1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考綱解讀1．理解命題的概念.2．了解“若，則”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.3．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.命題均勢探究預(yù)測2015年高考命題中.本專題所涉考點(diǎn)依然會以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，融匯代數(shù)或幾何的具體知識考查充要條件的判斷以及四種命題的關(guān)系.知識點(diǎn)精講一、命題可以荊斷真假的語句叫做命題.注：判斷一個(gè)語句是否為命題包含以下兩個(gè)要素：①必須是陳述句；②必須能判斷真假.二、四種命題1．四種命題的表述只有“若，則”形式的命題才有以下四種命題：原命題：若，則；逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則.2．四種命題的關(guān)系（1）原命題為真(假)，其逆命題不一定為真(假)；（2）原命題為真(假)，其否命題不一定為真《假)；（3）原命題為真(假)，其逆否命題一定為真(假)；（4）若命題的逆命題為真(假)時(shí)，其否命題一定為真（假）（兩者互為逆否命題）.如圖1-6所示，根據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題的真值相同，可知四種命題中實(shí)質(zhì)不同的命題只有原命題和逆命題兩類.另外兩類只是它們的不同表示形式.圖1-6圖1-6原命題：若p則q逆命題：若q則p否命題：若p則q逆命題：若q則p互逆互逆互否互否互為逆否等價(jià)關(guān)系三、充分條件、必要條件、充要條件1．定義如果命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時(shí)是的必要條件.2．從邏輯推理關(guān)系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件(也說和等價(jià))；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：，則是的充分條件，同時(shí)是的必要條件.所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立(即如果不成立，則肯定不成立).注：根據(jù)互為逆否命題等價(jià).若有，則一定有.3．從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè).（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”.（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件.題型歸納及思路提示題型4四種命題及真假關(guān)系思路提示互為逆否命題的兩個(gè)命題是等價(jià)命題，它們同真同假，即一個(gè)命題與其逆否命題同真同假；一個(gè)命題的逆命題和否命題同真同假.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可以通過判斷其逆否命題的真假來判斷.例1.12已知函數(shù)在上是增函數(shù)，，有命題：若，則.（1）寫出命題的否命題，判斷真假，并證明你的結(jié)論；（2）寫出命題的逆否命題，判斷真假，并證明你的結(jié)論.分析：“已知函數(shù)在上是增函數(shù)，”為大前提，寫否命題時(shí)，要保證大前提不變.理清命題的結(jié)構(gòu)，分清命題的條件與結(jié)論，寫出否命題和逆否命題，然后判斷真假，并證明.解析：（1）否命題：已知函數(shù)在上是增函數(shù)，，若，則.該否命題為真命題，證明如下：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，若，則所以所以，故否命題為真命題.（2）逆否命題：已知函數(shù)在上是增函數(shù)，，若，則.該逆否命題為真命題，證明如下：由，得.令，，函數(shù)在上為單調(diào)遞增的奇函數(shù).由得，所以，即.評注：當(dāng)命題有大前提，寫該命題的逆命題、否命題和逆否命題時(shí)，應(yīng)保持大前擔(dān)不變.變式1命題“若，則”的逆否命題是（）A．若，則或B．若，則C．若或，則D．若或，則變式2命題“若都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的逆否命題是()A.若不是偶數(shù)，則都不是奇數(shù)B.若不是偶數(shù)，則不都是奇數(shù)C.若是偶數(shù)，則都是奇數(shù)D.若是偶數(shù)，則不都是奇數(shù)題型5充分條件、必要條件、充要條件的判斷與證明思路提示條件與結(jié)論的呈現(xiàn)有兩種方式：（1）題中出現(xiàn)“是的……條件”時(shí)，則是條件，是結(jié)論.（2）若出現(xiàn)“成立的……條件是”，則是條件，是結(jié)論.若由條件可以推出結(jié)論，就是充分性成立；若從結(jié)論可以推出條件，就是必要性成立.例1.13（2013安徽理4）“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件分析：本題利用函數(shù)的圖像確定字母的取值范圍，再利用充要條件的定義進(jìn)行判斷.解析：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像知函數(shù)在上單調(diào)遞增，如圖1-7(a)所示；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖像知函數(shù)在上先增后減再增，不符合條件，如圖1-7(b)所示.所以要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，只需，即“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件.故選C.