恒成立與存在性問題概況

恒成立與存在性問題-內(nèi)容分析：“恒成立”問題一直是中學數(shù)學的重要內(nèi)容。它是函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角等內(nèi)容交匯處的一個非常活躍的知識點?！安坏仁胶愠闪ⅰ眴栴}涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象滲透和換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學思想方法。“不等式恒成立”問題對培養(yǎng)學生的綜合解題能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用?！安坏仁胶愠闪ⅰ眴栴}是歷年高考的熱點。學習目標：1、 通過本專題，使學生能夠掌握“恒成立”問題的常見解法，提高橫向、逆向、創(chuàng)造性的思維能力。2、 在自主探究和合作交流中，經(jīng)歷知識點產(chǎn)生和形成過程，不僅重視對研究的掌握和應用，更重視對研究方法的思想滲透以及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)。3、 進一步提升理性思維能力，激發(fā)學生更積極主動的學習精神和探究勇氣。-過程與方法：培養(yǎng)分析、解決問題的能力，體驗函數(shù)思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。?學習重點：理解解決不等式恒成立問題的實質(zhì)，有效掌握不等式恒成立問題的基本技能。-學習難點：利用轉(zhuǎn)化思想，通過函數(shù)的性質(zhì)與圖像化歸至最值問題來處理恒成立問題。自主探究1、已知尤>0,y>0，且-+-=1，若x+2y>m2+2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為尤y2、不等式ax2+ax+2>0對任意xeR恒成立，則a的取值范圍為.3、不等式ax2+ax-2>0的解集為4，則a的取值范圍為.4、 當xe11,3］時，不等式x2+ax+2>0恒成立，則a的范圍為.5、 當ae11,3］時，不等式x2+ax+2>0恒成立，則x的范圍為.一恒成立問題的具體題型1.具體值米仁。,均有/(k)>A恒成立，則大矽點>4；均有fx)<A恒成立，則fx)max<A.范例1.(課本習題)：若f(x)=x2-ax+2>0,對xe［2,3］恒成立，則實數(shù)】的取值范圍.(2010.成都二診)1 -已知函數(shù)^(x)=ax一 (a>1),且af(2t)+mf(t)>0ax對于te［1,2］恒成立，則實數(shù)農(nóng)的取值范圍？x已知函數(shù)f(x)=(x-k)2ek。(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)若對于任意的xe(0,+8)，都有f(x)<1，求k的取值范圍。e變式探究2：若不等式x2-ax+2>0,對ae[2,3]恒成立，則實數(shù)尤的取值范圍.同一自變量的兩個函數(shù)x《D,均有/W>g(K)恒成立，則F(x)=f(x)-g(x)>0 :.F(x)min>0均有f(X)<g(x)恒成立，則F(x)=f(x)-g(x)<0 ..?F(x)max>0范例2(課本習題改編)：已知函數(shù)廣(x)=x2+2,g(x)=ax,其中a〉0.對任意xe【2,3],都有f(x)>g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.范例3(課本習題改編)：已知函數(shù)*(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k為實數(shù)若對/xe[-3,3],使f(x)>g(x)恒成立，求k的取值范圍范例4.若不等式logx>sin2x(a〉0且a。1)對于任意x《(0,：]都成立，求a的取值范圍(2014湖北)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=!(Ix-a21+1x—2a21-3a2)，若VxeR,f(x-1)<f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為范例5：(2014新課標全國卷21題),一… ).x-1設函數(shù)/(x)=exlnx+ ,證明f(x)>1不同自變量的兩個函數(shù)x1《D,Vx2eE,使得大/)>g(x2)成立，則f(X)min>g^)maxx1eD,Vx2《E，使得f(x1)<g(x2)成立，則fx)蛔<g(x)點TOC\o"1-5"\h\z1 2 12 Miax <imn已知函數(shù)廣(x)=x2+2,g(x)=ax,其中a>0.(1對任意尤e[2,3]，都有f(x)>g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.(2)對任意氣壬e[2,3],都茍(氣)>g牌)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.'2 1 2(09年二診21)已知函數(shù)f(x)=一x3+x2+2x一1,g(x)=一x2+x+1.若對任意x,xe[-1,1],不等式/(x)+k<g(x)恒成立，求實數(shù)柿取值范圍. 1 2二、恒成立問題的應用與存在性問題不等式問題已知f(x)=ln(x+1),g(x)=1--^-,

x+1試證：對任意的x>0,都有f(x)>g(x)成立.利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式：、1.sinxvx,x€(0卉);2.x-x2>0，XE(0，1)；3ex>1+x,x，0; 4lnxvxvex,x>0.過渡題：證明：對任意的正整數(shù)n,不等式ln(：+1)>n_-L都成立.(2014湖北文數(shù)21,改編)兀為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)求函數(shù)f(x)=lnx的單調(diào)區(qū)間x求，e3,3e,e兀,兀e,3兀,兀3這六個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式是函數(shù)導數(shù)不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。(2014(2014山西理數(shù)改)證明不等式11 1_+_+—+?..+—3TOC\o"1-5"\h\z11 1vln(n+1)v1+_+_+ +一，ngN*n+1 23n\o"CurrentDocument"n+1nn—1 3 2關鍵:ln(n+1)Tn +In〔+In》+1%+In〔關鍵:所以只需要證明1v1nn+1v1即可n+1nn變式2：證明(1+L)nve,ngN*n思路分析：原不等式可化為1n(1+1)nvInen等價于nln(1+1)<1n等價于In(1+1)<1nn(2014f田建高以構(gòu)造函數(shù)y-in(1+x)-x,xg(0,1)證明當程跟變式后e面是一樣的了對任意給定的正數(shù)總存在七，使得當CG(x,+8)時，恒有2vcex0分析：第一問只需要證明ex的最小值小于即可第二問用函數(shù)的增長速度來解釋的話，肯定是正確的，只是如果越小，這個的值就會越大，我們只02.變量需要意性和豚界!條件即可。問題：已知函數(shù)f(x)=2k2x+k,xg[0,1],函數(shù)g(x)=3x2-2(k2+k+1)x+5,xg[-1,0]當k=2時，對任意xg[0,1],是否存在1xG[-1,0],使g(x)=f(x)成立.2求k的取值范圍.變式1:對任意X廣[0,1],存在xe[一項],使得g(x)=f(x2求k的取值范圍.X2^[-1,0],使得變式2：存在x1e[0,1]g(x2)=f(x1)成立，求X2^[-1,0],使得變式3：對任意X1e[0,1],存在xe[—1,0],使得g(x)vf(x)成立，求k的取值范圍.1.對函數(shù)中的存在性與任意性問題:相等關系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關系，不等關系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值大小.探究中要注意數(shù)學思想方法的應用:如轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等例：已知函麴'(x)=8x2+16x-化其中A為實數(shù).(1)若對Vxe[-3,3]，使f(x)>0恒成立，求k的取值范圍;(2)若3x0e[-3,3]，使f(x0)>0能成立，求k的取值范圍;

(3)若對Vxe[-3,