曲線積分與曲面積分教案_第1頁
曲線積分與曲面積分教案_第2頁
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曲線積分與曲面積分教案_第5頁
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文檔簡介

課次16周次9教學(xué)時(shí)數(shù)2授課課題§10.1對弧長的曲線積分授課方式講授教學(xué)目標(biāo)1理解第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)的定義和性質(zhì),進(jìn)一步滲透有限與無限、量變到質(zhì)變的辨證關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)2掌握第一類曲線積分的計(jì)算方法3掌握用第一類曲線積分解決問題的步驟教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是第一類曲線積分的計(jì)算方法難點(diǎn)是第一類曲線積分的定義及應(yīng)用授課方法和手段講練結(jié)合法教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、對弧長的曲線積分1。曲線形物件的質(zhì)量線形構(gòu)件質(zhì)量設(shè)一構(gòu)件占xoy面內(nèi)一段曲線弧L,端點(diǎn)求構(gòu)件質(zhì)量M。解(1)將L分割A(yù)s(i=1,2,……,n)iV(x,y)eAs,AM?p(x,y)AsM氏£p(x,yhsi=1M=lim£p(x.,y)As 九=max{^^°i=1定義L為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧,f(x任取一點(diǎn)(&,1)eASj(i=1,2,3..x=max{As「As2,—,As},當(dāng)九.0時(shí)f(x,y)在L上對弧長的曲線1為A,B,線密度p(x,y)連續(xù)yJA 0tn小段AS「令此極限值為As,As,…,y)在L上有.,n),作和hlim2nf(j0i=1員分(第一類八 ?xo,Asn}界,用MJ將L分成£f(q,1)ASi,/i=1Ji,q)AS存在,稱W曲線積分)記為

Jf(x,y)ds=lim[f化內(nèi))ASL j。i=1 ;I,注意:(1)若曲線封閉,積分號(hào)』.?f(x,y)ds若f(x,y)連續(xù),則』f(x,y)ds存在,其結(jié)果為一常數(shù)。幾何意義f(x若f(x,y)連續(xù),則』f(x,y)ds存在,其結(jié)果為一常數(shù)。幾何意義f(x,y)=1,則Jf(x,y)ds=L(L為弧長)物理意義M=Jp(x,y)dsL此定義可推廣到空間曲線Jf(x,z,y)ds=limff化E工)ASr j0i=i(6)將平面薄片重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量推廣到曲線弧上Jpxds Jpyds重心:x=l^m-'y=l^m-轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:I=Jy2p(x,y)ds,LJpzdsz=Lm—。I=Jx2p(x,y)dsL=J(x2+y2)p(x,y)ds(7)若規(guī)定L的方向是由A指向B,由B指向A為負(fù)方向,方向無關(guān)。二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)根據(jù)定義可知,若函數(shù)f(x,y)在L上連續(xù)(或除去個(gè)別點(diǎn)外,f(x,y)在L上連續(xù),有界),L是逐段光滑曲線,則f(x,y)在L上對弧長的曲線積分一定存在(即f(x,y)在L上可積)。設(shè)f(x,y),g(x,y)在L上可積,則有以下性質(zhì):(1)Jkf(x,y)ds二kJf(x,y)ds(k為常數(shù));J[f(x,y)土g(x,y)]ds=Jf(x,y)ds±Jg(x,y)ds;如果曲線L由4,…,Lk幾部分組成,則在弧L上的積分等于在各部分上積分之和,即Jf(x,y)ds=Jf(x,y)ds+Jf(x,y)ds+-??+Jf(x,y)ds。L1L2Lk三、對弧長的曲線積分的計(jì)算法定理設(shè)曲線L由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)(a<t<fi)表示,x(t),y(t)在區(qū)間[a,網(wǎng)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且X,2(t)+段(t)加(即曲線L是光滑的簡單曲線),函數(shù)f(x,y)在曲線上連續(xù),貝UJf(x,y)ds=「f(x(t),y(t))s,'x'2(t)+y'2(t)dt。L a證如圖10-41所示,設(shè)曲線L以A,B為端點(diǎn),弧AB的長度為l,L上任一點(diǎn)M可由弧長AM=s來確定,以s為曲線L的參數(shù),點(diǎn)A對應(yīng)于s=0,點(diǎn)B對應(yīng)于s=l,點(diǎn)K.(4,%)對應(yīng)于s=si,于是根據(jù)定義Jf(x,y)ds=limXf(,,Q)As=limZf(x(s),y(s))As=J1f(x(s),y(s))ds。L j0「'llj0「iii0I=1 l=1由假設(shè)曲線L由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)(a<t<fi)表示,x(t),y(t)在1a,4]上連續(xù),設(shè)弧長s隨t的增大而增大,于是s’(t)=、:'x‘2(t)+y'2(t)。將(10-5-2)式右端作變量代換,并注意t=a時(shí),s=0,t=B時(shí),s=1,于是得Jf(x,y)ds=Jbf(x(t),y(t))x.'x'2(t)+y'2(t)dt。L a說明:從定理可以看出(1)計(jì)算時(shí)將參數(shù)式代入f(x,y),ds=的,2(t)+62(t)dt,在[a,P]上計(jì)算定積分。(2)注意:下限a一定要小于上限P,a<P(???ASi恒大于零,,Ati>0)L:y=6(x),a<x<b時(shí),Jf(x,y)ds=Jbf[x,3x)]v1+即'(x)]2dxaL同理L:x=巾(y),c<y<d時(shí),Jf(x,y)ds=Jdf[弧y),y]V1+[。'(y)]2dy。cL空間曲線P:x=6(t),y=V(t),z=b(t),Jf(x,y)ds=Jpf即(t),V(t),m(t)]w'2(t)+V'2(t)+e'2(t)dtaP計(jì)算曲線積分J6ds,曲線L是拋物線y=,x2自點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,1)L 4的一段弧。的一段弧。71—X21+X71—X21+X2dx=2(1+?);計(jì)算曲線積分I=Jxyds,L是橢圓X2+£=1在第一象限中的部分。b2因?yàn)閐s=6+T2dx=J1+|x|dx而x的變化區(qū)間是[0,2],由公式得=3(2x12-1)o1-1其中1-1其中r是螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的第一圈。解由橢圓的參數(shù)方程x=acost,產(chǎn)bsint,可得x'尸-asint,y,尸bcostds=+y'2dt=\a2sin21+b2costdtds=按公式,得TOC\o"1-5"\h\zI=Jxyds=J2acost?bsint^a2sin21+b2cos21dtL 0ab2 2,a2+b2b2-a2 . ( + U)324b2-a23 2 2aba2+ab+b2例4計(jì)算曲線積分

