【大單元教學】初中數(shù)學人教版七年級下冊5.2 平行線及其判定（單元教學設(shè)計）

5.2平行線及其判定（單元教學設(shè)計）一、【單元目標】通過情景導入，歸納總結(jié)出圖形出現(xiàn)的規(guī)律，從而得到平行線的概念；從平行線的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)存在同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，我們就可以推導出平行線的判定方法；通過這種循序漸進的教育模式，提高學生的參與度，促進對知識點的理解，并且加強學生對數(shù)學學習的興趣；（1）選擇特點鮮明的圖片，讓學生從中歸納出平行線的概念，再由平行線的情況發(fā)現(xiàn)“三線八角”，就可以得到平行線的判定方法；學生通過完成相關(guān)的例題，加強對概念的理解和應(yīng)用，同時對復雜的平行線判定方法有一個直觀的感受；（2）通過小組合作探究，讓學生參與教學過程，加深對基礎(chǔ)概念的理解，提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，進一步發(fā)展了學生的類比推理素養(yǎng)；（3）通過典型例題的訓練，加強學生的做題技巧，訓練做題的方法，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)；（4）在師生共同思考與合作下，學生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，同時提升了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)；（5）通過觀察圖片，提高學生的觀察事物的能力，同時激發(fā)學生的學習興趣，提升學生的人文素養(yǎng)；二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】平行線及其判定1三、【學情分析】1．認知基礎(chǔ)本節(jié)內(nèi)容是本章的重點內(nèi)容之一，是考試的?？键c；這一節(jié)內(nèi)容讓我們學會了對平行線的證明，加強對證明方法的理解；“三線八角”證明平行線關(guān)系，也是我們學好幾何證明的基礎(chǔ)；2.認知障礙學生在理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角證明平行線關(guān)系時易產(chǎn)生混亂，導致做題的依據(jù)不充分，對于復雜的平行線判定問題，往往會出現(xiàn)束手無策的情況，這里需要加強對角的關(guān)聯(lián)性計算，同時要靈活運用“三線八角”證明是否是平行線；四、【教學設(shè)計思路/過程】課時安排：約2課時教學重點：平行線的概念；掌握同位角相等、兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；教學難點：平行線判定方法的綜合運用；五、【教學問題診斷分析】5.2.1平行線的概念問題1：（情境導入）數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學，觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？【破解方法】學會觀察周邊的事物，總結(jié)圖形中出現(xiàn)的規(guī)律，再形成基礎(chǔ)概念；通過具體圖片，幫助學生掌握兩條線之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學生的洞察能力和總結(jié)能力，促進學生思維的發(fā)展。問題2：（平行線的概念）下列說法中正確的有：________．(1)在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行；(2)在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行；(3)在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交；(4)在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交；(5)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和垂直．【破解方法】同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行和相交．兩條線段平行、兩條射線平行是指它們所在的直線平行，因此，兩條線段不相交不意味著它們所在的直線不相交，也就無法判斷它們是否平行．【解析】根據(jù)平行線的概念進行判斷．線段不相交，延長后不一定不相交，(1)錯誤；同一平面內(nèi)，直線只有平行和相交兩種位置關(guān)系，(2)(4)正確，(5)錯誤；線段是有長度的，不平行也可以不相交，(3)錯誤．故答案為(2)(4)．問題3：（過直線外一點畫已知直線的平行線）如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P.(1)過點P畫l1∥OA；(2)過點P畫l2∥OB；(3)用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣的關(guān)系．【破解方法】用兩個三角板，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來畫平行線，然后用量角器量一量l1與l2相交的角，該角與∠O的關(guān)系為相等或互補．【解析】(1)(2)如圖所示；(3)l1與l2夾角有兩個：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2的夾角與∠O相等或互補．易錯點撥：注意∠2與∠O是互補關(guān)系，解答時容易漏掉．問題4：（平行公理）有下列四種說法：(1)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；(2)同一平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直；(3)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短；(4)平行于同一條直線的兩條直線互相平行．其中正確的個數(shù)是()A．1個B．2個C．3個D．4個【破解方法】平行線公理和垂線的性質(zhì)兩者比較相近，兩者區(qū)別在于：對于平行線公理中，必須是過直線外一點可以作已知直線的平行線，但過直線上一點不能作已知直線的平行線，垂線的性質(zhì)中，無論點在何處都能作出已知直線的垂線．【解析】根據(jù)平行公理、垂線的性質(zhì)進行判斷．(1)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，正確；(2)同一平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；(3)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確；(4)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，正確；正確的有4個．故答案為D.問題5：（平行公理的推論）四條直線a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那直線a，d的位置關(guān)系為________．【破解方法】平行公理的推論是證明兩條直線相互平行的理論依據(jù)．【解析】由于a∥b，b∥c，根據(jù)平行公理的推論得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案為a∥d.5.2.2平行線的判定問題6：（應(yīng)用同位角相等，判斷兩直線平行）如圖，∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直線AB，CD平行嗎？說明理由．【破解方法】準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到同位角(“F”型)相等，從而可以應(yīng)用“同位角相等，兩直線平行”．【解析】∠3＝55°，AB∥CD.理由如下：∵∠3＝∠2，∠1＝∠2＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行)．問題7：（應(yīng)用內(nèi)錯角相等，判斷兩直線平行）如圖，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB與CD平行嗎？為什么？【破解方法】準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到內(nèi)錯角(“Z”型)相等，從而可以應(yīng)用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”．【解析】AB∥CD.理由如下：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴AB∥CD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．問題8：（應(yīng)用同旁內(nèi)角互補，判斷兩直線平行）如圖，∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC.AD與BC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【破解方法】準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到同旁內(nèi)角(“U”型)相等，從而可以應(yīng)用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”．【解析】AD∥BC.理由如下：∵∠1＝25°，∠B＝65°，AB⊥AC，∴∠BAD＝90°＋25°＝115°.∵∠BAD＋∠B＝115°＋65°＝180°，∴AD∥BC.問題9：（平行線判定方法的應(yīng)用）如圖，下列說法錯誤的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若∠1＝∠2，則a∥cC．若∠3＝∠2，則b∥cD．若∠3＋∠4＝180°，則a∥c【破解方法】解決此類問題的關(guān)鍵是識別截線和被截線，找準同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，從而判斷出哪兩條直線是平行的．【解析】根據(jù)平行線的判定方法進行推理論證．A選項中，若a∥b，b∥c，則a∥c，利用了平行公理，正確；B選項中，若∠1＝∠2，則a∥c，利用了“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，正確；C選項中，∠3＝∠2，不能判斷b∥c，錯誤；D選項中，若∠3＋∠4＝180°，則a∥c，利用了“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，正確．故選C.5.1.3平行線判定方法的綜合應(yīng)用問題10：如圖，有以下四個條件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的條件有()A．1個B．2個C．3個D．4個【破解方法】要判定兩直線是否平行，首先要將題目給出的角轉(zhuǎn)化為這兩條直線被第三條直線所截得的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，再看這些角是否滿足平行線的判定方法．【解析】根據(jù)平行線的判定定理即可求得答案．①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的條件是①③④.故選C.問題11：如圖，直線AB、CD、EF被直線GH所截，∠1＝70°，∠2＝110°，∠2＋∠3＝180°.求證：(1)EF∥AB；(2)CD∥AB(補全橫線及括號的內(nèi)容)．證明：(1)∵∠2＋∠3＝180°，∠2＝110°(已知)，∴∠3＝70°()．又∵∠1＝70°(已知)，∴∠1＝∠3()，∴EF∥AB()．(2)∵∠2＋∠3＝180°，∴______∥______()．又∵EF∥AB(已證)，∴______∥______()．【破解方法】判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定定理外，有時需要結(jié)合運用“平行于同一條直線的兩條直線平行”．【解析】：(1)先將∠2＝110°代入∠2＋∠3＝180°，求出∠3＝70°，根據(jù)等量代換得到∠1＝∠3，再由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可得到EF∥AB；(2)先由“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”得出CD∥EF，再根據(jù)“兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行”即可得到CD∥AB.答案分別為：(1)等量代換；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；(2)CD；EF；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；CD；AB；平行于同一條直線的兩直線平行．問題12：如圖，MF⊥NF于F，MF交AB于點E，NF交CD于點G，∠1＝140°，∠2＝50°，試判斷AB和CD的位置關(guān)系，并說明理由．【破解方法】在解決與平行線相關(guān)問題時，有時需作出適當?shù)妮o助線．【解析】通過觀察圖可以猜想AB與CD互相平行．過點F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，則可得∠NFQ＝40°，再運用兩次平行線的判定定理可得出結(jié)果．解：過點F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，則∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ＝90°－50°＝40°，AB∥FQ.又因為∠1＝140°，所以∠1＋∠NFQ＝180°，所以CD∥FQ，所以AB∥CD.六、【教學成果自我檢測】1．課前預習設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學內(nèi)容.1．下列說法正確的是（

