淺談貝葉斯公式及其應(yīng)用

淺談貝葉斯公式及其應(yīng)用.貝葉斯公式是概率論中的一個重要公式，主要用于計算復(fù)雜事件的概率。它是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用，可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因。貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)、市場預(yù)測、信號估計、概率推理以及產(chǎn)品檢查等方面都有廣泛的應(yīng)用。決策者必須綜合考慮已往信息和現(xiàn)狀，從而作出綜合判斷，貝葉斯公式是進(jìn)行決策的重要工具。貝葉斯公式的定義是在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的條件概率。如果已知事件B發(fā)生的概率，但不知道它由于A中的哪一個事件導(dǎo)致，就需要使用貝葉斯公式來求解。貝葉斯公式可以表示為：P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)/ΣP(B)P(A/B)，其中B1~Bn為樣本空間的一個分割，且互不相容，Ai為事件B發(fā)生的原因。貝葉斯公式在實際生活中有廣泛的應(yīng)用。例如，在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，可以使用貝葉斯公式來計算某種疾病的患病率；在市場預(yù)測中，可以使用貝葉斯公式來預(yù)測某種產(chǎn)品的銷售額；在信號估計中，可以使用貝葉斯公式來估計信號的強(qiáng)度和方向；在概率推理中，可以使用貝葉斯公式來推斷某個事件是否會發(fā)生；在產(chǎn)品檢查中，可以使用貝葉斯公式來判斷產(chǎn)品是否合格。為了解決更多實際問題，我們對貝葉斯公式進(jìn)行了推廣。推廣后的公式可以適用于更廣泛的概型，使我們更好地了解到貝葉斯公式存在于我們生活的各個方面，對我們的日常生活非常重要。證明條件概率的定義，即在事件B發(fā)生的條件下，求另一事件A的概率，記為P(A/B)。根據(jù)乘法公式和全概率公式，可以得到P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)/Σ(P(Bj)P(A/Bj))。這個結(jié)論可以用來在不完全情報下，對部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計，然后用貝葉斯公式對發(fā)生概率進(jìn)行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策。貝葉斯公式可以解釋為，在n個兩兩互斥的“原因”A1,A2,...,An可引起同一種“現(xiàn)象”B的發(fā)生時，如果該現(xiàn)象已經(jīng)發(fā)生，利用貝葉斯公式可以算出由某一個原因Ai(j=1,2,...,n)所引起的可能性有多大。如果能找到某個Ai，使得P(Aj/B)=max{P(Ai/B)}，則Ai就是引起“現(xiàn)象”B最大可能的“原因”。在醫(yī)療診斷上，貝葉斯公式可以用來判斷引起某個病癥的“原因”的概率。例如，某地區(qū)肝癌的發(fā)病率為0.0004，先用甲胎蛋白法進(jìn)行普查。已知患有肝癌的人其化驗結(jié)果99%呈陽性（有?。?，而沒有患肝癌的人其化驗結(jié)果99.9%呈陰性（無?。，F(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽性，問他真患肝癌的概率是多少？解題時，記B事件“被檢查者患有肝癌”，A為事件“檢查結(jié)果為陽性”，有題設(shè)知P(B)=0.0004，P(B')=0.9996，P(A/B)=0.99，P(A/B')=0.001。我們現(xiàn)在的目的是求P(B/A)，由貝葉斯公式得P(B/A)=(P(B)P(A/B))/(P(B)P(A/B)+P(B')P(A/B'))=0.038。因此，該檢查結(jié)果呈陽性的人真患肝癌的概率只有3.8%。在這個例子中，甲胎蛋白法檢查結(jié)果呈陽性的人中，真正患有肝癌的人不到30%。這個結(jié)果可能讓人驚訝，但是如果仔細(xì)分析，就會理解。因為肝癌發(fā)病率很低，在10000個人中只有四個人患有肝癌，而約有9996人不患肝癌。因此，在10000個人中，使用甲胎蛋白法進(jìn)行檢查，根據(jù)錯檢的概率，9996個不患肝癌者中約有90996個呈陽性。另外四個真正患有肝癌的人中，約有3.96個呈陽性。從這13.956個呈陽性者中，真正患有肝癌的3.96人約占28.4%。提高檢驗精度的關(guān)鍵是進(jìn)一步降低錯檢的概率。但是在實際中，由于技術(shù)和操作等原因，降低錯檢的概率有時很困難。因此，在實際中，常采用復(fù)查的方法來減少錯誤率?；蛘呤褂昧硪恍┖唵我仔械妮o助方法先進(jìn)行初查，排除大量明顯不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法對被懷疑的對象進(jìn)行檢查。此時被懷疑的對象群體中，肝癌的發(fā)病率已大大提高。在上述例子中，我們使用貝葉斯公式來計算已知“結(jié)果”的條件下，“原因”的概率P(B/A)。求“結(jié)果”的（無條件）概率P(A)則使用全概率公式。在這個例子中，如果我們將事件B（“被檢查者患有肝癌”）看作是“原因”，將事件A（“檢查結(jié)果呈陽性”）看作是最后“結(jié)果”，則可以得出P(A)的值為0.2819。條件概率的三個公式中，乘法公式是用于求事件交的概率，全概率公式是用于求復(fù)雜事件的概率，而貝葉斯公式則是用于計算后驗概率的。