多尺度法初識(shí)和應(yīng)用

多尺度法初識(shí)和應(yīng)用摘要：簡(jiǎn)要介紹多重尺度發(fā)的中心思想，另外，舉例說(shuō)明多重尺度法在求解方程中的應(yīng)用。非線性問(wèn)題的研究非線性問(wèn)題的“個(gè)性”很強(qiáng)，處理起來(lái)十分棘手。歷史上曾有過(guò)一些解非線性方程的“精品”，但與大量存在的非線性方程相比，只能算是“鳳毛麟角”。因此，長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)非線性問(wèn)題的研究一直分散在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。本世紀(jì)六十年代以來(lái)，情況發(fā)生了變化。人們幾乎同時(shí)從非線性系統(tǒng)的兩個(gè)極端方向取得了突破：一方面從可積系統(tǒng)的一端，即從研究多自由度的非線性偏微分方程的一端獲得重大進(jìn)展。如在淺水波方程中發(fā)現(xiàn)了“孤子”，發(fā)展起一套系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，如反散射法，貝克隆變換等，對(duì)一些類型的非線性方程給出了解法；另一方面，從不可積系統(tǒng)的極端，如在天文學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域?qū)σ恍┛雌饋?lái)相當(dāng)簡(jiǎn)單的不可積系統(tǒng)的研究，都發(fā)現(xiàn)了確定性系統(tǒng)中存在著對(duì)初值極為敏感的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。促成這種變化的一個(gè)重要原因十計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用。科學(xué)家們以計(jì)算機(jī)為手段，勇敢地探索那些過(guò)去不能用解析方法處理的非線性問(wèn)題，從中發(fā)掘出規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，并打破了原有的學(xué)科界限，從共性、普適性方面來(lái)探討非線性系統(tǒng)的行為。線性與非線性的意義“線性”與“非線性”是兩個(gè)數(shù)學(xué)名詞。所謂“線性”是指兩個(gè)量之間所存在的正比關(guān)系。若在直角坐標(biāo)系上畫出來(lái)，則是一條直線。由線性函數(shù)關(guān)系描述的系統(tǒng)叫線性系統(tǒng)。在線性系統(tǒng)中，部分之和等于整體。描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來(lái)仍然是原方程的解。這是線性系統(tǒng)最本質(zhì)的特征之一?！胺蔷€性”是指兩個(gè)量之間的關(guān)系不是“直線”關(guān)系，在直角坐標(biāo)系中呈一條曲線。最簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)是一元二次方程即拋物線方程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，一切不是一次的函數(shù)關(guān)系，如一切高于一次方的多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系，都是非線性的。由非線性函數(shù)關(guān)系描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。多尺度法的基本思想多尺度法首先是由Sturrock(1957)、Cole(1963)、Nayfeh(1965)等提出的,此后得到進(jìn)式為q+T1的發(fā)展。出的,此后得到進(jìn)式為q+T1的發(fā)展。=0上面介紹該法的基本思想與方法。我們考慮形的方程所控制的系統(tǒng)，設(shè)方程的解為q—q+x—q+8x+82xH—0012將原點(diǎn)移至中心位置q—q0是合適的。于是有