）A．兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種B．同一平面內(nèi)，兩條互相垂直的線段不一定相交C．直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離D．兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系、點到直線的距離的定義逐一判斷即可．【詳解】A．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種，故本選項錯誤；B．同一平面內(nèi)，兩條互相垂直的線段不一定相交，故本選項正確；C．直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫點到直線的距離，故本選項錯誤；D．同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】此題考查的是兩條直線的位置關(guān)系、點到直線的距離的定義，掌握兩條直線的位置關(guān)系、點到直線的距離的定義是解決此題的關(guān)鍵．2．如圖，點在的延長線上，則下列條件中．不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：，，選項A符合題意；，即，，選項B不合題意；，，選項C不合題意；，即，，選項D不合題意，故選：A．【點睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，過直線外一點作已知直線的平行線，其依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同位角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【答案】C【分析】根據(jù)三角板在移動過程中，角度不變，故依據(jù)是同位角相等，兩直線平行，即可求解．【詳解】解：如圖，三角板在移動過程中，角度不變，其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．故選：．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．4．經(jīng)過直線外一點，有且只有______條直線與已知直線平行．【答案】一##1【分析】利用平行公理進行分析即可．【詳解】解：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；故答案為：一．【點睛】本題考查了平行公理，能熟記知識點的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．5．如圖，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一個條件是____________．（要求：添加這個條件后，其它條件也必不可少，才能推出結(jié)論）【答案】∠B=60°（答案不唯一）【分析】由題意可求出∠BAD=120°，再根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”即可知需添加的條件為：∠B=60°．【詳解】可添加條件：∠B=60°．∵∠1=30°，AB⊥AC，∴∠BAD=30°+90°=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=180°，∴．故答案為：∠B=60°．（答案不唯一）【點睛】本題考查垂線的定義，平行線的判定．掌握同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解題關(guān)鍵．6．填寫下列推理中的空格：已知：如圖，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求證：AD∥BC．證明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（