解因?yàn)閐s=,x4(t)+y,2(t)+z4(t)dtt的變化區(qū)間是[0,=4(-asint)2+(acost>+b2dt=Va2+b2dt,2T,由公式即得』一ds——=/a2+b2f2冗—dt一rx2+y2+z2 0a2+b212Ja2+b2 bt- 2XVO\^V\ 2兀練習(xí)計(jì)算曲線積分)\ydarcianab a0Ja2+b2 2b= arctan 。ab as,其中L是第一象限內(nèi)從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(1,0)的單位圓弧課外自主學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)資源教學(xué)反思(手寫)5

課次17周次 9 教學(xué)時(shí)數(shù) 2授課課題§10.2對坐標(biāo)的曲線積分授課方式講授教學(xué)目標(biāo)1理解第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線積分)的定義和性質(zhì),進(jìn)一步滲透有限與無限、量變到質(zhì)變的辨證關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀占八、、2掌握第二類曲線積分的計(jì)算方法3熟悉兩類曲線積分之間的關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是第二類曲線積分的計(jì)算方法難點(diǎn)是對坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算中,積分上下限與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)兩類曲線積分之間的聯(lián)系授課方法和手段講練結(jié)合法教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、引例變力沿曲線所作的功。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在x分面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移到點(diǎn)B,受力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)/,其中P,Q在L上連續(xù)。求上述過程所作的功解(1)分割先將L分成n個(gè)小弧段McM(i=1,2,……,n)i-1i(2)代替用mM=Axi+Ayj近似代替M°M Ax=x-x,i-1i i iJ i-1i i i i-1Ay=y-y V(m,n)eM°Mi i i-1 ii i-1iF(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j近似代替M°M內(nèi)各點(diǎn)的力,則F(x,y)沿M°M所做i-1i i-1i的功A攻pF6,nj?M1M(3)求和攻p£[P(m.,Q)Ax.+Q(m.,Q)Ay.]i=14)取極限令九=max{M °M的長度,攻=limZ[P(m,刈)Ax +Q(己刀)Ay ]i-1i X^0 ii i ii ii=1這類和的極限在研究其他物理、力學(xué)問題時(shí)也會(huì)遇到,現(xiàn)在引進(jìn)下面的定義。二、對坐標(biāo)的曲線積分的定義定義1設(shè)L為,0y面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑曲線弧,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在L上有界,在L上沿L的方向任意插入一點(diǎn)列M1(x1,y1),M2(x2,y2),…,Mn-1(xn_1,yn_1),把L分成n個(gè)有向小弧段MM (i=1,2,…,n;M0=A,Mn=B)i-1i設(shè)Axi=x「xi_1,Ayi=y「y"1,點(diǎn)(0,%)為M^Mi上任意取定的一點(diǎn),如果無論怎樣將L劃分為n個(gè)小弧段,也無論(0,%)在小弧段Mi1Mi上怎樣取定,當(dāng)各小弧段長度的最大值A(chǔ)-0時(shí),和式£p化內(nèi))Ax的極限總存在,則稱此極限值為函數(shù)P(x,y)iiii=1在有向曲線弧L上對坐標(biāo)x的曲線積分,記作JP(x,y)dx,類似地,如果X。化,n)Ayi=1總存在,則稱此極限值為函數(shù)Q(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)y的曲線積分,記作JQ(x,y)dy,即有L心0. 1 1 1I=1JP(x,y)dx=limZp(&心0. 1 1 1I=1JQ(x,y)dy=limZq(&,刈)Ay其中P(x,y),Q(x,y)叫做被積函數(shù),L叫做積分弧段。對坐標(biāo)x或y的曲線積分統(tǒng)稱為對坐標(biāo)的曲線積分或稱為第二類曲線積分。應(yīng)用上經(jīng)常出現(xiàn)的是JP(x,y)dx+JQ(x,y)dy這種合并起來的形式。為簡便起見,把它寫成JP(x,y)dx+Q(x,y)dy。L例如,前面討論過的變力F=P(x,y)i+Q(x,y)j沿L從A到B所做的功可以表示成W=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy我們指出,當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在有向曲線弧L上連續(xù)時(shí),對坐標(biāo)的曲線積分都存在,以后我們總假定P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù)。上述定義可以類似地推廣到積分弧段為空間有向曲線弧r的情形:八 iiiixf0.ii=1JP(x,y,z)dx=limZ八 iiiixf0.ii=1JQ(x,y,z)dy=limXq(己川工)Ayi iiixf0.ii=1JR(x,y,z)dz=limEr(mE工)Az合并起來的形式是JP(x,y)dx+Q(x,y)dy+R(x,y,z)dz。L三、性質(zhì)Pdx+Qdy+JPdx+QdyL1L2Lk組成的情形。它表示如果L是分段公式(Pdx+Qdy+JPdx+QdyL1L2Lk組成的情形。它表示如果L是分段公式(10-1-1)可以推廣到L由L1,L2,光滑的,我們規(guī)定函數(shù)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)的曲線積分等于它在光滑的各段上對坐標(biāo)的曲線積分之和。性質(zhì)2設(shè)L是有向曲線弧,-L是與L方向相反的有向曲線弧,則有JP(x,y)dx=-JP(x,y)dx,JQ(x,y)dy=-JQ(x,y)dy。證把L分成n小段,相應(yīng)地-L也分成n小段,對于每一個(gè)小弧段來說,當(dāng)弧段的方向改變時(shí),有向弧段在坐標(biāo)軸上的投影的絕對值不變但要改變符號(hào),因此式成立。上式式表明,當(dāng)積分弧段的方向改變時(shí),對坐標(biāo)的曲線積分要改變符號(hào)。因此關(guān)于對坐標(biāo)的曲線積分,我們必須注意積分弧段的方向,而對弧長的曲線積分則與積分弧段的方向無關(guān),這是兩類曲線積分的一個(gè)重要差別。三、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算與對弧長的曲線積分的計(jì)算一樣,對坐標(biāo)的曲線積分也可化為定積分來計(jì)算。定理1設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為Ix二叭t),

