基于近似擬牛頓近似擬牛頓法的超寬帶定向耦合器設(shè)計

基于近似擬牛頓近似擬牛頓法的超寬帶定向耦合器設(shè)計

1契比雪夫組合濾波器的設(shè)計在微波系統(tǒng)中，定向耦合器是一種廣泛使用的微波設(shè)備。例如，應(yīng)該應(yīng)用定向激勵裝置來表示測量網(wǎng)絡(luò)分析儀、功率合成和微波接收機中的混合頻率。近年來,隨著定向耦合器的廣泛應(yīng)用,對其帶寬提出了更高的要求,因而需要對超寬帶定向耦合器進行設(shè)計。然而在設(shè)計中,涉及到求解1/4波長等效階梯阻抗濾波器的最優(yōu)等波紋多項式,即契比雪夫多項式。此求解過程是一個復(fù)雜的求一個非線性方程組的問題,帶寬越寬即階數(shù)越高,其求解越困難。針對這一問題,本文提出了一種可靠有效的近似擬牛頓法來求解契比雪夫多項式。并在文章最后給出了MicrowaveOffice仿真結(jié)果和實驗結(jié)果,驗證了此算法是一種可靠有效的算法。2階梯阻抗濾波器多節(jié)對稱平行耦合線定向耦合器的綜合,是以單節(jié)為基礎(chǔ)的,而單節(jié)是四端口網(wǎng)絡(luò),不能直接應(yīng)用雙端口網(wǎng)絡(luò)的綜合方法來綜合。單節(jié)定向耦合器與1/4波長階梯阻抗濾波器等效,而1/4波長階梯阻抗濾波器是個雙端口網(wǎng)絡(luò),故可用1/4波長階梯阻抗濾波器作為多節(jié)定向耦合器的原型。對于單節(jié)平行耦合線定向耦合器,當其偶模阻抗Z0e為對特性阻抗Z0的歸一化值時,如果1/4波長階梯阻抗濾波器的歸一化阻抗Z1等于定向耦合器的歸一化偶模阻抗Z0e,則二者等效,奇模阻抗由Z0eZ0o=Z0算出。故1/4波長階梯阻抗濾波器可作為定向耦合器的原型。本文研究的主要是對稱多節(jié)定向耦合器,所以其節(jié)數(shù)n為奇數(shù)。綜合1/4波長階梯阻抗濾波器的方法為:先把各節(jié)的[A]矩陣乘起來,求出n節(jié)濾波器[A]矩陣,然后寫出它的插入衰減函數(shù)并用近似的契比雪夫或最平坦函數(shù)來逼近,最后由近似衰減函數(shù)綜合處各階梯阻抗來。以下是n節(jié)1/4波長階梯阻抗濾波器原型的[A]矩陣:式中,對于對稱結(jié)構(gòu)的多節(jié)耦合線定向耦合器,A11=A22,則上式變?yōu)?可見,衰減函數(shù)中(A12-A21)2都可表示成sinθ的多項式,所以可有:在定向耦合器中,它的傳輸衰減函數(shù)與1/4波長階梯阻抗濾波器的衰減函數(shù)相同,耦合函數(shù)與反射函數(shù)相同。對于定向耦合器,通常要求在一定帶寬內(nèi),具有允許波紋,也就是具有允許波紋的所需衰減。因此有(x)契比雪夫多項式來逼近衰減函數(shù),根據(jù)此衰減特性可以求得它的耦合特性。由于k=Г,故有:C=10lg|k|2=10lg|Г|2=10lg(1-|τl2)(4)同時,上式表明了衰減與耦合間的互換關(guān)系,式中C的值是負的。當衰減為零時,耦合為無窮大;衰減呈小波紋變化,故為契比雪夫耦合波紋的定向耦合器,即可作為定向耦合器的原型。3近似擬牛頓算法由上圖可知x1,x2是奇次多項式P5(x)一階導(dǎo)數(shù)的兩個零點,5階的契比雪夫多項式是p5(x)=c1(x1,x2)x+c3(x1,x2)x3+c5(x1,x2)x5。圖中p+和p-是等波紋的極限。Pn(1)依賴于n的值:pn(1)=p+當(n-1)/2是偶數(shù)時=p-當(n-l)/2是奇數(shù)時同理,對于多階奇次多項式有,cj是xi,(i=1～(n-1)/2)的函數(shù),且當j是偶數(shù)時cj=0。把系數(shù)不為零的cj,(j=1～(n+1)/2)及多項式的零點xj,(i=1～(n-1)/2)作為方程組的n個未知數(shù),當求解一個非線性方程組fi(x)=0,i=0,1,…n-1即可求出系數(shù)cj,方程組將由下給出。首先,有(n-1)/2個非線性方程:其次,有(n-1)/2個非線性方程:且A(δ)=10δ/10,A(C)=l0c/10,k=1～(n-1)/2本文采用擬牛頓法來求解上面的非線性方程組,其具體過程如下:設(shè)非線性方程組及初值如下給出:若X的第k次迭代近似值為:則k+1次迭代近似值為:其中F(X)為雅克比矩陣:一般的擬牛頓法要求雅克比矩陣,想要對高階非線性方程組求偏導(dǎo)數(shù)是一個很困難的問題,定向耦合器帶寬越寬,階數(shù)越高,求解越困難。因此本文使用了一種近似擬牛頓法,用差商代替雅克比矩陣中的偏導(dǎo)數(shù)。此法可以加快收斂速度,且節(jié)省計算量,其具體實現(xiàn)如下:其中,近似擬牛頓法求解非線性方程組的具體框圖如圖2所示?？驁D中的i,j=0,1,…,n-1。該算法通過求fi(xj)得到線性方程組的系數(shù)矩陣A,從而把求解非線性方程組問題轉(zhuǎn)變成求解一個線性方程組問題,且該算法中采用的是全選主元高斯消去法來求解線性方程組AZ=B。應(yīng)用上面給出的近似擬牛頓法,計算出耦合度C=3DB,等波紋度δ=0.2DB的十九階定向耦合器的多項式P19(x),其曲線圖如圖3所示。由圖3可見,近似擬牛頓法能滿足超寬帶定向耦合器設(shè)計中契比雪夫多項式求解的精度要求。4實際九階定向耦合器電路測試本文通過這個九階的耦合度C=20DB,等波紋度δ=0.4DB,隔離度大于15DB的定向耦合器設(shè)計,在應(yīng)用該近似擬牛頓法求解契比雪夫多項式的基礎(chǔ)上,計算得出最終的歸一化偶模阻抗計算值Z1=1.0089,Z2=1.0206,Z3=1.0416,Z4=1.0833,Z5=1.2297,其帶寬比B=f2/f1=11.593,分式帶寬W=1.6824。并根據(jù)以上歸一化偶模阻抗值計算出九階對稱定向耦合器各節(jié)的耦合微帶線寬度、縫隙寬度及1/4工作波長,在軟件MicrowaveOffice中作為初值進行優(yōu)化。最后本文利用優(yōu)化好的參數(shù),畫出PCB板,制做成實際的九階定向耦合器電路。本文沒有對定向耦合器的設(shè)計進行任何修正。通過對實際電路的測試,它的實際特性基本符合設(shè)計要求。可見,該算法是實際可行的等波紋多項式求解的方法。5超寬帶定向耦合器設(shè)計的近似擬牛頓法根據(jù)上面的實例可以看出,該算法是一種可靠且有效的算法。如果在設(shè)計中考慮到各種損耗并加以修正的話,此算法能得到更高的精度