當(dāng)時取最大值，故選：B.【例2】已知是邊長為1的正三角形，若點滿足，則的最小值為A．B．1C．D．【答案】C【解析】以為原點，所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，∵為邊長為的正三角形，，∴，，∴.故選C．【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為（）A．－B．0C．4D．－1【答案】A【解析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，寫出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)計算數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)果.【詳解】依題意，以C為坐標(biāo)原點，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為y＝－x＋2，因為點P在邊AC的中線BD上，所以可設(shè)P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，當(dāng)t＝時，·取得最小值－，故選：A.【點睛】本題考查用解析法求平面向量的數(shù)量積，注意參數(shù)范圍即可，屬基礎(chǔ)題.【例4】已知是邊長為的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出各個點的坐標(biāo)，進而利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得；利用平方為非負數(shù)的特性求得最小值．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)，則所以所以最小值為所以選B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積在平面幾何中的簡單應(yīng)用，建立坐標(biāo)系是常用的方法，屬于中檔題．【例5】在直角△中，,為邊上的點且，若，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D【詳解】分析：把三角形放入直角坐標(biāo)系中，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用已知條件即可求出λ的取值范圍．詳解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C為坐標(biāo)原點CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：C（0，0），A（1，0），B（0，1），，∵=λ，∴λ∈[0，1]，，．?≥?，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故選D．點睛：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及向量的坐標(biāo)運算，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．【例6】已知，，，若點是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以題意，以點為坐標(biāo)原點，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以點，，，所以==13（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以的最大值為13．故選A．【題型專練】1．已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點為坐標(biāo)原點，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時，取得最小值，故選：．2．在中，滿足，是的中點，若是線段上任意一點，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知可得為等腰直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得向量的數(shù)量積，進而可得最值.【詳解】由，，為等腰直角三角形，以為原點，，為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，是的中點，，是線段上任意一點，可設(shè)，，，，，，，故當(dāng)時，的最小值為，故選：C．3．在中，P在邊的中線上，則的值可以為（）A．B．0C．5D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，寫出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)計算數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得·的最值得選項.【詳解】解：依題意，以C為坐標(biāo)原點，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為y＝－x＋2，因為點P在邊AC的中線BD上，所以可設(shè)P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，當(dāng)t＝時，·取得最小值－，當(dāng)時，·取得最大值4.故選：AB.4．在中，，，，M是所在平面上的動點，則的最小值為________．【答案】【解析】以A為原點，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐標(biāo)，設(shè)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，可得的表達式，即可求得答案.【詳解】以A為原點，AC所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示：因為，，，所以，設(shè)，則，所以=，當(dāng)時，有最小值，且為，故答案為：【點睛】解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求得點坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式的坐標(biāo)公式求解，考查分析理解，計算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題.5．如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D為BC邊上的任意一點，M為線段AD的中點，則的最大值是_____．【答案】7【分析】根據(jù)余弦定理求得，以B為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求得點坐標(biāo)，向量坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則計算，再利用二次函數(shù)的最值，求得答案.【詳解】由余弦定理得，，所以以B為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，當(dāng)時，的最大值，最大值是7.故答案為：7.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，求向量數(shù)量積的最值，屬于較難題.6．已知，是的中點(1)若，求向量與向量的夾角的余弦值；(2)若是線段上的任意一點，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出數(shù)據(jù)，寫出向量與向量的坐標(biāo)，代入夾角公式，計算得答案；（2）設(shè)動點的坐標(biāo)，寫出各個向量的坐標(biāo)，代入計算得關(guān)于的目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，求得最小值.（1）因為，所以，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．令，則，所以,設(shè)向量與向量的夾角為，所以；（2）因為，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值．題型三：四邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題【例1】如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．【答案】(1).(2).【解析】，，，，解得，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時，取得最小值.【例2】如圖，四邊形ABCD滿足：．若點M為線段BD上的動點，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由題設(shè)有、，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.【詳解】由題意知：，有且，即，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)點，且滿足，點，∴，其中，當(dāng)時，的最小值為，故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)建坐標(biāo)系，設(shè)且在上，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【例3】已知點P是邊長為2的菱形內(nèi)的一點(包含邊界)，且，的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖建系，可求得A,B,C,D的坐標(biāo)，設(shè)，則可得的表達式，根據(jù)x的范圍，即可求得答案.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，故，即的取值范圍是.故選：A【例4】如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，點E從D點出發(fā)，按字母順序D→A→B→C沿線段DA，AB，BC運動到C點，在此過程中的最大值是（）A．0B．C．1D．