[y=w(t).當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變到B時(shí),點(diǎn)M(x,y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B,仙),中(t)在以a及B為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且心(t)+槨(t)加,則曲線積分存在,且1P(羽y)dx+Q(x,y)dy=d[P(^(t),w(t)W(t)+Q(^(t),w(t))w'(t)]

證在L上取一點(diǎn)列它們對應(yīng)于M=B,

nt=BTOC\o"1-5"\h\zA=M,M,M,…,M,

列單調(diào)變化的參數(shù)值它們對應(yīng)于M=B,

nt=Ba=t,t,t,…,t,根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分的定義,有2 n-1Xp化j口)Axii=1\),其中\(zhòng)在匚與設(shè)點(diǎn)(7,ni)對應(yīng)于參數(shù)值、,即W=6(t.),n=力(\),其中\(zhòng)在匚與%之間。由于i1 1 1 1 11 Ax=x-x="(t)-@(t),應(yīng)用微分中值定理,有iii-1 i i-1其中At=t-tiii-1Ax=",(T7)At,

其中At=t-tiii-1JP(x,y)dx=limXp3(t)”(t))60)At2。,=1iiI,利用”,(t)在閉區(qū)間[a,B](或[B,a])上的一致連續(xù)性可以證明,上式中的點(diǎn)T,i可換成Ti,從而P(x,y)dx=limZpW(t),w(t))5'(t')At大.。 i i iii=1上式右端的和的極限就是定積分dP(叭t)純(t))U(t)dt由于函數(shù)P(@(t),a力(t))@/(t)連續(xù),這個(gè)定積分存在,因此JP(x,y)dx也存在,并且有LJP(x,y)dx=JbP(叭t),v(t))U(t)dtTOC\o"1-5"\h\zL a同理可證JQ(x,y)dy=Jp。(3t),w(t))w'(t)dt。L a兩式相加,得到JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=JP[P(^(t),w(t)W(t)+Q(3t)”(t))w'(t)]dtL a這里下限a對應(yīng)于L的起點(diǎn),上限B對應(yīng)于L的終點(diǎn)。注意(1)a:L起點(diǎn)對應(yīng)參數(shù),P:L終點(diǎn)對應(yīng)參數(shù) a不一定小于0(2)若L由y=y(x)給出L起點(diǎn)為a,終點(diǎn)為0,則JPdx+Qdy=J0{P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y'(x)}dx.L a(3)此公式可推廣到空間曲線r:x=G(t),y=p(t),z=b(t)(3)JPdx+Qdy+Rdz=fp{P[p(t),V(t),3(t)&'(t)+。[叭t)W(t),3(t)W'(t)

+R[p(t),.(t),3(t)]3'(t))dta:r起點(diǎn)對應(yīng)參數(shù),p:r終點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)例1計(jì)算Jxydx,其中L為拋物線y2=x上從點(diǎn)A(1,-1)到點(diǎn)B(1,1)的一段弧。L解法1故解法2將所給積分化為對y的定積分來計(jì)算,將L的方程寫成

x=y2,解法1故解法2Jxydx=J1y2-y(y2ydy=J12y4dy=4/5L -1 -1將所給積分化為對x的定積分來計(jì)算,由于y=±x不是單值函數(shù),所以要把L分為AO和OB兩部分在AO上y=-x,x從1變至U0;在OB上y=x,x從0變到1。因止匕

Jxydx=Jxy在AO上y=-x,L AO OBJ0x(-\x)dx+J1xv'xdx1 03=2J0x2dx=4/51顯然,本題中的積分化為對y的定積分來計(jì)算要簡便得多。例2計(jì)算Jy2dx,其中L為L(1)半徑為a,圓心在原點(diǎn),按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(-a,0)的直線段。解(1)L是參數(shù)方程x=acos3,y=asin3對于3從0變到兀的曲線弧,因此Jy2dx=Jn(asin0)2(-asin0)d0=a3Jn(1-cos20)dcos0L 0 0=a=a3cos0-1cos303兀4 -=a330(2)L的方程為y=0,x從a變到-aJy2dx=J-a0dx=0。L a從例2看出,雖然兩個(gè)曲線積分的被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,但沿不同路徑得出的值并不相等。例3計(jì)算J(x+y)dx+(x-y)dy,其中L為L(1)拋物線y=x2上從0(0,0)到B(1,1)的一段弧;(2)拋物線x=y2上從0(0,0)到B(1,1)的一段弧;10

(3)有向折線OAB,這里O,A,B依次是點(diǎn)(0,0),(0,1),(1,1)。解(1)L:y=x2,x從0變到1。故J(X+y)dx+(x-y)dy=J1[(x+x2)+(x—x2).2x]dx0=J1(x+3x2-2x3)dx=1。0L:x=y2,y從0變至【11,故J(x+y)dx+(x-y)dy=J1[(y2+y)?2y+(y2-y)]dy0=J1(2y3+3y2-y)dy=1。0J(x+y)dx+(x-y)dy=J(x+y)dx+(x-y)dy+J(x+y)dx+(x-y)dy。L OA在L OA在OA上,x=0,y從0變到1,所以ABJ(x+y)dx+(x-y)dy=J1[y?0+(-y)]dy=-OA . 3[(x+1)+(x-1)?0]dx=-。^2在AB上,y=1,x從0變到1,所以J(x+ . 3[(x+1)+(x-1)?0]dx=-。^2AB1 3T從而J(x+y)dx+(x-y)dy=-2-+2-=1從而從例3可以看出,雖然路徑不同,曲線積分的值可以相等。練習(xí)計(jì)算⑴Jx2dy+2xydx.,其中L為(1)的拋物線y=x2上從O(0,0)到B(1,1)一L段弧。(2)拋物線x=y2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧。(3)有向折線DAB,這里O,A,B依次是點(diǎn)(0,0),(1,0),(1,1)。結(jié)論:起點(diǎn),終點(diǎn)固定,沿不同路徑的積分值相等。例4計(jì)算Jxydx+(x-y)dy+x2dz,其中r為螺旋線:x=acost,y=asint,z=bt,0<t<nor解由公式得Jxydx+(x-y)dy+x2dz=J兀[-a3costsin21+a2(cost-sint)cost+a2cos21?b]dt0=Jn[-a3costsin21+a2(1+b)cos21-a2sintcost]dt0=-3a3sin31+2a2(1+b)(t+2sin21)+:cos2111例5計(jì)算Jxdx+ydy+(x+y-1也,其中r是從點(diǎn)A(1,1,1)到點(diǎn)B(2,3,4)的r直線段。解線段AB的方程是二1="1=口,化為參數(shù)方程得1 2 3x=1+1,y=1+21,z=1+31,t從0到1于是得 Jxdx+ydy+(x+y-1)dz=J1[(1+1)x1+(1+21)*2+(1+1+1+21-1)*3]dt0=J1(6+141)dx=130例6設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受重力的作用在鉛直平面沿某一光滑曲線弧從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B,求重力所做的功。解取水平直線為x軸,y軸鉛直向上,則重力在兩坐標(biāo)軸上的投影分別為尸(x,y)=0,Q(x,y)=-mg,其中g(shù)為重力加速度,于是當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A(x0,y0)移動(dòng)到B(xyJ時(shí),重力做功為W=JPdx+Qdy=J(-mg)dy=Jy1(-mg)dy=mg(y0-y1)oAB AB y0此結(jié)果表明,這里重力所作的功與路徑無關(guān)且僅取決于下降的高度。課外自主學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)資源教學(xué)反思(手寫)12

