高職應(yīng)用數(shù)學 4

應(yīng)第4章導數(shù)的應(yīng)用用數(shù)學高職本章內(nèi)容4利用導數(shù)求最值5曲率6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用1利用導數(shù)求極限（洛必達法則）2函數(shù)的單調(diào)性與極值3曲線的凹凸性與拐點4.1利用導數(shù)求極限（洛必達法則）定理（洛必達法則）若（1），（2）與在x0的某鄰域內(nèi)（點x0可除外）可導，且，（3）（A為有限數(shù)，也可為或），則。

這種在一定條件下，通過對分子、分母分別求導來計算未定式極限的方法，稱為洛必達法則。4.1利用導數(shù)求極限（洛必達法則）例1求。解

例2求。解

例3求。解

例4求。解

例5求。解

例6求。解

例7求。解

此題屬型未定式，因為所以當時，上式右端是型未定式，應(yīng)用洛必達法則，得4.2函數(shù)的單調(diào)性與極值01函數(shù)的單調(diào)性03函數(shù)的極值4.2.1函數(shù)的單調(diào)性從圖4-1可直觀地看出，如果函數(shù)在上單調(diào)增加，那么它的切線斜率都是正的；如果函數(shù)在上單調(diào)減少，那么它的切線斜率都是負的。（a）（b）圖4-1反之，我們有如下定理：定理1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則有（1）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少。有時，函數(shù)在其整個定義域上并不具有單調(diào)性，但在其各個部分區(qū)間上卻具有單調(diào)性。如圖4-2所示，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)增加，而在上單調(diào)減少，并且，從圖上容易看到，可導函數(shù)在單調(diào)區(qū)間分界點處的導數(shù)為0，即。圖4-2（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出使函數(shù)和不存在的點，并以這些點為分界點，將定義域劃分成若干個子區(qū)間；（3）確定在各個子區(qū)間的符號，從而確定的單調(diào)區(qū)間。確定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟如下：解

因為，所以例1討論函數(shù)的單調(diào)性。令，得駐點。駐點將的定義區(qū)間分成3個小區(qū)間，且在上均連續(xù)。在各個區(qū)間的符號如表4-1所示。表4-1因此，由定理1知，函數(shù)在區(qū)間與上單調(diào)減少，在區(qū)間上單調(diào)增加。4.2.2函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對此鄰域內(nèi)任一點，均有，則稱是函數(shù)的一個極大值。同樣，若對此鄰域內(nèi)任一點，均有，則稱是函數(shù)的一個極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點。從圖4-3可以看出，可導函數(shù)在取得極值處的切線是水平的，即在極值點x0處，必有，于是有下面的定理：圖4-3定理2（極值存在的必要條件）設(shè)在點x0處具有導數(shù)，并且在點處取得極值，那么。對于一個連續(xù)函數(shù)，它的極值點還可能是使導數(shù)不存在的點，這種點稱為尖點。例如，函數(shù)，不存在，但是它的極小值點，如圖4-4所示圖4-4定理3（極值存在的第一充分條件）設(shè)在點x0處連續(xù)，且在點x0的某一空心鄰域內(nèi)可導。當x由小到大經(jīng)過點x0時，（1）如果由正變負，那么點x0是極大值點；（2）如果由負變正，那么點x0是極小值點；（3）如果不變號，那么點x0不是極值點。（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出的全部駐點及不可導點；（3）考察上述點兩側(cè)一階導數(shù)的符號，確定極值點；（4）求出極值點處的函數(shù)值，得到極值。綜上可知，求函數(shù)極值的一般步驟如下：解

例2求函數(shù)的極值。函數(shù)的導數(shù)為

。令，得。用將函數(shù)的定義域分成兩個區(qū)間，一階導數(shù)的符號討論如表4-2所示。表4-2由上表可見，函數(shù)在處取得極大值。定理4（極值存在的第二充分條件）設(shè)在點x0處具有二階導數(shù)且，。（1）如果，則在點x0處取得極大值；（2）如果，則在點x0處取得極小值。令，得駐點。駐點將定義域分成3個區(qū)間，一階導數(shù)的符號討論如表4-3所示。表4-3由定理3可知，為函數(shù)的極大值，為的極小值。解法一：

例3求函數(shù)的極值。的定義域為，且解法二：

的定義域為，且令，得駐點。又因為，所以，為

的極大值；因為，所以，為的極小值。4.3曲線的凹凸性與拐點定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點處切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的，如圖4-5所示；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點處切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的，如圖4-6所示。圖4-5

圖4-6如何判斷曲線的凹凸性呢？下面給出判定方法：定理1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么（1）若在內(nèi)，則在上的圖像是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖像是凸的。解

例1判斷曲線的凹凸性。因為在函數(shù)的定義域內(nèi)，，所以曲線是凸的。定義2連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為這條曲線的拐點。由定理1和定義2不難得到下面定理：定理2（拐點的必要條件）設(shè)點是曲線的拐點，則或不存在。綜上所述，判斷曲線的凹凸性和拐點的方法如下：（1）求函數(shù)的定義域D；（2）求出二階導數(shù)，解出二階導數(shù)為零的點和二階導數(shù)不存在的點，這些點將整個定義域分成若干區(qū)間；（3）列表討論每個區(qū)間上的符號，從而確定出曲線的凹凸區(qū)間和拐點。解

例2求曲線的凹凸區(qū)間和拐點。（2）（1）函數(shù)的定義域為。令，得。（3）列表討論如表4-4所示:表4-4在區(qū)間和上曲線是凹的，在區(qū)間上曲線是凸的。

