第三章 剛體和流體的運(yùn)動(dòng)

第三章剛體和流體的運(yùn)動(dòng)1第1頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要內(nèi)容是研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，尤其是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。核心內(nèi)容：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒

這些內(nèi)容同學(xué)們最不熟悉，請(qǐng)同學(xué)們先預(yù)習(xí)。2第2頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月一.剛體——力學(xué)中物體的一種理想模型。剛體：運(yùn)動(dòng)中形狀和大小都保持不變的物體。實(shí)際問題中，當(dāng)物體的形變很小可忽略時(shí)，就將物體視為剛體。(a)剛體上各質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。(b)剛體有確定的形狀和大小。(c)剛體可看作是由許多質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)元)組成的質(zhì)點(diǎn)系。無論所受外力多大，不論轉(zhuǎn)動(dòng)多快，剛體的形狀都始終保持不變。剛體的特征：§3-1剛體模型及其運(yùn)動(dòng)3第3頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月二.剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)如果剛體在運(yùn)動(dòng)中,剛體內(nèi)任何兩點(diǎn)的連線在空間的指向始終保持平行,這樣的運(yùn)動(dòng)就稱為平動(dòng)。在平動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同,因此平動(dòng)剛體可視為質(zhì)點(diǎn)。通常是用剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來代表整個(gè)剛體的平動(dòng)。比如：手捧一本書，圍繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈，書在平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng)？4第4頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

剛體的一般運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜。但可以證明,剛體一般運(yùn)動(dòng)可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。

如果剛體內(nèi)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)便稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。如果轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的,就稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離不同,所以各質(zhì)點(diǎn)的線速度、加速度一般是不同的。二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述

r圖3-1但由于各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變,所以描述各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。5第5頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

r圖3-1

1描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)的角量角坐標(biāo)：

角位移：

單位：rad角速度方向：與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。6第6頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月角加速度角加速度為角速度對(duì)時(shí)間t的一次導(dǎo)數(shù)，或?yàn)榻亲鴺?biāo)對(duì)時(shí)間t的二次導(dǎo)數(shù)。單位：弧度/秒2，rad/s2,s-2方向：角速度變化的方向。7第7頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而言，可用角位移、角速度、角加速度來描寫，但對(duì)于剛體上的某一點(diǎn)來講是作曲線運(yùn)動(dòng)的，可用位移、速度、加速度來描寫。那么描寫平動(dòng)的線量與描寫轉(zhuǎn)動(dòng)的角量之間有什么關(guān)系呢？2線量與角量之間的關(guān)系剛體轉(zhuǎn)過剛體上的一點(diǎn)位移線位移和角位移的關(guān)系8第8頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月速度與角速度之間的關(guān)系加速度與角加速度之間的關(guān)系

將質(zhì)點(diǎn)的加速度可分解為切向加速度和法向加速度.將式兩邊同除9第9頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月由若角加速度

=c(恒量)，則有10第10頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3－1一飛輪轉(zhuǎn)過角度和時(shí)間關(guān)系為式中a、b、c均為常量。求它的角加速度。解：飛輪角速度表達(dá)式角加速度是角速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式可見飛輪在作變速轉(zhuǎn)動(dòng)。11第11頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月決定這個(gè)系統(tǒng)在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，叫做這個(gè)系統(tǒng)的自由度數(shù)。三.自由度意義：物體有幾個(gè)自由度，它的運(yùn)動(dòng)定律就可歸結(jié)為幾個(gè)獨(dú)立的方程式。例如：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在三維空間自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，決定其空間位置需三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，如直角坐標(biāo)系的x，y，z，因此，自由質(zhì)點(diǎn)的自由度為3，這三個(gè)自由度叫平動(dòng)自由度．12第12頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于自由剛體，它既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)，為了確定剛體的位置，我們可先確定剛體質(zhì)心的位置，這需要三個(gè)平動(dòng)自由度；然后取通過剛體質(zhì)心的某一軸線作轉(zhuǎn)軸，為了確定該軸的空間取向，需要知道該轉(zhuǎn)軸與直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角α、β、γ，但α、β、γ之間存在關(guān)系式cos2α+cos2β+cos2γ=1，即α、β、γ三者中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，因而，決定剛體轉(zhuǎn)軸所需自由度為2；最后，還需知道剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度φ，故自由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為3，總自由度為6．問題：