課次 18授課課題授課方式周次 10 教學(xué)時(shí)數(shù) 2§10.3格林公式及其應(yīng)用講授教學(xué)目標(biāo)1掌握格林公式2理解曲線積分與路徑無關(guān)的條件教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是格林公式應(yīng)用難點(diǎn)是利用格林公式簡化二重積分、曲線積分、求平面圖形面積授課方法和手段講練結(jié)合法教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、格林公式在一元函數(shù)積分學(xué)中,牛頓萊布尼茨公式IbF\x)=F(b)-F(a)表示:F8)在區(qū)間[a,ab]上的定積分可以通過它的原函數(shù)F(x)在這個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值來表達(dá)。下面要介紹的格林(Green)公式告訴我們,在平面閉區(qū)域D上的二重積分可以通過閉區(qū)域D的邊界曲線L上的曲線積分表達(dá)?,F(xiàn)在先介紹平面單連通區(qū)域的概念,設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D,則D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域。通俗地說,平面單連通區(qū)域就是不含有“洞”(包括點(diǎn)“洞”)的區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域是含有“洞”(包括點(diǎn)“洞”)的區(qū)域。例如,平面上的圓形區(qū)域{(x,y)1x2+y2<1},上半平面{(X,y)1y>0}都是單連通區(qū)域,圓環(huán)域{(x,y)l1<x2+y2<4}、{(x,y)l0<x2+y2<2}都是復(fù)連通區(qū)域。此外,我們還需要平面區(qū)域的邊界線的正向的概念。對于平面區(qū)域D的邊界曲線L,我們規(guī)定L的正向如下:當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí),D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊。相反的方向則為負(fù)方向。曲線L取負(fù)方向則記作-L。例如,D是邊界曲線L及L所圍成的復(fù)連通區(qū)域,作為D的正向邊界,L的正向是逆時(shí)針方向,而L的正向是順時(shí)針方向。定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L所圍成.函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階13

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有"連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有"隊(duì)。x。yPdx+Qdy,其中L是D的取正向的邊界曲線.公式稱為格林公式。證根據(jù)D的不同形式,分三種情形證明。(1)若區(qū)域D既是x型又是y型區(qū)域,即平行于坐標(biāo)軸的直線和邊界曲線L至多交于兩點(diǎn)。OInfiOInfi設(shè)D{(x,y)%(x)<y<%(x),〃<x<b},因?yàn)?連續(xù),所以由二重積分的計(jì)算法有1 ayffaPdxdy=fbdx卜2(x)°P(x,y)dy=fb[P(x,p(x))一P(x,p(x))]dx

day ,a p1(x) ay . 2 1」,另一方面,由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有fPdx=fPdx+fPdx=fbP(x,p(x))dx+faP(x,p(x))dxL1LL1=fb[P(x,p(x))一P(x,p(x))]dxa因此-ffaPdxdy=fPdx因此Day Lff^Qdxdy=6QdxDax L同時(shí)成立,合并后即得公式。設(shè)D={(x,y)1%(y)<x<%(y),c<y<ff^Qdxdy=6QdxDax L同時(shí)成立,合并后即得公式。(2)若D是一般單連通區(qū)域.這時(shí)可用幾段光滑曲線將D分成若干個(gè)既是x型又是y型的區(qū)域。如圖所示,將D分成3個(gè)既是x型又是y型的區(qū)域D1,D2,D3,在這三個(gè)區(qū)域上格林公式成立,將三個(gè)等式相加,再注意到fPdx+Qdy+JPdx+Qdy+JPdx+Qdy=0,CAABBCCAABBC即可證得區(qū)域D上格林公式成立。(3)若D為復(fù)連通區(qū)域.這時(shí)可用光滑曲線將D分成若干個(gè)單連通區(qū)域從而變成(2)的情形14

注意,對于復(fù)連通區(qū)域。,格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分,且邊界的方向?qū)τ趨^(qū)域D來說都是正向。說明:(1)格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立(2)記法(2)記法Jxdy-ydx=jjL dxdydaxay(3)在一定條件下用二重積分計(jì)算曲線積分,在另外條件下用曲線積分計(jì)算二重積分。例1計(jì)算Jxdy,其中AB是半徑為r的圓在第一象限的部分AB解引入輔助曲線0A,BO,令L=^A+AB+BO,應(yīng)用格林公式,因?yàn)镻=0,Q=x,則辿-aP=1axay所以而又由于所以JJdxdy=Jxdy=-Jx所以而又由于所以TOC\o"1-5"\h\zD -L LJxdy=Jxdy+Jxdy+Jxdy,L OA AB BOJxdy=0,Jxdy=0,Jxdy=-JJdxdy=--nr2。AB D 4例2計(jì)算JJe-y2dxdy,其中D是以O(shè)(0,0)A(1,1),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域。D15

yy解令P=0,Q=xe—尸,貝UdQdP——--=e-y2由公式(10-3-1)有U由公式(10-3-1)有Ue-y2dxdy=jOA+AB+BOxe-y2dy=jxe-y2dy=J1xe-x2dx=—(1-e-1)。

