2021年中考數(shù)學(xué) 分類沖刺訓(xùn)練：相似三角形及其應(yīng)用（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)分類沖刺訓(xùn)練：相似三角形及其

應(yīng)用

一、選擇題

1.如圖平行四邊形ABC。中，/為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AO至E,使OE；AO=1.3

連接EF交0c于點(diǎn)G,則SADEG:SACFG=（）

A.2；3B.3：2C.9：4D.4:9

2.如圖①，長(zhǎng)、寬均為3,高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高為6,繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②

是此時(shí)的示意圖，則圖②中水面高度為（）

容疊口邊緣J

水面高度

3.（2019?雅安）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部

分）與△ABCi相似的是

4B：

4.（2020?銅仁）已知△FHBSAEA。，它們的周長(zhǎng)分別為30和15,且尸"=6,

則EA的長(zhǎng)為（）

5.（2020.嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△04?的頂點(diǎn)為。（0,0）,A（4,3）,

8（3,0）.以點(diǎn)。為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△。他的位似比為抻位似圖

形△OCD,則點(diǎn)C坐標(biāo)為（）

6.（2019?貴港）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O,E分別在AB,AC邊上，DE//BC,

ZACD=ZB,若AD=2BD,BC=6,則線段。。的長(zhǎng)為

B.3啦

C.276D.5

7.（2020.重慶B卷）如圖，△ABC與ADEF位似，點(diǎn)O為位似中心.已知

04:00=1:2,則△ABC與△OEF的面積比為（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5

8.（2020?麗水）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形

ABCD與正方形EFGH.連結(jié)EG,BD相交于點(diǎn)0、BD與HC相交于點(diǎn)P.若

GO=GP,則阻3絲的值是（）

AD

C.5-72D.—

4

二、填空題

9.如圖，在AABC中，NACD=NB,若AO=2,BD=3,則AC長(zhǎng)為

10.（2019?郴州）若山=：,則'=

x2x

11.如圖，在口ABC。中，過對(duì)角線8。上一點(diǎn)P作EF〃BC,GH〃AB,且CG=2BG,

SABPG=1,則S，AEPH=.

AHD

BGC

2

12.（2020?郴州）在平面直角坐標(biāo)系中，將A4OB以點(diǎn)O為位似中心，上為位似

3

比作位似變換，得到A4QH.已知A（2,3）,則點(diǎn)4的坐標(biāo)是

13.（2020湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形.如圖，已知4△ABC是6

X6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與Rt/\ABC相似的格點(diǎn)三角形

中.面積最大的三角形的斜邊長(zhǎng)是.

14.（2019?瀘州）如圖，在等腰RtZ\ABC中，NC=90。，AC=15,點(diǎn)E在邊CB上,

CE=2EB,點(diǎn)D在邊AB上,CD±AE,垂足為尸，則長(zhǎng)為.

15.（2019?遼陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO,CO分別在x軸,

了軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8,6）,點(diǎn)尸在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在8。邊上，滿

足APBESACBO,當(dāng)“PC是等腰三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為.

16.（2020?長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)尸在以MN為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，（點(diǎn)P與不重

合）PQLMN,NE平分NMNP,交PM于點(diǎn)E,交PQ于點(diǎn)F.

⑴篇+器

⑵若PN?=PM?MN,則=

三、解答題

17.如圖，已知AABC內(nèi)接于00,A3是直徑，點(diǎn)。在。。上，OD/IBC,過點(diǎn)

。作垂足為E,連接CO交OE于點(diǎn)E

⑴求證:△DOE^^ABC-

⑵求證:N。。尸=N8OE

18.如圖，RtaABC中，ZACB=90°,以AC為直徑的0。交A8于點(diǎn)D過點(diǎn)。

作。。的切線交BC于點(diǎn)E,連接?！?/p>

(1)求證:△DBE是等腰三角形;

(2)求證:△COEsXCAB.

19.(2019?張家界)如圖，在平行四邊形A3CO中，連接對(duì)角線AC,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)

E,使跳=的，連接。E,分別交BC,AC交于點(diǎn)EG.

(1)求證：BF=CF；

(2)若8C=6,DG=4,求/G的長(zhǎng).

20.(2019?廣東)如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊A3上的一點(diǎn).

A

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在ZXABC內(nèi)，求作NAOE,使ZADE=ZB,。后交AC于E；

(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若券=2,求售的值.

DBEC

21.(2020?江蘇徐州)我們知道：如圖①，點(diǎn)3把線段AC分成兩部分，如果生=空，

ABAC

那么稱點(diǎn)8為線段4c的黃金分割點(diǎn).它們的比值為更二i.