此時(shí)第一式可寫成x+f\x+q)=00假設(shè)f可以展為泰勒級(jí)數(shù)，則上式可寫為x+Eaxn=0n其中n=1其中a=f6)(q)nn!0而f(n)而f(n)表示關(guān)變量的n階導(dǎo)數(shù),對(duì)于中心f(q0)=0，而我們可以把方程的解看成是多個(gè)自變量的函數(shù)，而不是一個(gè)自變量的函數(shù)。也就是們可以把x看成是t和￡t，…，的函數(shù)。多尺度法的基本思想是，將表示響應(yīng)的展開式考慮成為多個(gè)自變量(或多個(gè)尺度)的函數(shù)。T=￡nt(n=0,1,2,…)nT=tT=￡tT=￡2t012因此關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)變成了關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)的展開式，即d2dt2=D2+2￡DD+￡2(D2+2DD)+…d2dt2001102然后代入方程進(jìn)行求解，求出xi，x2，x3‘?…。這時(shí)，方程的解可寫成：然后按照小參數(shù)法(攝動(dòng)法)建立￡的各階方程，進(jìn)而求出xi，x2，x3,多重尺度法的應(yīng)用一、求解自治系統(tǒng)例1.4.1求Duffing方程(1.1.4)00x+x=一￡x3(3=1)0自由振動(dòng)的二次近似解(用多尺度法)解：求二次近似解可選三個(gè)變量，設(shè)x=x(T,T,T)+￡x(T,T,T)+s2x(T,T,T)001210122012代入原方程，并用到式(1.4.3)，可得到下列方程組d2x0+x=0dT200d2x_d21+x=一2―x35T21QTQT0001d2xQ2Q2Q2x2+x=—2—2—2—3x3xQT220QTQT01QTQT02QT2011設(shè)式(1.4.4a)的解為x=A(T,T)exp(iT)+Aexp(—iT)01200其中A是未知復(fù)函數(shù)，A是A的共軛。用復(fù)數(shù)形式表示是為了運(yùn)算方便。把x0代入式@x1+x0T210+3A2Aexp(T)—A3exp(3T)+cc00其中CC表示前面各項(xiàng)的共軛。為使X1,不出現(xiàn)永年項(xiàng)，必須2i巴+3A2A=06T11.4.4a).4.4b)1.4.4c).4.4b)4.4d)又求得1x=_A3exp(i3T)+cc180x,x把01代入(1.4.4c),并利用條件(1.4.4d),有d2x=-G更-EA-石1dT8221—3exp(iT)-一A4Aexp(i3T)--A5exp(5iT)+cc

08080消除永年項(xiàng)dA15,2i-A-A2=0dT282+XdT220x2解為1.4.4e)2164A4Aexp(i3T)-0164A5exp(5iT)+cc0利用式（1.4.4d）,（1.4.4e）求人（T1,T2）如下:由(1.4.4d)dAdT1由(1.4.4c)dAdT2iAdAdT2iA-A216dA利用式（1.4.3a）并注意到dTQ=0，就得到dAdt=-iA2A-15iA-A22161A=77aexP（g）a申是t的實(shí)函數(shù)，將之代入上式，實(shí)、虛部展開,令2，其中有a=0315=—8a2—￡2a48256a=a積分得(315)?=—8a2—82a4t+?(8256丿0ao?o為積分常數(shù)，所以A=-aexp2o“315i(8a2一82a4)t+即_8256o_于是，原方程二階近似解為121x二acos屮+一8a3(1—8a2)cos3屮+82a5cos5wo32o32o十1024o十其中門315屮二(1+—8a2—82a4)t+申8256o二、無(wú)限傳輸方程的近似解(一)穩(wěn)定性分析對(duì)于系統(tǒng)x(t)—ax(t—t)+x(t)+aPx(t—t)=8f(x(t))(21])對(duì)于方程(2.1.1)的根x,如果對(duì)x的任一鄰域U,存在x的一個(gè)屬于U的鄰域TOC\o"1-5"\h\zooo使系統(tǒng)(2.1.1)的解x(t)，若有xeU，則對(duì)一切t>o，有x(t)GU，就1o1稱xo是穩(wěn)定的，否則就稱為不穩(wěn)定的。如果x穩(wěn)定，并且有l(wèi)imx(t)=x，就oootT+S稱xo是漸近穩(wěn)定的。定義：若(2.1.1)的零解對(duì)VtgW都是漸近穩(wěn)定的。則稱(2.1.1)為全時(shí)滯+穩(wěn)定的。或叫無(wú)條件穩(wěn)定或絕對(duì)穩(wěn)定?？汕?2.1)的特征方程：將x=cek代人到方程(2.1.1)中則有，x(t)=c九e九tx(t—t)=cek(t-t)x(t—t)=cke九(t-t)所以有：ckekt—acXeMt-u)+a^ce<(t—t)=o即有：九一a九e-航+aBe-航=0(212)即有：t—aPe—航ae—航一1若t=0時(shí)，則九=凹為其特征根。a—1t如果其特征根位于左半平面，而當(dāng)由o增至乜時(shí)，不越過(guò)虛軸，則系統(tǒng)(2.1.2)的更全具有負(fù)實(shí)部，這樣系統(tǒng)(2.1)的零解為全時(shí)滯穩(wěn)定的。因此要使(2.1.1)為全時(shí)滯穩(wěn)定，首先要使(2.1.2)的根具有負(fù)實(shí)部。只有當(dāng)(2.1.1)的特征根為純虛數(shù)時(shí)，方程的解才有近似周期解。用k=?l代人(2.i.i)中，有?i—ie—顧+aPe—顧=0即?i—affli(cosroT一isinwx)+aPcosop-iaPsinwx=0?—aocosot—aPsinot=0所以有]aosinot+apcosot=0令f(o)=o2(1—acosot)—aP2cosotr兀_當(dāng)1—aCOSot>0時(shí)，在區(qū)間上°，二亍上,f'(o)=2o(1—acosot)+O2aTsinoT+aP2TsinoT>0函數(shù)單調(diào)=0時(shí)，f(o)函數(shù)單調(diào)=0時(shí)，f(o)=f(0)=—aP2<0冗o=當(dāng)IT時(shí),兀f(O)=f(2T)=兀24f2>0函數(shù)與X軸有交點(diǎn)，方程有解，即特征方程(2.1.2)有純虛根。(二)近似周期解在8x3的非線性擾動(dòng)的情況下，可求系統(tǒng)的一次近似周期解(利用多尺度法)設(shè)x(t)=x(T,T,T)+8x(T,T,T)+82X(T,T,T)+…(2.2.1)001210122012