OA 0 2例3計(jì)算jxdy-ydx,其中l(wèi)為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉lx2+y2x2+x2+y2x2+y2dQ y2-x2d.Pdx(x2+y2)2sy記L所圍閉區(qū)域?yàn)?。?dāng)(0,0)任D時(shí),由公式便得Jxdy-ydx=0;當(dāng)(0,0)£DLx2+y2時(shí),選取適當(dāng)小的廠>0作位于D內(nèi)的圓周L:x2+y』兒記L和L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈1。對于復(fù)連通區(qū)域D1,應(yīng)用公式得jxdy-ydx-jxdy-ydx=0,Lx2+y2 lx2+y216其中L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.于是lx2+y2 ix2+y2 0下面說明格林公式的一個(gè)簡單應(yīng)用.在公式中取P=-y,Q=x,即得Jxdy-ydx=j2nr2cos20+r2sin20d0=2n2jjdxdy=Jxdy-ydx.D L所以區(qū)域D的面積A為若令P=0,Q=x,則得例4求橢圓x=acos。解根據(jù)公式有A=11xdy-ydx.2LA=JxdyLy二bsin。所圍成圖形的面積A.A=1Jxdy-ydx=1j

2l 2=1abj2nd0=nab.2 0練習(xí)1計(jì)算j(y-x)dx+(3x+y)dyC2n(abcos20+absin20)d00L:(X-1)2+(y—4)2=9原式二jj(3-1)dxdy=18兀,迎=3,

d ex計(jì)算星形線1X"aC°s”圍成圖形面積(0<t<2兀)y=asin31A=-jxdy-ydx=—j2n(acos31?3asin21cost+asin21?3acos21sint)dt=生藝2l 20 8二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件一般來說,給定函數(shù)的曲線積分與路徑和路徑的起、終點(diǎn)均有關(guān)系.但在一定條件下,也可與路徑無關(guān),而只決定于積分曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn),在第二節(jié)例3中,我們已遇到過這種情況在物理學(xué)中,如重力做功,保守力場中場力做功等,均屬于與路徑無關(guān)的曲線積分情形.由格林公式,我們可以推得曲線積分與路徑無關(guān)的條件。定理2設(shè)P(x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則下列條件相互等價(jià):(1)沿D中任一分段光滑的閉曲線L有6Pdx+Qdy=0;17(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分1Pdx+Qdy與路徑無關(guān),只與L的L起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān);(3)Pdx+Qdy是D內(nèi)某一函數(shù)u的全微分,即在D內(nèi)存在函數(shù)u(x,y),使得du=Pdx+Qdy;TOC\o"1-5"\h\zdP dQ(4)在(4)在D內(nèi)每點(diǎn)處有dy dx定理2中四個(gè)命題相互等價(jià)的意思是指它們之間互為充分與必要條件,例如從定理中得出結(jié)論“曲線積分1Pdx+Qdy與路徑無關(guān)的充要條件是:”=辿在D內(nèi)恒成L dy dx立.”等,我們用轉(zhuǎn)圈的辦法來證明這個(gè)定理。證(1)n(2)設(shè)A,B為L的起點(diǎn)和終點(diǎn),任取兩條路線AMB和ANB,由(1)所以即所以即) Pdx+Qdy=0AMBNAJ Pdx+Qdy+1 Pdx+Qdy=0AMB BNA1 Pdx+Qdy=-1 Pdx+Qdy=1 Pdx+Qdy,AMB BNA ANB說明積分值與路徑無關(guān)。(2)n(3)設(shè)A(x0,y0)為D內(nèi)某一定點(diǎn),B(x,y)為任意一點(diǎn)由(2)知1Pdx+Qdy的值僅與點(diǎn)B有關(guān)而與積分路徑無關(guān),當(dāng)B(x,y)在D內(nèi)變AB動(dòng)時(shí),上述積分是點(diǎn)B(x,y)的函數(shù),設(shè)為u(x,y)=1Pdx+Qdy=1(x,y)Pdx+QdyAB (xo,y0)下面證明u(x,y)的全微分就是Pdx+Qdy,因?yàn)镻(x,y),Q(x,y)都是連續(xù)的,因此只要18Su du證明 =P(x,y), =Q(x,y)。c.x Sy按偏導(dǎo)數(shù)定義,有 如=limCxA-0于是u(x+Ax,y)=J(x+Ax,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy(x0,y0)這里的曲線積分與路徑無關(guān),可以取先從A(x0,y0)到B(x,y),然后沿平行于x軸的直線從B到C(x+Ax,y)作為上式右端的曲線積分的路徑,這樣就有u(x+Ax,y)=u(x,y)+J(x+Ax,y)Pdx+Qdy從而(x,y)u(x+Ax,y)-u(x,y)=J(x+Ax,y)Pdx+Qdy(x,y)因?yàn)橹本€段BC的方程為y二常數(shù),按對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法,上式成為

u(x+Ax,y)-u(x,y)=Jx+AxP(x,y)dxx應(yīng)用定積分中值定理,得u(x+Ax,y)-u(x,y)=P(x+0,Ax,y)Ax上式兩邊除以Ax,并令A(yù)x-0,由于P(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)連續(xù),P(x,y)本身也一定連續(xù),于是得如=P(x,y).Cx所以(3)n(4)du=Pdx+Qdy設(shè)存在函數(shù)u(x,y),使得du=Pdx+Qdy那么有CQ C2u = .CxCyCx因?yàn)镃P與CQ連續(xù),CyCx所以C2u C2u。CxCyCyCx所以dydxdy19從而有apaq

ayax從而有(4)n(1)設(shè)L為D中任一分段光滑的封閉曲線,記L圍成的區(qū)域?yàn)镈〃由于D是單連通區(qū)域,所以D1全屬于D內(nèi),應(yīng)用格林公式及條件(4)可得PdPdx+Qdy=6爪axaydxdy=0.J在定理2中,要求區(qū)域D為單連通區(qū)域,且函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)汝口果這兩個(gè)條件之一不能滿足,那么定理的結(jié)論不能保證成立.例如,在例3中我們已經(jīng)看到,當(dāng)L所圍成的區(qū)域含有原點(diǎn)時(shí),雖然除去原點(diǎn)外,恒有筌ap,但沿閉曲線的積分6Pdx+Qdy于0其原因在于區(qū)域內(nèi)含有破壞函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及LI'f連續(xù)性條件的點(diǎn)。,這種點(diǎn)通常稱為奇點(diǎn).如圖所示,在公式中取ARB為積分路徑,如圖所示,在公式中取ARB為積分路徑,TOC\o"1-5"\h\zu(x,y)=JxP(x,y)dx+JyQ(x,y)dy

x0 0 y0在公式中取ASB為積分路徑,得x0u(x,y)=JyQ(x,y)dy+JxP(x,y)dx

x0例5計(jì)算1(1+xy2)dx+x2ydy,其中L是橢圓g+y2=1在第一、第二象限的部分,l 4方向從點(diǎn)A到點(diǎn)B。解因?yàn)樵诖藱E圓曲線上進(jìn)行積分計(jì)算較繁.能否換一條路徑呢?由于P(x,y)=1+xy2,Q(x,y)=x2y,得aP=2xy=絲在整個(gè)xOy平面上(單連通域)成立,所以該ay ax曲線積分與路徑無關(guān),故我們?nèi)軸上線段AB作為積分路徑AB的方程為y=0,且x從-2變到2,從而20