﹣1【答案】A【分析】以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，表示出、、點坐標(biāo)，然后分類討論在線段DA，AB，BC時，并結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式求的最大值即可求解.【詳解】以BC、BA所在直線為x軸、y軸，建立坐標(biāo)系如圖:可得，，，，①當(dāng)E在DA上，設(shè)，其中，此時，，故；②當(dāng)E在AB上，設(shè)，，此時，此時最大值為0；③當(dāng)E在BC上，設(shè)，其中，，，此時，綜上所述，的最大值是0.故選：A．【例5】如下圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點M為邊BC上的動點，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】以點為原點，以，所在的直線為和軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，即可求解.【詳解】以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，過點作軸，過點作軸，因為且，則，所以，設(shè)，則，所以，所以的最小值為.故答案為：B.【題型專練】1．正方形邊長為，點在線段上運動，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點坐標(biāo)，求出各點及的坐標(biāo)，代入所求表達式，化簡后可求得取值范圍.【詳解】以，為，軸建立直角坐標(biāo)系則，，，，，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，函數(shù)有最大值為，當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本小題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算，解題的關(guān)鍵點是建立平面直角坐標(biāo)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.2．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的最小值為______.【答案】5【分析】以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求模長的最小值.【詳解】由題：以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，當(dāng)取得最小值.故答案為：5【點睛】此題考查平面向量線性運算和模長的坐標(biāo)表示，恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系將模長問題進行轉(zhuǎn)化利于解題.3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，求：(1)的值；(2)的最大值．【答案】(1)1，(2)1【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.(1)解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，所以；(2)因為，所以，因為，所以的最大值是1.4．如圖，分別是矩形的邊和上的動點，且.（1）若都是中點，求.（2）若都是中點，是線段上的任意一點，求的最大值.（3）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求.（2）設(shè)，由求關(guān)于的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值.（3）設(shè)，則，可得，再應(yīng)用輔助角公式、三角恒等變換及余弦函數(shù)的性質(zhì)求的最小值.【詳解】（1）以點A為原點建系，得,,，∴.（2）由（1）知，設(shè)，∴，，∴當(dāng)時，最大值.（3）設(shè)，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故最小值是.5．如圖，在梯形中，，，，，，（1）________．（2）P是上的動點，則的最小值為___________．【答案】

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11【分析】（1）根據(jù)圖形，應(yīng)用數(shù)量積的定義求即可.（2）令且，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)量積的運算律得到關(guān)于的函數(shù)，即可求最小值.【詳解】（1）由題設(shè)知：.（2）若且，∵，，∴，∴，故當(dāng)時，的最小值為11.故答案為：4，11.題型四：多邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題【例1】如圖，正八邊形中，若，則的值為________．【答案】【分析】以所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形的中心即為坐標(biāo)原點，設(shè)交軸與點，由正八邊形的性質(zhì)可得軸，為等腰直角三角形，設(shè)，求出、、、點坐標(biāo)及、、坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)運算可得答案.【詳解】如圖，以所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形的中心即為坐標(biāo)原點，設(shè)交軸與點，，，所以，，所以，即軸，為等腰直角三角形，設(shè)，則，，所以，所以，，與關(guān)于軸對稱，所以，，，，由得，即，解得，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了平面向量坐標(biāo)法解決幾何問題，建立坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，還考查了向量的加法運算，考查方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．【例2】設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計算公式即可得到，然后利用即可解出．【詳解】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因為，所以，故的取值范圍是.故答案為：．【題型專練】1.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范用是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，題型五：建坐標(biāo)系設(shè)三角函數(shù)求向量最值問題【例1】（多選題）如圖，直角的斜邊BC長為2，，且點B，C分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動，點A在線段BC的右上方則（）A．有最大值也有最小值B．有最大值無最小值C．有最小值無最大值D．無最大值也無最小值【答案】BD【分析】設(shè)，則，所以，，.由化簡為根據(jù)的范圍可判斷A；由化簡為根據(jù)的范圍可判斷B；由化簡為根據(jù)的范圍可判斷C；由化簡為根據(jù)的范圍可判斷D.【詳解】由題意，，所以，設(shè)，則的補角即與x軸正半軸的夾角，所以，，，所以，，由于，所以，當(dāng)?shù)脮r，取最大值為1，無最小值，有最大值為，無最小值，故有最大值無最小值，即A錯誤；所以，由于，所以，當(dāng)?shù)脮r，取最大值為1，無最小值，的最大值為，無最小值，故有最大值無最小值，故B正確；，由于，所以，當(dāng)?shù)脮r，取最大值1，無最小值，此時有最大值，無最小值，即有最大值無最小值，故C錯誤；，由于，所以，所以，既無最大值也無最小值，D正確.故選：BD.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積、模長的坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵點是建立坐標(biāo)系后求出各點的坐標(biāo)，把數(shù)量積、模長用坐標(biāo)表示，再根據(jù)的范圍求解，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計算能力.【例2】騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的直徑均為1，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為1的等邊三角形．設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（）A．3B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點的坐標(biāo)求出來，其中點坐標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．【詳解】以為坐標(biāo)原點，為軸，過做的垂線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，圓的方程為，可設(shè)，所以．故．所以的最大值為故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運算計算向量的數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于較難題.【例3】如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角的斜邊，直角邊，．若，，E為半圓弧的中點，F(xiàn)為半圓弧上的任一點，則的最大值為（）A．B．C．D．4【答案】B【分析】如圖，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，求出點坐標(biāo)，寫出半圓弧的方程，設(shè)出點坐標(biāo)，用坐標(biāo)法計算，利用三角函數(shù)性質(zhì)求得最大值．【詳解】如圖，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，半圓弧的方程為，設(shè)（），，，，則，時取得最小值是，所