第三章半導體中載流子的統(tǒng)計分布

第三章半導體中載流子的統(tǒng)計分布第1頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

在一定溫度下，若無其它外界作用，半導體中的導電電子和空穴是依靠電子的熱激發(fā)作用而產(chǎn)生的，電子從熱振動的晶格中獲得能量，可從低能量的量子態(tài)躍遷到高能量的量子態(tài).如本征激發(fā)，形成導帶電子和價帶空穴第2頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

電子和空穴也可以通過雜質電離方式產(chǎn)生，當電子從施主能級躍遷到導帶時產(chǎn)生導帶電子；當電子從價帶激發(fā)到受主能級時產(chǎn)生價帶空穴等。第3頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

相反的過程----即電子也可以從高能量的量子態(tài)躍遷到低能量的量子態(tài)，并向晶格放出一定能量(聲子)，從而使導帶中的電子和價帶中的空穴不斷減少，這一過程稱為載流子的復合。

第4頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月T定，兩個相反的過程之間將建立起動態(tài)平衡---熱平衡狀態(tài)。熱平衡狀態(tài)下,半導體中的導電電子濃度和空穴濃度保持一個穩(wěn)定的數(shù)值.稱為熱平衡載流子若溫度改變，情況如何？第5頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

半導體的導電性強烈地隨溫度而變化。原因就在于半導體中載流子濃度隨溫度而變化。要深入了解半導體的導電性及其他許多性質，必須探求半導體中載流子濃度隨溫度變化的規(guī)律，解決如何計算一定溫度下半導體中熱平衡載流子濃度的問題。

但重點涉及平衡態(tài),不討論非平衡態(tài).第6頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月要得到:1.熱平衡載流子濃度;2.熱平衡載流子濃度隨溫度的變化;需要知道：1.允許的量子態(tài)(允態(tài))按能量如何分布；2.電子在允許的量子態(tài)中如何分布。第7頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1狀態(tài)密度解決第一個問題:1.允許的量子態(tài)(允態(tài))按能量如何分布?

半導體的導帶和價帶中，有很多能級存在。但相鄰能級間隔很小，約為10-22eV數(shù)量級，能級可看成連續(xù)。可將能帶分為能量很小的間隔來處理。第8頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月假定在能帶中能量E～（E+dE）之間無限小的能量間隔dE內(nèi)有dZ個量子態(tài)，則狀態(tài)密度g（E）為:

（3-1）g（E）：能量E附近每單位能量間隔內(nèi)量子態(tài)數(shù)第一個問題:允許的量子態(tài)(允態(tài))按能量如何分布?第9頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.算出單位k空間中量子態(tài)數(shù)（k空間的狀態(tài)密度）。2.算出k空間中與能量dE

即E～(E+dE）間對應的k空間體積，用k空間體積和k空間中的狀態(tài)密度相乘（dZ）。

根據(jù)可求的狀態(tài)密度g(E)怎樣得到g（E）?通過k(k空間)計算k空間的狀態(tài)密度第10頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

半導體中電子的允態(tài)（即能級）用波矢k標志，但是電子波矢k不能取任意的數(shù)值，而是受到一定條件的限制。3.1.1k空間中量子態(tài)的分布第11頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

用kxkykz坐標軸的直角坐標系描寫k空間。顯然，在k空間中，由一組整數(shù)（nxnynz）給出k空間一點且對應一定的波矢k。第12頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月該點是電子的一個允態(tài)的代表點。由于nxnynz只能取整數(shù)，不同的整數(shù)（nxnynz

）決定了不同的點，對應著不同的波矢k，代表了電子不同允態(tài)，因此，電子有多少個允態(tài)，在k空間中就有多少個代表點（如圖）。第13頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月任一代表點的坐標，沿三個坐標軸kxkykz方向均為1/L的整數(shù)倍，所以代表點在k空間中是均勻分布的。第14頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月k空間中，電子的允許能量狀態(tài)密度是V?？紤]電子的自旋，k空間中每一個代表點代表自旋方向相反的兩個量子態(tài)∴

k空間中，電子的允許量子態(tài)密度是2V第15頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2狀態(tài)密度

允許的量子態(tài)(允態(tài))按能量如何分布?