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的自由度是多少？答案：113第13頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

§3-2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理一.力矩力的作用線通過轉(zhuǎn)軸或是平行于轉(zhuǎn)軸，無法使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。力的大小、方向和力的作用點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸位置，是決定轉(zhuǎn)動(dòng)效果的幾個(gè)重要因素。14第14頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月力的大小與力臂乘積為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。用M表示在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)只考慮垂直于轉(zhuǎn)軸的作用力15第15頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月力矩有大小和方向,是矢量力矩矢量M可用矢徑r和力F的矢積表示。M方向垂至于r和F所構(gòu)成平面。由右手螺旋法則確定。16第16頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)各質(zhì)點(diǎn)求和，并注意到按質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理，有

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系,第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢為ri,外力為Fi,內(nèi)力為,mi：得二定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律17第17頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月=M

質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩=L

質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量于是得(3-2)式(3-2)的意義是:質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。這個(gè)結(jié)論叫質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理。顯然它也適用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體這樣的質(zhì)點(diǎn)系。18第18頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月上式稱為物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程。

對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,J為常量,d

/dt=,故式(4-7)又可寫成

上式是一矢量式,它沿通過定點(diǎn)的固定軸z方向上的分量式為這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，它是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。

M=J

(3-5)(3-4)(3-3)(Lz=J

)19第19頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月2當(dāng)一定時(shí)，是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度注意：1改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，產(chǎn)生角加速度的原因是力矩，而不是力！如果說：作用于剛體的力越大，則剛體的角加速度一定大，則錯(cuò)。20第20頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月2為瞬間作用規(guī)律。一旦，立刻，勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。3和，均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言。4代表作用于剛體的合外力矩，特別強(qiáng)調(diào)：系統(tǒng)所受合外力為零，一對(duì)力偶產(chǎn)生的力矩不為零。

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及用隔離體法求解(剛體+質(zhì)點(diǎn))系統(tǒng)問題的方法。21第21頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)量m—物體平動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J—物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。

三

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

動(dòng)量:p=m

角動(dòng)量:L=J

1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義22第22頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月J=

Δmiri2

(3-6)即：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。(2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體

(3-7)式中:r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。(1)質(zhì)量離散分布剛體2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算23第23頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.平行軸定理Jo=Jc+Md2

(3-8)Jc

通過剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;M

剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量;d

兩平行軸(o,c)間的距離。JoJcdCMo圖3-224第24頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月o

通過o點(diǎn)且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

JO=

(1)正三角形的各頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)m，用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿連接,如圖3-3。系統(tǒng)對(duì)通過質(zhì)心C且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為3+ml2=2ml2=ml2+(3m)r2=2ml2例題3-2質(zhì)量離散分布剛體:J=

Δmiri2ml2lll·cr圖3-3mmm25第25頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿連接的五個(gè)質(zhì)點(diǎn),如圖3-4所示。轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)所在平面且通過o點(diǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll圖3-426第26頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月記住！

(1)質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的細(xì)直棒，可繞通過質(zhì)心C且垂直于棒的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例題3-3質(zhì)量連續(xù)分布剛體:

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動(dòng)，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

圖3-5Cdxdmxxo解方法：將細(xì)棒分為若干微元dm=(m/l)dx,然后積分得o27第27頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月R

(3)均質(zhì)圓盤(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可將圓盤劃分為若干個(gè)半徑r、寬dr的圓環(huán)積分：

(2)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

dm圖3-6rdr28第28頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1)與剛體總質(zhì)量有關(guān)?？傎|(zhì)量越大，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。(2)與質(zhì)量分布有關(guān)。剛體上質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。(3)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。29第29頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

解由M=J

,=o+

t有外力矩時(shí),

例題3-4以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。此時(shí)撤去該力矩,轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。撤去外力矩時(shí),-Mr=J

2,

2=/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

J=17.3kg.m2。20=J

1，

1=/t1(因o=0)20-Mr=J

1，

1=/t1(因o=0)(1)30第30頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

解

對(duì)柱體,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=J

有

mg.R=J

這式子對(duì)嗎？錯(cuò)！此時(shí)繩中張力Tmg。正確的解法是用隔離體法。

例題3-5質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱體邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。mg