變式1設(shè)，則是的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件變式2若為實(shí)數(shù)，則“”是“或”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件變式3已知，則滿足關(guān)于的方程的充要條件是（）A．B．C．D．題型6充分條件、必要條件中的含參數(shù)問題思路提示求解充要條件中的含參問題，往往要先求出必要條件所需滿足的參數(shù)范圍，再證明其充分性.例1.14設(shè)非空集合，，求使的充要條件.分析：利用集合與命題之間的關(guān)系求解.解析：由得，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，反之亦真當(dāng)時(shí)，，反之亦真所以，即使的充要條件是.變式1是否存在實(shí)數(shù)，使是的充分條件？如果存在，求出的取值范圍.變式2已知，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.最有效訓(xùn)練題2（限時(shí)45分鐘）1．以下命題中：①函數(shù)的圖像與軸有2個(gè)交點(diǎn)；②向量不共線，則關(guān)于的方程有唯一實(shí)根；③函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱.真命題是（）A．①③B．②C．③D．②③2．設(shè)是向量，命題“若，則”的逆否命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①命題“若，則”的逆否命題為“，則”；②若為假命題，則均為假命題；③命題存在，使得，則對任意，都有；④在中，是的充分不必要條件.A．1B．2C．3D．4．“”是“且”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知集合，若成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．6．已知，函數(shù).命題，命題在內(nèi)有最值，則命題是命題成立的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．給定下列命題:①若，則方程有實(shí)數(shù)根；②“若，則”的否命題；③“矩形的對角線相等”的逆命題；④“若，則中至少有一個(gè)為0"的否命題.其中真命題的序號是.8．已知對數(shù)函數(shù)，命題是增函數(shù).則為真時(shí)，的取值范圍是.9．已知不等式成立的充分不必要條件是，則的取值范圍是.10．已知集合，若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.11．設(shè)命題，命題，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.12．已知全集，非空集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）集合，命題，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案例1.12變式1解析“若p，則q”的逆否命題形式是“若?q，則?p”，由此可知“若x2<1，則-1<x<1”的逆否命題為“評注由本題可總結(jié)出：若一個(gè)命題的條件或結(jié)論是“x∈A”的形式，則其否定形式為“x∈C例1.12變式2解析“若a,b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”顯然是真命題，那么其逆否命題也是真命題，故A,C不成立，那么只能從B,D中選擇，從原命題的逆否命題出發(fā)，可得到條件為評注由本題可總結(jié)出：“都是“的否定是”不都是“，直接由逆否命題的概念得出選項(xiàng)B.例1.13變式1解析由x3=x，可得x=-1,0,1，x=1是條件，評注凡是由具體代數(shù)式構(gòu)成的命題均可用集合法判斷，結(jié)論是：（1）若xpx?{x|qx}，則（2）若xpx={x|q例1.13變式2解析由0<ab<1可知若b>0，則有若b<0，則有0<ab<1?如a=-2,b=12，顯然滿足例1.13變式3解析由于A>0，令函數(shù)y=12ax2-bx=12ax-ba2-b22例1.14變式1分析4x+p<0是條件，x解析由4x+p<0得x<-p4若要4x+p<0是x2-所以存在實(shí)數(shù)P≥4，使4x+評注本題利用集合的包含關(guān)系求解，思路清晰簡潔.注意要結(jié)合數(shù)軸考慮問題.例1.14變式2分析當(dāng)命題中的條件與結(jié)論是否定形式時(shí)，利用“原命題?逆否命題”將其轉(zhuǎn)化為肯定形式.解析因?yàn)?p是?q的必要不充分條件，所以“若?q則?p”為真，因此“若p則q”為真。即pp,q因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以不等式1-x-1由因?yàn)閙>0，所以不等式(*)的解集為1-m≤x≤1+m,最有效訓(xùn)練2D解析對于命題①：lnx+x-2=0,則lnx=2-x，因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx與y=2-x的圖像只有1個(gè)交點(diǎn),所以fx=lnx+x-對于命題③:因?yàn)楹瘮?shù)y=9-x2x+4+x2.C解析原命題條件的否定a≠b，作為逆否命題的結(jié)論；原命題結(jié)論的否定|a3.C解析對于命題①,注意到命題“若x2-3x+2=0則x=1”的逆否命題為“若x≠1則x2-3x+2≠0”，因此①是真命題；對于命題②，若p∨q為假命題，則p,q均為假命題，因此②真命題；對于命題③，命題p：存在x∈4.A解析由“a+b>b+d”≠>“5.C解析，A=x∈R12<2x<8={x|-6.A解析由零點(diǎn)存在性定理得，在區(qū)間(a,b)，函數(shù)fx=sinx，fafb<0，則?x0∈(a,b)，使得fx0=0,又gx=cosx，則g'x=-sinx，因此g'x0=0，且在x07.①②④解析①因?yàn)?=4+4k>0，所以①是真命題；②否命題“若a≤b”則“a+c≤b+c”是真命題；③逆命題“對角線相等的四邊形是矩形”是假命題；④否命題“若xy8.(-12,0)解析首先函數(shù)fx=log2a+1x是對數(shù)函數(shù)，所以a>-19