點和是曲線的拐點。4.4利用導數(shù)求最值求函數(shù)在上的最值的一般步驟為（1）求出在內(nèi)的所有駐點及不可導的點；（2）求出各駐點、不可導點以及區(qū)間端點的函數(shù)值；（3）比較上述各函數(shù)值的大小，其中最大者是在上的最大值，最小者是在上的最小值。解

例1求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以在該區(qū)間上一定存在著最大值和最小值。該函數(shù)的導數(shù)為。令，得駐點。于是比較各值，可得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為。解

例2求函數(shù)最值。該函數(shù)的定義域為。由，得唯一駐點。又因此在處取得極大值，所以在的最大值為，無最小值。解

例3有一塊寬為2a的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面為矩形，高為x。如圖4-7所示為水槽的橫截面，問x取何值時水槽的流量最大？圖4-7設(shè)兩邊各折起x，則橫截面積為這樣，問題歸結(jié)為：當x為何值時，取最大值？因，故令，得的唯一駐點。即當時，水槽的流量最大。解

例4如圖4-8所示，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，從其四個角截去大小相同的四個小正方形，作成一個無蓋的容器，問截去小正方形的邊長為多少時，該容器的體積最大？圖4-8設(shè)截去的小正方形的邊長為x，則做成的無蓋容器的體積為因為，令，得唯一解。于是該問題可描述為：求函數(shù)在內(nèi)的最大值。解

例5建筑工程采石或取土時，常用炸藥包先進行爆破．實踐表明，爆破部分呈倒立圓錐形狀，如圖4-10所示．圓錐的母線長度（即爆破作用半徑）R是一定的，圓錐的底面半徑（即漏斗底半徑）為r，試求炸藥包埋藏多深可使爆破體積最大？圖4-9令，得一個駐點根據(jù)圓錐的體積公式，建立函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)圖4-10可知，，即得所以當炸藥包埋深為時，爆破體積最大。4.5曲率01曲率及其計算公式02曲率圓與曲率半徑4.5.1曲率及其計算公式記，稱K為曲線在點A處的曲率。圖4-11如圖4-11所示，設(shè)曲線是光滑的，在曲線上選定一點A作為度量弧的基點，設(shè)在點A處切線的傾斜角為α，曲線上另外一點B處切線的傾斜角為。我們用比值，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度大小來表達弧段的平均彎曲程度。記，稱為弧段的平均曲率。于是，在存在的條件下，有。此式說明曲線在點A處的曲率可表示為轉(zhuǎn)角微分dα與弧微分ds之商，其中弧微分。例如，設(shè)圓的半徑為R，如圖4-12所示，則圓的平均曲率。圖4-12設(shè)且具有二階導數(shù)（這時連續(xù)，從而曲線是光滑的）。因為因為與點的位置無關(guān)，所以A點處的曲率為所以，兩邊取微分，有又知，從而得曲率的計算公式，即解

例1計算直線上任意一點的曲率。解

例2計算雙曲線在點處的曲率。由，得于是因此，。所以，雙曲線在點處的曲率為解

例3設(shè)有兩個弧形工件A，B，工件A滿足曲線方程，工件B滿足曲線方程，試比較這兩個工件在處的彎曲程度。其曲率為其曲率為工件A在處有工件B在處有所以工件A在處的彎曲程度比B大。4.5.2曲率圓與曲率半徑設(shè)曲線在點處的曲率為K

()。在點處的曲線上凹的一側(cè)取一點D，使。以D為圓心，ρ為半徑作圓，這個圓叫做曲線在點M處的曲率圓，曲率圓的圓心D叫做曲線在點M處的曲率中心，曲率圓的半徑ρ叫做曲線在點M處的曲率半徑。曲線在點M處的曲率K

()與曲線在點M處的曲率半徑ρ有如下關(guān)系：解

砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點處的曲率半徑例4設(shè)工件表面的截線為拋物線。現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問直徑為多大時砂輪才比較合適？。把它們代入曲率公式，得拋物線頂點處的曲率半徑為所以選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長，即直徑不得超過2.50單位長。4.6導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用01邊際分析02彈性分析4.6.1邊際分析解

例1某種產(chǎn)品生產(chǎn)x件時，總成本（元）。求當產(chǎn)量為100時的平均成本和邊際成本。1．邊際成本由于平均成本=總成本/產(chǎn)量，邊際成本=，所以，生產(chǎn)100件時，總成本為（元）平均成本為（元/件）因邊際成本，所以當時，。解

2．邊際收入由于總收入=銷售量×價格，平均收入=總收入/銷售量，邊際收入=總收入的導數(shù)，故先求出總收入、平均收入與邊際收入，再將20代入。經(jīng)濟學中，邊際收入是指總收入對銷售量x的變化率。其經(jīng)濟意義是當銷售量達到某一點時，再多銷售一個單位產(chǎn)品所增加的收入。邊際收入一般記作MR，即。例2設(shè)某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為，求銷售量為20時的總收入、平均收入與邊際收入。總收入函數(shù)為當時平均收入函數(shù)為邊際收入函數(shù)為3．邊際利潤經(jīng)濟學中，邊際利潤是指總利潤對銷售量x的變化率。其經(jīng)濟意義是當銷售量達到某一點時，再多銷售一個單位產(chǎn)品所增加的利潤，由于總利潤為總收入與總成本的差，即，故兩邊同時求導得