T圖3-7mMR

對(duì)m:mg-T=ma對(duì)柱：TR=J

a=R解得

=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。31第31頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

m:

mg-T2=maa=R

1=r

2,

2=2ah求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2

1

m2:T2r-T1r=m2r2

2例題3-6兩勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量m1=24kg，m2=5kg。一輕繩纏繞于盤m1上，另一端通過盤m2后掛有m=10kg的物體。求物體m由靜止開始下落h=0.5m時(shí)，物體m的速度及繩中的張力。

解各物體受力情況如圖所示。T1T1圖3-8m1R

1m2

2rT2mgm32第32頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié):若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)包含物體平動(dòng)和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)處理辦法：對(duì)平動(dòng)的物體，分析受力，按照列方程。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，分析力矩，按照列方程。補(bǔ)加轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的關(guān)聯(lián)方程聯(lián)立求解各方程。33第33頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題3-7勻質(zhì)圓盤：質(zhì)量m、半徑R，以

o的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為μ，求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？

解將圓盤分為無限多個(gè)半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，用積分計(jì)算出摩擦力矩。

o圖3-9水平桌面rdr34第34頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月于是得由=

o+t=0得

又由

2-o2=2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為

o圖3-9水平桌面rdr35第35頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月§3-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系(3-10)力矩的功率是一力矩的功(3-11)ZF圖3-10dsd

op

r即：力矩的元功等于力矩M和角位移d

的乘積。

設(shè)物體在力F作用下，繞定軸oz轉(zhuǎn)動(dòng)，則力F的元功是

dA=Fdscos(90o-)=Frsind

=Md

(3-9)36第36頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

=剛體上各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。

設(shè)剛體繞一定軸以角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)

Δmi到轉(zhuǎn)軸的距離為ri,

Δmi的線速度

i=ri

,(各質(zhì)點(diǎn)的角速度

相同)；

相應(yīng)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能為對(duì)比！(3-12)二.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能37第37頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

上式說明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。這便是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。

(3-13)三定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理對(duì)比:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：（J=恒量）38第38頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體受到保守力作用，可引入勢(shì)能概念。重力場(chǎng)中剛體就具有一定重力勢(shì)能。根據(jù)質(zhì)心定義，該剛體質(zhì)心高度為重力勢(shì)能可以表示為四剛體的重力勢(shì)能(3-14)39第39頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

一個(gè)包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng),如果只有保守內(nèi)力作功,則這系統(tǒng)的機(jī)械能也同樣守恒。(3-15)式中,hc為剛體質(zhì)心到零勢(shì)面的高度。

五機(jī)械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用在計(jì)算剛體的重力勢(shì)能時(shí)，可將它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心。剛體的機(jī)械能為40第40頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3-8均勻細(xì)直棒：質(zhì)量m、長(zhǎng)為l，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成

角時(shí)的角速度和角加速度。

Chco圖3-11

解

棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，只有保守力(重力)作功，故機(jī)械能守恒。取水平面為零勢(shì)面，于是有由上得41第41頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

討論：本題也可先由M=J

求出，再用=d/dt積分求出

。

Chco圖3-11角加速度：42第42頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題3-9如圖3-12所示，有一由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物M組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)在彈簧為原長(zhǎng)時(shí)被靜止釋放。運(yùn)動(dòng)過程中繩與滑輪間無滑動(dòng)。求:(1)重物M下落h時(shí)的速度；(2)彈簧的最大伸長(zhǎng)量。

，

=

r

解

(1)系統(tǒng)機(jī)械能守恒：h零勢(shì)面mrMk圖3-1243第43頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月h零勢(shì)面mrMk圖3-12(2)求彈簧的最大伸長(zhǎng)量。

令

=0，得彈簧的最大伸長(zhǎng)量為：

hmax=2Mg/k。44第44頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月一.剛體的角動(dòng)量

剛體的角動(dòng)量=剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量之和。

圖3-13Z

L

mi

irio式中:

J=

Δmiri2稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

Li=Δmi

iri=Δmiri2

剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量就是

Lz=(

Δmiri2)

設(shè)剛體以角速度

繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)(見圖3-13),質(zhì)量為Δmi的質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量為

