安徽省安慶、池州、銅陵三市2024屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版含答案）

第第頁安徽省安慶、池州、銅陵三市2024屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版含答案）姓名________座位號________

（在此卷上答題無效）

安慶、池州、銅陵三市2024屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

考生注意事項：

1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知集合，，則集合（）

A．B．C．D．

2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）

A．B．iC．D．

3．已知，則（）

A．B．C．D．

4．在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內(nèi)放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（）

A．B．C．D．

5．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）

A．B．C．D．

6．分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長度為（）

圖1圖2圖3

A．B．C．D．

7．已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，P，Q為C上兩點(diǎn)，，若，則C的離心率為（）

A．B．C．D．

8．已知正方體的棱長為1，P，Q分別為棱，上的動點(diǎn)，則四面體PQAD的體積最大值為（）

A．B．C．D．

二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．

9．甲乙兩名射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲78795491074

乙9578768677

則（）

A．甲乙兩人射擊成績的平均數(shù)相同

B．甲乙兩人射擊成績的中位數(shù)相同

C．甲命中環(huán)數(shù)的極差大于乙命中環(huán)數(shù)的極差

D．甲比乙射擊成績更穩(wěn)定

10．已知，，，A，B兩點(diǎn)不重合，則（）

A．的最大值為2

B．的最大值為2

C．若，最大值為

D．若，最大值為4

11．已知為函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．在上單調(diào)遞減B．的極小值為-2

C．D．

12．已知平行四邊形ABCD中，，，，P，Q分別為△ABC與△ADC的外接圓，上一點(diǎn)，則（）

A．P，Q兩點(diǎn)之間的距離的最大值為6

B．若直線PQ與，都相切，則直線PQ的斜率為1

C．若直線PQ過原點(diǎn)與相切，則直線PQ被截得的弦長為4

D．的最大值為

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．二項式的展開式中的常數(shù)項為________．

14．寫出函數(shù)，的一個單調(diào)遞增區(qū)間為________．

15．過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________．

16．已知函數(shù)既有極小值又有極大值，則實數(shù)a的取值范圍是________．

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（10分）

如圖，在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，，滿足．

（1）求；

（2）點(diǎn)D在BC上，，，求AB．

18．（12分）

已知數(shù)列滿足，

（1）記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，求．

19．（12分）

為發(fā)展體育運(yùn)動增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，甲乙兩班各5名同學(xué)進(jìn)行羽毛球友誼賽，每人至多參加一場比賽，各場比賽互不影響，比賽勝者本班獲得相應(yīng)積分，負(fù)者班級積分為0，其中甲班5名參賽學(xué)生的情況如下表：

學(xué)生ABCDE

獲勝概率0.40.50.60.70.8

獲勝積分87654

（1）若進(jìn)行5場比賽，求甲班至多獲勝4場的概率；

（2）若進(jìn)行3場比賽，依據(jù)班級積分期望超過10為參賽資格，請問甲班BCD三人組合是否具有參賽資格？請說明理由．

20．（12分）

在矩形ABCD中，，將△ADC沿AC折起至△APC的位置，且．

（1）求證：平面平面PBC；

（2）求二面角的正弦值．

21．（12分）

已知雙曲線C：（，）的離心率為2，在C上．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）不經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與C相交于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn)．

22．（12分）

已知函數(shù)，，若曲線與相切．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線上存在兩個不同點(diǎn)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)均在圖象上，

①求實數(shù)m的取值范圍；

②證明：．

數(shù)學(xué)參考答案

題號123456789101112

答案CDBADCDAABCADBCDBD

1．【解析】，所以，故選C．

2．【解析】，故選D．

3．【解析】因為，所以，，，或（舍去），故選B．

4．【解析】設(shè)底面半徑為r，由已知得，高為．故體積為．

5．【解析】由已知，因為，故，所以，故．

6．【解析】一次分形長度為，二次分形長度為，5次分形長度為，故選C．

7．【解析】設(shè)，則，，．

在中得：，即．在中得：，故．

8．【解析】過點(diǎn)Q作，，，設(shè)，，則t，，，，，，故四面體PQAD的體積為，當(dāng)時，其最大值為，故A正確．

9．【解析】可求甲乙平均數(shù)為，中位數(shù)均為7，故A，B正確；甲的極差為6，乙的極差為4，故C正確；甲的標(biāo)準(zhǔn)差為：，乙的標(biāo)準(zhǔn)差為：，故D錯誤．