J(1+xy2)dx+x2ydy=JJ(1+xy2)dx+x2ydy=J(1+xy2)dx+x2ydy=』21dx=4

L AB -2例6驗(yàn)證:xdy-y而在右半平面(x>0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出一個(gè)x2+y2這樣的函數(shù).解 P=———,Q=-x一,有x2+y2 x2+y2在右半平面內(nèi)恒成立,因此在右半平面內(nèi),蟲二2dx是某個(gè)函數(shù)的全微分.x2+y2,.V,⑼如明取積分路徑如圖所示,利用公式得u(x,y)=J(x,y)xdy-ydx=J xdy-ydx+J(1,0)x2+y2abx2+y2bcxdy-ydx

x2+y2arctanyxyy=arctan一x0例7設(shè)曲線積分Jxy2dx+yep(x)dy與路徑無關(guān),其中叭x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且L夕(0)=0,計(jì)算J(1,1)xy2dx+yp(x)ddy.(1,0)dP dQ解P(x,y)=xy2,Q(x,y)=y^(x),—=2xy, ——=y“(x),由曲線積分與路徑無關(guān)的條dy dx件有:1P=半,所以有y“(x)=2xydydx因此叭x)=x2+C由夕(0)=0得C=0,即叭x)=x2J(1,1)xy2dx+yp(x)dy=J10dx+J1ydy=1/2。(1,0) 0 0(0,D和(1,2)點(diǎn)的圓弧。練習(xí)曲線積分/="'y+x他+(叱-2y(0,D和(1,2)點(diǎn)的圓弧。21

(卜y一,B %解令P=o Aey+x,Q_ 7^xaq_ _eyxey-2y,貝ax ,ap——=eyay ???I與路徑無關(guān)。取積分路徑為OA+AB。I_JPdx+QdyJJ1(1+x)dx+J2(ey=0 0Pdx.:-2y)dy_e2--課外自主學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)資源教學(xué)反思(手寫)22

課次 19周次 10 教學(xué)時(shí)數(shù) 2授課課題§10.4對面積的曲面積分授課方式講授教學(xué)目標(biāo)理解對面積的曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是對面積的曲線積分的計(jì)算難點(diǎn)是對面積的曲面積分的計(jì)算授課方法和手段講練結(jié)合法教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)曲面積分的積分區(qū)域是空間的曲面,這里我們所討論的曲面都是光滑的或分片光滑的.如果曲面£上每點(diǎn)M都有切平面,而且當(dāng)M沿曲面連續(xù)變動(dòng)時(shí),切平面的法向量在曲面上連續(xù)變化,就稱曲面£是光滑的;如果曲面£是由幾塊光滑曲面組成的連續(xù)曲面,就稱£是分片光滑的。一、對面積的曲面積分的概念.空間曲面質(zhì)量在對平面曲線弧長的曲線積分中,將曲線換為曲面,線密度換為面密度,二兀函數(shù)換為三兀函數(shù)即可得對面積的曲面積分。設(shè)有一曲面S。其上不均勻分布著面密度為S上的連續(xù)函數(shù)目=皿羽y,z),求曲面S的質(zhì)量。經(jīng)分割,代替,求和,取極限四步,M=Jmf工,)?△Sj.定義設(shè)曲面Z是光滑的,f(羽y,z)在Z上有界,把Z分成n小塊,任取0,1工,)eAS」作乘積fJ,[工)?AS(i=1,2,……,n),再作和£f0口工)A'=1,2,……,n),i=1當(dāng)各小塊曲面直徑的最大值九一0時(shí),這和的極限存在,則稱此極限為f(x,y,z)在E上對面積的曲面積分或第一類曲面,記JJf(x,y,z)ds,即2JJf(X,y,z)ds=lim£f化用工)-ASj0「 iii iE i=1說明:(1)也f(x,y,z)ds為封閉曲面上的第一類曲面積分(2)當(dāng)f(x,y,z)連續(xù)時(shí),JJf(x,y,z)ds存在(3)當(dāng)f(x,y,z)為光滑曲面的密度函數(shù)時(shí),質(zhì)量M=JJf(x,y,z)dsE23

(4)(5)(6)f(x,y,z)=1時(shí),~S-(4)(5)(6)f(x,y,z)=1時(shí),~S-JJds為曲面面積2性質(zhì)同第一類曲線積分E-E+E1 2若E為有向曲面,則JJf(x,y,z)ds與E的方向無關(guān)。2對面積的曲面積分有類似于第五節(jié)中的對弧長的曲線積分的一些性質(zhì).二、對面積的曲面積分的計(jì)算定理設(shè)曲面E的方程z-z(x,y),E在xoy面的投影D,若f(x,y,z)在D上具有一xyxy階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),說明(1)在E上連續(xù),則JJf(x,y,z)ds=JJf(x,y,z(x,y))1+z2+z2dxdyd xy2 Dxy設(shè)z-z(x,y)為單值函數(shù)若E:x-x(y,z)或y-y(x,z)可得到相應(yīng)的計(jì)算公式。若E為平面里與坐標(biāo)面平行或重合時(shí)JJf(x,y,z)ds=JJf(x,y,0)dxdy例1計(jì)算曲面積分JJS(x2+y2+z2)dS,其中S是球面:x2+y2+z2=a2。解由被積函數(shù)與曲面的對稱性,所求積分等于兩倍上半球面S1上的積分,即

JJ(x2+y2+z2)dS=2JJ(x2+y2+z2)dS。SiS1的方程為z=\:1a2-x2-y2,從而3x 、Ja2-x2-y2所以 dS=11+、2dxdy=dxdy一y2曲面S1在xOy平面的投影區(qū)域D為:x2+y2sa2,由公式得JJ(x2+y2+z2)dS=U(x2+y2+a2-x2-y2)S,=drr2=JJ, a3 dxdy=J2,d9=drr2daa2-x2-y2 0 0=-2兀=-2兀a3aa2-r2°=2兀a4,0故有JJ(x2+y2+z2)dS-4九a4。S24