2

(1)在圖①中，若AC=20c〃z,貝必3的長(zhǎng)為cm；

(2)如圖②，用邊長(zhǎng)為20c〃z的正方形紙片進(jìn)行如下操作:對(duì)折正方形ABCD得

折痕EF,連接CE,將C3折疊到CE上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"，得折痕CG.試說明：G是

AB的黃金分割點(diǎn)；

(3)如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長(zhǎng)為。的正方形A8C0的邊AO上任取點(diǎn)E

(AE>DE),連接BE,i^-CF±BE,交AB于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)EA交于點(diǎn)P.他發(fā)現(xiàn)當(dāng)

PB與8。菌足某種關(guān)系時(shí)，E、尸恰好分別是AO、AB的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)猜想小明的

發(fā)現(xiàn)，并說明理由.

2021中考數(shù)學(xué)分類沖刺訓(xùn)練：相似三角形及其

應(yīng)用-答案

一、選擇題

1.【答案】D［解析］因?yàn)樗倪呅蜛5CO是平行四邊形，所以AO=BC因?yàn)镺E：

AD=l：3,尸為8C中點(diǎn)，所以。E；"=2；3,因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BC。中，DE

//CF,所以ADEGsACFG,相似比為2.3所以&DEG；SACFG=4；9.故選

D.

2.【答案】A［解析］如圖所示.設(shè)。M=x,則CM=8-x,

根據(jù)題意得：38-x+8）x3x3=3x3x6,解得x=4,：.DM=4.

D

:水面高度

,/ZD=90°.AH

...由勾股定理得：

BM=\!BD2+DM2=v'424-32=5.

過點(diǎn)B作B”,水平桌面于H,"：ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=9Q°,

：./HBA=NDBM,

"：/AH8=NO=90。，

：.^ABH^/\MBD,即空?=?,解得BH=絲，即水面高度為絲

ABBM85S5

3.【答案】B

【解析】因?yàn)椤鰽B|G中有一個(gè)角是135。，選項(xiàng)中，有135。角的三角形只有B,

且滿足兩邊成比例夾角相等，故選B.

4.【答案】A【解析】相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，所以4FHB和4EAD

的相似比為30：15=2：1,所以FH：EA=2：1,即6：EA=2：1,解得EA=3.因此

本題選A.

5.【答案】B

【解析】本題考查了在坐標(biāo)系中，位似圖形點(diǎn)的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系中，如

果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為

k,那么與原圖形上的點(diǎn)（x,y）對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（丘，6）或（-丘,

14

-ky）.由A（4,3）,位似比仁可得C（-^,-1）因此本題選B.

6.【答案】C

【解析】設(shè)AO=2x,BD=x,：.AB^3x,

VDE//BC,：./\ADE^AABC,

.DEADAE.DElx

BCABAC63x

.AE2

??DE=4,—-=~

AC3

■:ZACD=NB,ZADE=ZB,：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA,，AADEsA24co,

ADAE_DE

~AC~~AD~~CD

AD2y

設(shè)AE=2y,AC=3y,.?.可=而

2y_4廠

AD=yrj6y,..,..CD=2V6,

故選c.

7.【答案】C

【解析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，???△ABC與aOE尸位似，且絲DA=上1,

OD2

.?.2如=（工］=』，因此本題選c.

S.DEF12）4

8.【答案】C

【解析】???四邊形EFGH為正方形，/.ZEGH=45°,ZFGH=90°,VOG=

GP,AZGOP=ZOPG=67.5°,AZPBG=22.5°,又?.?/DBC=45°,AZ

GBC=22.5°,/.ZPBG=ZGBC,

VZBGP=ZBG=90°,BG=BG,.，.ABPG^ABCG,，PG=CG.設(shè)OG=

PG=CG=尢，

???O為EG,BD的交點(diǎn)，...EG=2x,FG=^x「.?四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙

爽弦圖”，，BF=CG=光，

■口「_+應(yīng)■=垃+1)"=(4+20”

??BGx7x,..BC2BG2+CG2,

SjE方影ABCD_(4+2應(yīng)卜=2+應(yīng)

...S正方形EFG"2x2,因此本題選D.

二、填空題_

9.【答案】同[MW]VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,.*.△

?AC_ADniiAC_2

?.一,區(qū)|J—，,

ABAC2+3AC

???4。=舊或AC=-VIb(舍去).

10.【答案】-

2

【解析】?.?C=3,.?.2x+2y=3x,

x2

故2尸G則，=《，故答案為：二

x22

11.【答案】4［解析］由“平行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角

形”可推出。AEP”的面積等于QPGCP的面積.

,?CG=2BG,：.BG：BC=\；3,BG：PF=\：2.

■:ABPGS/\BDC,且相似比為1；3,

?*.5ABDC=9S&BPG=9.

BPGs/XPDF,且相似比為1；2,

/.SAPDF=4S&BPG=4.

??￡ME/W=S°PGCF=9-1-4=4.

12.【答案】（生2）

3

【解析】???將4AOB以點(diǎn)O為位似中心，2為位似比作位似變換，得到△4081，

3

A（2,3）,.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)是:（2x2,2x3）,即4（生2）.故答案為：（生2）.