在貝葉斯公式中，如果P(Bi)為Bi的先驗概率，稱P(Bi/A)為Bi的后驗概率，則貝葉斯公式是專門用于計算后驗概率的，也就是通過A的發(fā)生這個新信息，來對Bi的概率作出修正。這個例子是現(xiàn)實生活中很常見的一個例子。通過兩次使用貝葉斯公式，我們計算出檢出陽性然后患肝癌的概率和甲胎蛋白檢測的準(zhǔn)確率。通過計算出來的概率，我們可以采用有效的方法降低錯檢的概率，從而使人們的生命和財產(chǎn)得到更多的保障。=修理工說有問題則根據(jù)貝葉斯公式，有：P(A1/B)=P(A1)P(B/A1)/[P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)]=(0.3)(0.9)/[(0.3)(0.9)+(0.7)(0.2)]=0.563所以，如果不雇用修理工，買主買到一輛傳動裝置有問題的車的概率是56.3%。對于第2問，我們要求的是修理工說有問題，實際上車有問題的概率，即P(A1/B)。根據(jù)貝葉斯公式，有：P(A1/B)=P(A1)P(B/A1)/[P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)]=(0.3)(0.9)/[(0.3)(0.9)+(0.7)(0.1)]=0.766所以，如果修理工說該車傳動裝置有問題，那么該車傳動裝置真的有問題的概率是76.6%。對于第3問，我們要求的是修理工說沒問題，實際上車有問題的概率，即P(A1/?B)。根據(jù)貝葉斯公式，有：P(A1/?B)=P(A1)P(?B/A1)/[P(A1)P(?B/A1)+P(A2)P(?B/A2)]=(0.3)(0.1)/[(0.3)(0.1)+(0.7)(0.8)]=0.021所以，如果修理工說該車傳動裝置沒問題，那么該車傳動裝置真的有問題的概率只有2.1%。在使用該儀器時，正確判定產(chǎn)品為合格品的概率是多少。假設(shè)產(chǎn)品的次品率為0.1%，那么正確判定產(chǎn)品為合格品的概率就是99.9%。而誤判率為5%，也就是說，在使用該儀器時，有5%的概率將合格品誤判為次品，因此正確率就是95%。根據(jù)貝葉斯公式，我們可以計算出在使用該儀器時，產(chǎn)品為次品的概率。假設(shè)某個產(chǎn)品被檢測后被判定為次品，那么該產(chǎn)品真的為次品的概率是多少呢？根據(jù)貝葉斯公式，我們可以得出以下公式：P(次品/檢測結(jié)果為次品)=P(檢測結(jié)果為次品/次品)×P(次品)/P(檢測結(jié)果為次品)其中，P(檢測結(jié)果為次品/次品)為正確率，即95%；P(次品)為產(chǎn)品次品率，即0.1%；P(檢測結(jié)果為次品)為所有被判定為次品的產(chǎn)品的比例，可以通過實驗得到。如果計算出來的P(次品/檢測結(jié)果為次品)小于0.1%，那么就說明使用該儀器進(jìn)行檢驗是可行的。反之，則不可行。解：我們需要弄清楚“被檢驗出的正(或次)品中實際正(或次)品率”的計算方法。設(shè)事件A表示“客觀的次品”，事件B表示“經(jīng)檢驗判為次品的產(chǎn)品”。根據(jù)題意，P(A)=0.001，P(A')=0.999，P(B|A)=0.95，P(B|A')=0.05。利用貝葉斯公式可以計算出“被檢驗出的次品中實際次品率”為：P(A|B)≈0.018664。同理，“被檢驗出的正品中實際正品率”為：P(A'|B)≈0.999947。由P(A|B)≈0.018664可知，如果產(chǎn)品成本較高，廠長就不能采用這種儀器，因為被儀器判為次品的產(chǎn)品中實際上有98%以上是正品，這樣會導(dǎo)致?lián)p耗過高。但是，我們也可以注意到該儀器對正品的檢驗還是相當(dāng)精確的。如果檢驗對產(chǎn)品沒有破壞作用，可以在“被認(rèn)定次品”的產(chǎn)品中反復(fù)檢驗，挑出“假次品”，這樣就可以降低損耗，又保證了正品具有較高的可信度。第三章貝葉斯公式的推廣及其應(yīng)用3.1貝葉斯公式的推廣當(dāng)試驗的隨機(jī)過程不少于兩個時，在影響目標(biāo)事件的每一個試驗過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進(jìn)一步推廣。3.1.1貝葉斯公式推廣定理設(shè)A1，A2，...，An和B1，B2，...，Bm是先后兩個試驗過程中的劃分，C為目標(biāo)事件。若P(C)>0，P(Ai)>0，P(Bj)>0，P(AiBj)>0，i=1,2,...,n，j=1,2,...,m，則有：(1)P(Ai|C)=P(Ai)∑P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，i=1,2,...,n(2)P(Bj|C)=∑P(Ai)P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，j=1,2,...,m(3)P(AiBj|C)=P(Ai)P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，i=1,2,...,n，j=1,2,...,m證明：(1)P(Ai|C)=P(ACi)/P(C)=∑P(ABC)∑P(Ai)P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，j=1,2,...,m同理可證(2)和(3)。風(fēng)險評估等方面的應(yīng)用，并對貝葉斯公式的推廣定理進(jìn)行了講解。同時，本文還通過例子的方式對貝葉斯公式的應(yīng)用進(jìn)行了具體說明。在醫(yī)學(xué)診斷中，利用貝葉斯公