然而,如果我們利用曲面的方程先將被積函數(shù)化簡,并運(yùn)用球面的面積公式,立即可得上面積分的值:pp rrJJ(x2+y2+z2)dS=a2JJdS=4兀a4.c cS S例2計(jì)算半徑為R的均勻球殼繞對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解設(shè)面密度p0=1,取球心為坐標(biāo)原點(diǎn),則球面S的方程是x2+y2+z2=R2,易證所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=JJ(x2+y2)dS。c由上例知,球面的面積元素dS= R dxdy,Rr2-x2-y2代入上面的積分,并利」用對稱性得I=2JJ-八R(x2+y2)dxdy=2R卜defRJ」/R2-x2-y2 0 0Jr2—r2=4兀RJ0R r"-r-Rsin14nR4f2sin31dtRr2-r2 08D=一兀R4。3因?yàn)榍驓べ|(zhì)量M=4兀R2-p0=4兀R2,所以I=一4nR2-R2=一MR23 3課外自主學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)—學(xué)習(xí)資源教學(xué)反思(手寫)25

課次20周次11教學(xué)時(shí)數(shù)2授課課題§10.5對坐標(biāo)的曲面積分的概念授課方式講授教學(xué)目標(biāo)1掌握有向曲面的概念2理解對坐標(biāo)的曲面積分的概念及其性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是對坐標(biāo)的曲面積分的概念難點(diǎn)是對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)授課方法和手段講練結(jié)合法教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、有向曲面的概念側(cè):設(shè)曲面zY(x,y),若取法向量朝上(n與Z軸正向的夾角為銳角),則曲面取定上側(cè),否則為下側(cè);對曲面x=x(y'z),若n的方向與x正向夾角為銳角,取定曲面的前側(cè),否則為后側(cè),對曲面y=y(x,z),n的方向與y正向夾角為銳角取定曲面為右側(cè),否則為左側(cè);若曲面為閉曲面,則取法向量的指向朝外,則此時(shí)取定曲面的外側(cè),否則為內(nèi)側(cè),取定了法向量即選定了曲面的側(cè),這種曲面稱為有向曲面設(shè)^是有向曲面,在E上取一小塊曲面AS,把AS投影到xoy面上,得一投影域A。(表示區(qū)域,又表示面積),假定AS上任點(diǎn)的法向量與z軸夾角丫的余弦同號(hào),xy[Ao cosy>0xy則規(guī)定投影ASx為ASx=(-A。xcosy<0實(shí)質(zhì)將投影面積附以定的符號(hào),同理可0 cosy=0以定義AS在yoz面,zx面上的投影AS,ASy26二、引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體(設(shè)密度為1)的速度場為V(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,Z為其中一片有向曲面,P,Q,R在Z上連續(xù),求單位時(shí)間內(nèi)流向Z指定側(cè)的流體在此閉域上各點(diǎn)處流速為常向量V,又設(shè)n為該平面的單位法向量,則在單位時(shí)間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一底面積為A,斜高為V的斜■ £?.、????一一 . rT fC- -冗- ___.,,、一、?柱體,斜柱體體積為A?V-cos。=A-v.n((n,v)=8<-)時(shí),此即為通過區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量。當(dāng)((n,CV)=。=夕時(shí),流量為0,當(dāng)@Cn)=e>今時(shí),流量為負(fù)值稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均稱為A.v.n。解但所考慮的不是平面閉區(qū)域而是一片曲面,且流速V也不是常向量,故采用元素法。把Z分成n小塊ASi,設(shè)Z光滑,且P,Q,R連續(xù),當(dāng)ASi很小時(shí),流過ASi的體積近似值為以ASi為底,以「(.,!工」為斜高的柱體,任(匕,[工,)eAS「n為(匕,'工,)處的單位法向量7=化用工},故流量①工V&,n工)?n,AS,iiii i iii i①p?viniAS=Z[Pcosa+QcosP+Rcosy]AS又cosa-AS=ASi=1 i=1cosP.-AS=AS,cosy..ASi=ASi.,?①2Z[PAS+QAS+RAS]i=1???①=limZ[PAS+QAS+RAS],其中九為最大曲面直徑。^^°i=1三、對坐標(biāo)的曲面積分的概念1.定義定義1設(shè)Z為光滑的有向曲面,函數(shù)R(x,y,z)在N上有界,把N任意分成n塊小曲面ASQSi同時(shí)又表示第i塊小曲面的面積,ASj在xOy面上的投影為(ASi),(?!癚是AS.上任意取定的一點(diǎn),如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值A(chǔ)-0時(shí),27

limEr化,n工)(AS)20 iiiixy=1總存在,則稱此極限為函數(shù)R(x,y,z)在有向曲面N上對坐標(biāo)x,y的曲面積分,記作JJ作JJR(x,y,z)dxdy,即sJJR(x,y,z)dxdy=limEr(己,刈<)(AS)。?0 ' ' 'xxy=1其中,R(x,y,z)叫做被積函數(shù),N叫做積分曲面。類似地,可定義函數(shù)P(x,y,z)在有向曲面N上對坐標(biāo)y,z的曲面積分JJP(x,y,z)dydz,及函數(shù)Q(x,y,z)在有向曲面N上對坐標(biāo)z,x的曲面積分sJJQ(x,y,z)dzdx分別為s,yzf=i I', 1HP(羽y,z)dydz=limXp(己,n<)(,yzf=i I', 120 ' ' 'izxi=1JJQ(X,y,z)dzdx=limZ0(&,刈工20 ' ' 'izxi=1以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面積分。說明:(1)Z有向,且光滑(2)P說明:(1)Z有向,且光滑(2)P,Q,R在E上連續(xù),即存在相應(yīng)的曲面積分JJPdydz+JJQdzdx+JJRdxdy=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體,流向e指定側(cè)的流量①=JJPdyd升QdzdxrRdxdye2.性質(zhì)性質(zhì)1如果把N分成N1和N2,則JJPdydz+Qdzdx+Rdxdys=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy+JJPdydz+Qdzdx+Rdxdys1 s2公式可以推廣到N分成N-N2,?…Nn的情形.性質(zhì)2設(shè)N是有向曲面,-N表示與N取相反側(cè)的有向曲面,則JJP(x,y,z)dydz=-JJP(x,y,z)dydz,一s sJJQ(x,y,z)dzdx=-JJQ(x,y,z)dzdx,28JJR(x,y,z)dxdy=—JJR(x,y,z)dxdy.-S 2公式表示,當(dāng)積分曲面改變?yōu)橄喾磦?cè)時(shí),對坐標(biāo)的曲面積分要改變符號(hào),因此關(guān)于對坐標(biāo)的曲面積分,我們要注意積分曲面所取的側(cè).這些性質(zhì)的證明從略.四、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算設(shè)積分曲面Z是由方程z=z(x,y)所給出的曲面上側(cè),Z在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)椤?函數(shù)z=z(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)R(x,y,z)在N上連續(xù).按對坐標(biāo)的曲面積分的定義,有JJR(x,y,z)dxdy=limEr化,刈工)(AS)