10．【解析】由已知A，B為單位圓上任意兩點(diǎn)，，，A正確；設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則，故B錯誤；當(dāng)P，A，B共線時，，故C錯誤；當(dāng)P，A，B共線時，，故D正確．

11．【解析】，由，故，所以，，此時，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．極小值為，故．又，故BCD正確．

12．【解析】可求，由，，的方程為：，的方程為：，，P，Q兩點(diǎn)之間的距離的最大值為，故A錯誤．由已知，故直線PQ的斜率為1，所以B正確．當(dāng)PQ斜率為0時，直線PQ被截得的弦長為4，當(dāng)PQ斜率不為0時，直線PQ被截得的弦長不為4，故C錯誤．當(dāng)DP與相切時，最大，此時，故，所以D正確．

13．【答案】15【解析】展開式第項為：，由，得，故常數(shù)項為．

14．【答案】，或，等【解析】因為，所以為偶函數(shù)，由，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對稱性可知在上單調(diào)遞增．

15．【答案】【解析】由已知得，設(shè)直線l的方程為代入整理得，設(shè)，，故，①②，又，故③。由①②③解得．此時，，O到AB距離為：．故△OAB的面積為．

16．【答案】【解析】在上有兩個不等的實數(shù)根，故，解得．

17．【解析】（1）由已知及正弦定理得：，即．……2分

由余弦定理得：，又，所以．……3分

故，

所以……5分

（2）由（1）知，又，所以，

……7分

在△ABD中，由正弦定理得：

，所以……10分

18．【解析】（1）由已知，由已知，又

當(dāng)時，……2分

故，

所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列……4分

（2）由（1）知：……6分

……8分

設(shè)……10分

故……12分

19．【解析】（1）記A，B，C，D，E參賽獲勝事件分別用A，B，C，D，E表示，

5場全勝的概率為：……2分

甲班至多獲勝4場與5場全勝為對立事件，故甲班至多獲勝4場的概率為

甲班至多獲勝4場的概率為0.9328……4分

（2）記BCD三人組合班級得分為Y，Y的取值分別為0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得

，

，

，

，……10分

因為，所以BCD三人組合具有參賽資格……12分

20．【解析】（1）由已知可得：，，

在△PBC中，，故……2分

又，且，平面PAB

因為，所以平面平面PBC……4分

（2）取AB、CD的中點(diǎn)O、E，連接OP，OE．

因為，所以，

由（1）知：平面平面ABC，……6分

所以平面ABC．

以O(shè)B，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

則，，，……8分

設(shè)平面APC的法向量為，，

，，故，

取，，，則……10分

又平面APC的法向量為，。

所以二面角的正弦值為……12分

21．【解析】（1）由已知得：，所以，又，……2分

解得，，故雙曲線C的方程為……4分

（2）設(shè)直線l的方程為，與C：聯(lián)立整理得：

，由已知。

設(shè)，，則，①……6分

由得：②……8分

由①②聯(lián)立得：，即，

由已知l不經(jīng)過點(diǎn)，故，所以故，……10分

l：，過定點(diǎn)

當(dāng)軸時，設(shè)，，解得，滿足條件

故直線l過定點(diǎn)……12分

22．【解析】（1）設(shè)曲線與的切點(diǎn)坐標(biāo)為，

由，得．

故切線方程為：

即，又切線方程為，

所以①，且②……2分

設(shè)，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減。

最大值為，

由②可得