），∴∠BAD－∠1＝∠DCB－∠（

），即∠＝∠．∴AD∥BC（

）．【答案】已知；；等式的性質(zhì)；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】先利用，得出，再利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”證明AD∥BC．【詳解】證明：，（已知），（等式的性質(zhì)），即．AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【點睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．課堂檢測設(shè)計意圖：例題變式練.【變式1】直線、、在同一平面內(nèi)，下面的四個結(jié)論：如果ab，ac，那么bc；如果，，那么ac；如果ab，，那么；如果與相交，與相交，那么與相交．正確的結(jié)論為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)定理一一判斷即可．【詳解】解：若，，則，說法正確，若，，則，說法正確，若，，則，說法正確，若與相交，與相交，則與相交也可能是平行，故說法錯誤，正確的有，故選：A．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于同一直線的兩條直線平行，平行于同一直線的兩條直線平行．【變式2】如圖，點，，分別在的邊，，上，連接，，在下列給出的條件中，不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．依據(jù)平行線的判定方法進行判斷即可．【詳解】解：A．若，則（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；B．若，則（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；C．若，則（同位角相等，兩直線平行）；D．，則（同位角相等，兩直線平行）；故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，掌握：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，在下列給出的條件中，可以判定的有___________．①；②；③；④；⑤．【答案】②③⑤【分析】根據(jù)平行線的判定條件進行逐一判斷即可．【詳解】解；由，不可以證明，故①錯誤；由，可以證明（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故②正確；由，可以證明（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故③正確；由，不可以證明，故④錯誤；由，可以證明（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），故⑤正確；故答案為；②③⑤．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．【變式4】閱讀下面的解答過程，并填空．如圖，，平分，平分，．求證：．證明：∵平分，平分，（已知）∴__________，_________．（角平分線的定義）又∵，（已知）∴∠____________=∠____________．（等量代換）又∵，（已知）∴∠____________∠____________．（等量代換）∴．（____________）【答案】；；；；；；同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)角平分線的定義，等量代換，同位角相等兩直線平行，聯(lián)系證明過程，可推理出答案．【詳解】證明：∵平分，平分，（已知）∴，．（角平分線的定義）又∵，（已知）∴．（等量代換）又∵，（已知）∴．（等量代換）∴．（同位角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟悉相關(guān)的幾何定理，聯(lián)系證明過程進行推導．3．課后作業(yè)設(shè)計意圖：鞏固提升.1．如圖，四邊形中，下列條件可以判定的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴，符合題意；B．∵，∴，不符合題意；C．不能判定，不符合題意；D．不能判定，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．2．如圖是兩條直線平行的證明過程，證明步驟被打亂，則下列排序正確的是（）如圖，已知，，求證：與平行．證明：①：；②：，；③：；④：；⑤：．A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①【答案】B【分析】先證明，結(jié)合，證明，從而可得結(jié)論．【詳解】根據(jù)平行線的判定解答即可．證明：∵（已知），（鄰補角的定義），∴（同角的補角相等）．∵（已知），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行）．所以排序正確的是②③⑤④①，故選：B．【點睛】本題考查的是補角的性質(zhì)，平行線的判定，證明是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②；③如果，則有；④．其中正確的序號是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)，，即可得；根據(jù)角之間關(guān)系即可得；根據(jù)角之間關(guān)系可得，無法判斷BC與AD平行；由題意得，，得；綜上，即可得．【詳解】解：∵，，∴，故①正確；∵故②正確；∵，∴，，∴BC與AD不平行，故③錯誤；∵，即，又∵，∴,故④正確；綜上，①②④正確，故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，余角和同角的余角，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點并認真計算．4．同學們準備借助一副三角板畫平行線．先畫一條直線，再按如圖所示的樣子放置三角板．小穎認為AC∥DF，小靜認為BC∥EF．你認為______的判斷是正確的，依據(jù)是______．【答案】

小靜；

同位角相等，兩條直線平行．【分析】利用同位角相等，兩條直線平行進行判斷．【詳解】解：小靜的判斷正確．理由如下：，，，，與不平行，∴小靜的判斷正確．故答案為：小靜；同位角相等，兩條直線平行．【點睛】本題考查了作圖—復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基