s 。iiiixyi=1因?yàn)閆取上側(cè),cosY>0,所以(AS.)=(Aa)

\vxy'vxy又因(jnig)是z上的一點(diǎn),故q=z(J〃i).從而有Zr化用工)(As)=Zr(^,n,z(^,n))(Ao)iiiixy iiii ixy=1 i=1令A(yù)-0取上式兩端的極限,就得到JJR(x,y,z)dxdy=JJ R(x,y,z(x,y))dxdy這就是把對坐標(biāo)的曲面積分化為二重積分的公式.公式(10-5-1)表明,計(jì)算曲面積分JJR(x,y,z)dxdy時(shí),只要把其中變量z換為表示Z的函數(shù)z(x,y),然后在Z的投S影區(qū)域Dxy上計(jì)算二重積分就成了.說明:(1)將z用z=z(x,y)代替,將Z投影到xy面上,再定向,則JJRdxdy=JJR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy(2)若Z:z=z(x,y)取下側(cè),則cosy<0,(AS)=-(Ao.)JJR[x,y,z(x,y)]dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy

Z dxy(3)JJPdydz,JJQdzdx與此類似z zZ:y=y(x,z)時(shí),右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù)x=x(y,z)時(shí),前側(cè)為正,后側(cè)為負(fù)例1計(jì)算JJxdydz+ydzdx+zdxdy,其中Z為平面x+y+z=a(a>0)在第一卦限的部分,取上側(cè)。229

解為了方便,首先計(jì)算』』[dxdy.易知Z的法向量與Z軸正向的夾角為銳角,£故二重積分取正號(hào),N在xOy面上的投影為三角形區(qū)域AOB,其中Dxy:0<y<小x,0<x<a。所以 JJzdxdy二JJ(a一x一y)dxdy=JadxJa~x(a一x一y)dy=—a3。£ Dxy 0 0 6由于在此曲面積分中,x,y,z是對稱的,從而有JJxdydz=JJydzdx二一a3?!?£ 63 1所以得到 JJxdydz+ydzdx+zdxdy二—a3=—a3。£ 6 2例2計(jì)算曲面積分JJxyzdxdy,其中Z是球面x2+y2+z2=1外側(cè)在x>0,y>0的部分.£解把Z分為Z1和Z2兩部分,如圖所示,Z1的方程為z1=-J1-x2-y2,Z2的方程為 z2=J1-x2-y2,所以JJxyzdxdy=JJxyzdxdy+JJxyzdxdy£ £2 £1上式右端的第一個(gè)積分曲面Z2取上側(cè),第一個(gè)積分曲面Z1取下側(cè),因此應(yīng)用公式就有JJxyzdxdy=JJxyJ1-x2-y2dxdy-JJxy(-J1-x2—y2)dxdy£ D D=2JJDxyxyq1-x2-y2dxdy二2/r2sin0cos0J1-r2.rdrd0xy=J2sin20d0J1r3J1-r2dr0=1.工15課外自主學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)02= .15學(xué)習(xí)資源教學(xué)反思(手寫)30

課次21周次11教學(xué)時(shí)數(shù)2授課課題§10.6高斯公式與斯托克斯公式授課方式講授教學(xué)目標(biāo)1掌握高斯公式及其應(yīng)用2掌握斯托克斯公式及其應(yīng)用3理解空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是高嘶公式與斯托克斯公式難點(diǎn)是對高斯公式與斯托克斯公式的應(yīng)用授課方法和手段講練結(jié)合法教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、高斯公式格林公式揭示了平面閉區(qū)域上的二重積分與圍成該區(qū)域的閉曲線上的第二類曲線積分之間的關(guān)系,而這里所提出的高斯(62左$)公式,則揭示了空間閉區(qū)域上的三重積分與圍成該區(qū)域的邊界閉曲面上的第二類曲面積分之間的聯(lián)系,可以認(rèn)為高斯公式是格林公式在三維空間的一個(gè)推廣.定理1設(shè)空間閉區(qū)域Q是由分片光滑的閉曲面E所圍成,函數(shù)P(X,y,z),Q(X,y,z),R(x,y,z)在。及E上具有關(guān)于x,y,z的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有川 —+—+—Idxdydz=4bPdydz+Qdzdx+Rdxdy,虱。xdy&J £這里E是Q整個(gè)邊界曲面的外側(cè).公式(10-6-1)稱為高斯公式.證首先證明如下情形,任平行于坐標(biāo)軸的直線和邊界曲面E至多只有兩個(gè)交點(diǎn),這時(shí)E可分成下部E1,上部E2,側(cè)面E3二部分,其中E1和E2分別由z=z1(x,y)和z=z2(x,y)給定.這里z1(x,y)V2(x,y),E3是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面上的一部分,取其外側(cè)。由三重積分的計(jì)算法有川竺dv=JJ Jz2a,y)竺dz]dxdy=』J [R(x,y,z(x,y))一R(x,y,z(x,y))]ixdyC。z DLz(X,y)& 」 D 2 1xy 1 xy根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,有JJR(x,y,z)dxdy=—JJR(x,y,z1(x,y))dxdy,JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z2(x,y))dxdy。4 Dxy31因?yàn)閆3上任意一塊曲面在xOy面上的投影為零,所以直接根據(jù)對坐標(biāo)的曲面積分的定義可知J!R(x,y,z)dxdy=0把以上三式相加,得JJR(x,y,z)dxdy=JJ [R(x,y,z(x,y))一R(x,y,zS于是JJJqHdV=&Rady同理可證:JJJ—dv=(JJ)Pdydz

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