苴中T苴中T—t,T—81,T—82t...T—8nt012d應(yīng)用微分算子，記—D0，dT00ddddT—Dr知:1_—+8+0(82)—D+8D+0(82)dtdTdT0i01由X(t)—X(T,T)+8X(T,T)+0(82)，知001101X(t-T)—X(T-T,T-T)+8X(T-T,T-T)+0(82)

001101根據(jù)二元函數(shù)的泰勒展開：f(X+h,y+k)00dd—f(x,y)+(h+k)f(x,y)+...TOC\o"1-5"\h\z00dxdy00令(T-T—X,h—0,T—y,-T—k)知令0010知ddXX(T-T,T-T)—X(T-T,T)+(0?吞-T利00iooiOxdT1dX—X(T—T,T)—T8001dT1—X(T-T,T)-T8DXX(T-T,T-TX(T-T,T-T)—X(T-T,T-T)+(0-101101d

dxdx—X(T一T,T)一T8101-T—dT1dXor12.2.2)(2.2.3)2.2.4)2.2.5)—X(T—T,T)—T8DX2.2.5)10111將(2.2.4)，(2.2.5)代人(2.2.3)中得到時(shí)滯項(xiàng)：X(t-T)—X(T-T,T-T)+8X(T-T,T-T)+0(82)001101—X(T-T,T)-T8DX+8X(T-T,T)-T82DX+0(82)1011110111=x(T-T,T)+8[x(T-T,T)-TDx(T-T,T)]+0(￡2)(2.2.6)0011011001X3(t)=(X+sX+.?.)301=x3(T,T)+38x2(T,T)X(T,T)001001101+3x(T,T)?82x2(T,T)+83x3(T,T)+...(227)001101101(2.2.7)/、fixfixfixfixfixfix2.2.8)x(t)=0+80+820+8L+821+831…2.2.8)fiTfiTfiTfiTfiTfiT010012將(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)(2.2.7)(2.2.8)代人原方程得x(t)—CIx(t—T)+C^Px(t—T)=Dx(T,T)+8Dx(T,T)+8Dx(T,T)+82Dx(T,T)0001100100011101-C「Dx(T,T)+8Dx(T,T)+8Dx(T,T)+82Dx(T,T)]0001100101011101+cP「x(T—T,T)+8x(T—T,T)—8TDx(T—T,T)]0011011001=8x3(T,T)+382x2(T,T)x(T,T)+3x(T,T)?83x2(T,T)+84x3(T,T)001001101001101101