=J

§3-4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律

45第45頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：為何動(dòng)量的概念對(duì)剛體已失去意義？P=0圖3-13Z

L

mi

irio剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量：Lz=J

(3-16)顯然，剛體的角動(dòng)量的方向與角速度

的方向相同，沿z軸方向(見圖3-13),故也稱為剛體對(duì)固定軸z的角動(dòng)量。46第46頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月(3-17)

上式的物理意義是：合外力矩的沖量(沖量矩)等于物體角動(dòng)量的增量。這就是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理。由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程:若物體所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時(shí)，則

J

=常量

(3-18)這表明：當(dāng)合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量將保持不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律。

二

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理47第47頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)系統(tǒng)所受的合外力力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的總角動(dòng)量的矢量和就保持不變。

對(duì)比：

系統(tǒng)角動(dòng)量守恒是：

系統(tǒng)動(dòng)量守恒是：

在日常生活中,利用角動(dòng)量守恒的例子也是很多的。

系統(tǒng)角動(dòng)量守恒定律：時(shí),時(shí),

(3-19)

三

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律

48第48頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-1449第49頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

角動(dòng)量守恒在現(xiàn)代技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用。例如直升飛機(jī)在未發(fā)動(dòng)前總角動(dòng)量為零,發(fā)動(dòng)以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必然引起機(jī)身的反向旋轉(zhuǎn)。為了避免這種情況,人們?cè)跈C(jī)尾上安裝一個(gè)在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼,由此產(chǎn)生水平面內(nèi)的推動(dòng)力來阻礙機(jī)身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。與此類似,魚雷尾部采用左右兩個(gè)沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的螺旋漿來推動(dòng)魚雷前進(jìn),也是為了避免魚雷前進(jìn)中的自旋。安裝在輪船、飛機(jī)、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的回轉(zhuǎn)儀(也叫“陀螺”)的導(dǎo)航作用，也是角動(dòng)量守恒應(yīng)用的最好例證。

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握角動(dòng)量守恒的條件及用角動(dòng)量守恒定律求解問題的方法。50第50頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題3-10一勻質(zhì)細(xì)棒：長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)。棒自水平位置靜止擺下，在豎直位置處與物體m相碰，碰后物體沿地面滑行距離S后停止，設(shè)物體與地面間的摩擦系數(shù)為

，求剛碰后棒的角速度。

解

(1)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)，機(jī)械能守恒：圖3-15om(2)碰撞過程，角動(dòng)量守恒：51第51頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)物體的滑行，由功能原理：解得討論：當(dāng)l>6S時(shí)，

>0,表示碰后棒向右擺；當(dāng)l<6S時(shí)，

<0,表示碰后棒向左擺。圖3-15om52第52頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

解(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動(dòng)量守恒：

解得

例題3-11勻質(zhì)桿：長(zhǎng)為l、質(zhì)量M，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速度

o射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度

。m

ooA圖3-16

53第53頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月由此得：(2)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中顯然機(jī)械能守恒：m

ooA圖3-16

由前

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能零勢(shì)面

平動(dòng)動(dòng)能54第54頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

解

(1)碰撞過程角動(dòng)量守恒:

例題3-12長(zhǎng)為2L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，靜止在粗糙的水平桌面上，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為μ。兩個(gè)質(zhì)量、速率均為m和

的小球在水平面內(nèi)與桿的兩端同時(shí)發(fā)生完全非彈性碰撞(設(shè)碰撞時(shí)間極短),如圖3-17所示。求:(1)兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？(2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？(不計(jì)兩小球的質(zhì)量）圖3-17m

m.o55第55頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月解得

(2)摩擦力矩為由=o+t得：圖3-17m

m.odmdxfr.xo56第56頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題3-13勻質(zhì)園盤(M、R)與人(m,視為質(zhì)點(diǎn))一起以角速度

o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3-18所示。當(dāng)此人從盤的邊緣走到盤心時(shí)，圓盤的角速度是多少？

解(1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：

o圖3-1857第57頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3-14兩個(gè)同樣的子彈對(duì)稱地同時(shí)射入轉(zhuǎn)盤中，則盤的角速度將。(填：增大、減小或不變)減小.o

o圖3-19m

m

rrJ

o=(J+2mr2)58第58頁，課件共68頁，創(chuàng)作于2023年2月

解(1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？