3333

13.【答案】解：*.,在RfAABC中，AC=1,BC=2,AAB=擊，AC：BC=1：

2,

...與RfZ^ABC相似的格點(diǎn)三角形的兩直角邊的比值為1：2,「7

若該三角形最短邊長(zhǎng)為4,則另一直角邊長(zhǎng)為8,但在6X6網(wǎng)格圖形中，最長(zhǎng)線LJ

段為8回，但此時(shí)畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點(diǎn)都在格耳：」

點(diǎn)且長(zhǎng)為8的線段，故最短直角邊長(zhǎng)應(yīng)小于4,在圖中嘗試，可畫出DE=V10

EF=2^/10,DF=5餡的三角形，

..聞_2聞_5&BDC

△

12詞.".ABC^ADEF,.,.ZDEF=ZC=90°,

...此時(shí)4DEF的面積為：畫X2^/10+2=10,4DEF為面積最大的三角形,

其斜邊長(zhǎng)為：5M.故答案為：5M.

14.【答案】9夜

【解析】如圖，過。作于〃，則乙4"。=90。,

?.?在等腰RtAABC中，ZC=90°,AC=15,

/.AC=BC=15,NC4D=45。，

ZADH=900-ZCAD=45°=ZCAD,

：.AH=DH,

：.CH=AC-AH=\5-DH,

,：CFA.AE,：.ZDHA=ZDFA=90°,

又；4ANH=/DNF,:.AHAF=AHDF,

..AAACESAADHC,DHCH,

ACCE

?：CE=2EB,CE+BE=BC=\5,CE=10,

.DH\5-DH

??-----=------------------9

1510

DH=9,

?*-AD=^JAH2+DH2=9近，故答案為：9&-

15.【答案】(告,|)或(-4,3)

【解析】???點(diǎn)P在矩形AB。。的內(nèi)部，且是等腰三角形，

...尸點(diǎn)在AC的垂直平分線上或在以點(diǎn)。為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當(dāng)P點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)在BC上，AC的垂直平分線與B。

的交點(diǎn)即是E,如圖1所示，

VPE±BO,CO1BO,

:.PE//CO,

:./\PBEsACBO,

???四邊形AB。。是矩形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8,6),

.?.點(diǎn)P橫坐標(biāo)為-4,。。=6,80=8,BE=4,

,：APBEs△CB。，

:.里=里,即這q

COBO68

解得：PE=3,

...點(diǎn)P(-4,3).

②P點(diǎn)在以點(diǎn)C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點(diǎn)為尸,

過點(diǎn)尸作PEL3O于E,如圖2所示，

圖2

VCO1BO,：,PE//C0,

：.APBEsACB0,

?.?四邊形AB0C是矩形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-8,6),

...AC=B0=8,CP=8,AB=0C=6,

,,BC-A/BO2+OC2-Jg+6^-10?,,BP=2?

■:APBEs△CBO,

.PEBEBPPEBE2

..布=而=而’R即n：

解得：PE1,BE=|,

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(等t)或(-4,3),

故答案為：(-三悔)或(-4,3).

16.【答案】1;遂二

2

【解析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，平行相似，相似判定與性質(zhì),

(1)EHLMN,又〈MN是直徑,NE平分/MNP,PQ1.MN,，易證出PE

=EH=HF=PF,EH//PQ,：.^EMH^/\PMQ,.?.坐=里="，，

PMPQPQ

PF卡PE_ME+PE_].

~PQ~PM~PM~PM'

(2)由相似基本圖射影型得：解得PN?=QN?MN又,：PN?=PM?MN,QN=

PM,設(shè)QN=PM=a,MQ=b,由相似基本圖射影型得：^PM2=MQ?MN,

—(.+6)解得八厘或八…(舍去).譚士與1；

因此本題答案為1;避二.

MHQON

三、解答題

17.【答案】

證明是。。的直徑，/.ZACB=90°.

VDELAB,：.ZDEO=90°,

：.ZDEO=ZACB.

,JOD//BC,：.ZDOE=ZABC,

.*.△OOEs△AB。.

(2)△DOEs△ABC,二ZODE=NA

???NA和NBDC都是段所對(duì)的圓周角，

AZA=ZBDC,：.ZODE=ZBDC.

：.ZODF=ZBDE.

18.【答案】

證明:⑴連接OD

?.?OE是。。的切線，：.ZODE=90°,

，ZADO+ZBDE=90°.

XVZACB=90°,：.ZA+ZB=90°,

'：OA=OD,：.ZA=ZADO,

：.ZBDE=ZB,

：.EB=ED,

...△OBE是等腰三角形.

(2)VZACB=90°,AC是。。的直徑,

.?.CB是。。的切線，

又；OE是。。的切線，，DE=EC.

,:DE=EB,：.EC=EB.

'：OA=OC,：.OE//AB.

:.XCOEsXCAB.

19.【答案】

(1)V四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD//CD,AD=BC,

:.AEBFsAEAD,

.BFBE

"~\D~~EA'

'：BE=AB,AE=AB+BE,

.BF_\

??茄—'，