這樣根據(jù)多項(xiàng)式的性質(zhì)，可知，指數(shù)80,81,82的系數(shù)在等式兩邊相等。這樣就有，80:Dx(T,T)—CDx(T,T)+CPx(T—T,T)=0(2.2.9)00010001001(2.2.9)則，當(dāng)(a,b)gD時(shí)，系統(tǒng)可形如(2.1.1),這樣i是特征方程的根。易見方—0程(2.2.9)有如下形式的諧波解：x(T,T)=A(T)e?0t0i+cc0011其中cc表示前面各項(xiàng)的共軛，x(T,T)=A(T)e?°T°i+A(T)e°T°i00111x3(T,T)=A3(T)e3%t0i+3A2(T)e2嘰才(T)e-v?001111+3A(T)e2①0T0iA2(T)e-2①0t0/+A3(T)e-3①0t0/111=A3(T+3A2(T)A(T)幺％令+3A(T)A2(T)幺-%令+A3(T)e-3%T)i10011001100100

81:Dx(T,T)+Dx(T,T)-aDx(T,T)-aDx(T,T)1001010110010101+apx(T-T,T)-apTDx(T-T,T)101—x3(T101—x3(T,T)001ax=at1這樣，Dx(T,T)-aDx(T01010101——Dx(T,T)+aDx(T,T)+aPTDx(T-t,T)+x3(T,T)100110011001001aa^A=-詁吧+aT?e-ro0Ti+aaTeco070i-aaT?e-ro0Ti+apTaTe°0T)i-e-即+A3(T0%今11111又有，D1x0(sT1)=aAeroTi+aT001,T)+a卩x(T-t,T)101dAe-?Tiat001aAaaaAaaaAarero0T0i+?e-ro0T'+aaT"%°-aar*e-%T'+apTarew0T)i?e-ro0Ti11111+A3(T)e3?0T)i+3A2(T)A(T))幺叫片+3A(T)A2(T)e-?0T)i+A3(T)幺-3叫片10011001100100aAaAaAaAaA—apTe-叫tiatat011a+3A(T)A2(T)幺-臨+A3(T0臨+A3(T0臨ar111a-

dT1dA+a8T1+3A2(T)A(T)e嘰11而對(duì)齊次方程D0x1(T0,T1)-aD0x1(T0,T1)+apx1(T0-tt二0的特征方程有:wi-awie-w0ti+ape-w0ti=0000得，為此，wi0—a得，為此，wi0—a(wi-p)01我們可以設(shè)A(TJ=2a(Ti)eib(Ti)e-wqTiaa可令at_1aa可令at_1aA這樣，aT—1ab1aa2at1=1D2eib(T1)eib(T1)aaba(T)eib(tji_i1at1aDieib(T1)b11aDi)

beib(TaDi)

bTOC\o"1-5"\h\z2a由于所求的為方程的近似周期解，所以其永年項(xiàng)為0.則，aaaaaae—+tc卩?e-塑i+3A2(T)A(T)—0tataT0ii111即，1eib(t1)(D+aDi)[d—1+cBte—?0t訂+3A2(T)A(T)—02ab11而，111A(T)A(T)——a(T)eib(t丿?—a(T)e—ib(t1)—_a21121214、、亠r?*/./這樣有，111_eib(T1)(D+aDi)[d—1+a^Te—?0Ti]+3?—a2?—aeib(T1)—02ab42即，TOC\o"1-5"\h\z(D+aDi)[a—1+e-吟i]+ab即，Dex2wi—Dex2p—dDwi—DcxP+Dcx^twia0aa0aa0—ae2Dw—aPe2Di+aewD+aePDi—aePtwDb0b0bb0b+3a3dwi—4o分離實(shí)部和虛部3{—Dce2B—dBD—ad2Dw+adwD—adBTwD—_a3dB—0{aab00br0b4r3De2w一Dew+DcBtw—ad2BD+adBD+_a3dw—0a0a0a0bb40根據(jù)克拉默法則解方程組，得

—a3^B43a3aw0—a—a3^B43a3aw0o—aa2B+aaB—a