計算半導體導帶底附近的狀態(tài)密度

第16頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月導帶底附近E(k)與k的關系：

一、考慮能帶極值在k=0，等能面為球面（拋物線假設）的情況。第17頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個球殼之間體積是4лk2dk，k空間中量子態(tài)密度是2V，所以，在能量E～(E+dE)之間的量子態(tài)數(shù)為dZ=2V×4лk2dkkk+dk第18頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月由式（3-2）求得k與E的關系第19頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：導帶底附近單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)目，隨著電子的能量增加按指數(shù)關系增大。即電子能量越高，狀態(tài)密度越大。允許的量子態(tài)(允態(tài))按能量如何分布?第21頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月同理可算得價帶頂附近狀態(tài)密度gv（E）為:在圖3-2的曲線表示了gv（E）與E的關系曲線。第22頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月二實際半導體硅、鍺，導帶底附近，等能面為

旋轉橢球面

EC：極值能量可計算得mdn:導帶底電子狀態(tài)密度有效質量S：對稱狀態(tài)數(shù)第23頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

硅、鍺中，價帶中起作用的能帶是極值相重合的兩個能帶，這兩個能帶相對應有輕空穴有效質量（mp）1和重空穴有效質量（mp）h。

硅：導帶底共有六個對稱狀態(tài)s=6，將m1，mt的值代入式，計算得mdn=1.08m0。對鍺,s=4，可以計算得mdn=0.56m0第24頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月價帶頂附近狀態(tài)密度應為這兩個能帶的狀態(tài)密度之和。相加之后，價帶頂附近gv（E）仍可下式表示，不過其中的有效質量mp為mdp.mdp稱為價帶頂空穴的狀態(tài)密度有效質量硅，mdp=0.5m0；鍺，mdp=0.37m0。10學時第25頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月硅晶體中約有

5×1022/cm3個硅原子，價電子數(shù)約有4×5×1022/cm3個。3.2費米能級EF和載流子的統(tǒng)計分布3.2.1費米分布函數(shù)和費米能級第26頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

電子能量變化無常，看似無規(guī)。在熱平衡狀態(tài)下，電子按能量大小具有一定的統(tǒng)計分布規(guī)律性，電子在不同能量的量子態(tài)上統(tǒng)計分布概率是一定的。根據(jù)量子統(tǒng)計理論，服從泡利不相容原理的電子遵循費米統(tǒng)計律。第27頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月能量為E的一量子態(tài)被一個電子占據(jù)概率為f（E）.f(E)稱為電子的費米分布函數(shù)。f(E)描寫熱平衡狀態(tài)下，電子在允態(tài)上如何分布的一個統(tǒng)計分布函數(shù)。

k0是破耳茲曼常數(shù)，T是熱力學溫度。第28頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月EF非常重要的一個量~費米能或費米能量，它和溫度T、半導體材料的導電類型n、p，雜質的含量以及能量零點選取有關。EF是一個很重要的物理參數(shù)，只要知道EF數(shù)值，在定T下，電子在各量子態(tài)上的統(tǒng)計分布就完全確定。第29頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月如何定出：由半導體中能帶內(nèi)所有量子態(tài)中被電子占據(jù)的量子態(tài)數(shù)應等于電子總數(shù)N這一條件來決定，即第30頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月將半導體中大量電子的集體看成一個熱力學系統(tǒng)，統(tǒng)計理論表明，費米能級EF是系統(tǒng)的化學勢，即

μ----系統(tǒng)化學勢，F(xiàn)是系統(tǒng)的自由能。

第31頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月意義：系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，不對外界做功的情況下，系統(tǒng)中增加一個電子所引起系統(tǒng)自由能的變化，等于系統(tǒng)的化學勢，也就是等于系統(tǒng)的費米能級處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng)有統(tǒng)一的化學勢！處于熱平衡狀態(tài)的電子系統(tǒng)有統(tǒng)一費米能級！第32頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月費米分布函數(shù)f（E）特性分析：當T=0K時：若E<EF，則f(E)=1，若E>EF，則f(E)=0。第33頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月熱力學溫度零度時，能量比EF小的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率是100%，因而這些量子態(tài)上都是有電子的；能量比EF大量子態(tài)上都沒有電子，是空的?！嘣跓崃W溫度零度時，費米能級EF可看成量子態(tài)是否被電子占據(jù)的一個界限。第34頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月當T>0K時：若E<EF，則f(E)>1/2若E=EF，則f(E)=1/2

若E>EF，則f(E)<1/2。第35頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)熱力學溫度>

0時，如量子態(tài)的能量比費米能級低，則該量子態(tài)被電子占據(jù)的概率>50%；

量子態(tài)的能量比費米能級高，則該量子態(tài)被電子占據(jù)的概率<50%。

量子態(tài)的能量等于費米能級時，則該量子態(tài)被電子占據(jù)的概率是50%。標志----費米能級是量子態(tài)基本上被電子占據(jù)或基本上是空的第36頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月費米能級位置直觀地標志了電子占據(jù)量子態(tài)情況.

費米能級標志了電子填充能級的水平

對一系統(tǒng)而言,EF位置較高，有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子。EF的意義：第37頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月圖給出的300K、1000K，1500K時f(E)與E的曲線，從圖中看出，隨著溫度的升高，電子占據(jù)能量小于費米能級的量子態(tài)的概率下降，而占據(jù)能量大于費米能級的量子的概率增大。第38頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月費米能級EF強p型弱p型弱n型強n型本征型ECEVEI第39頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月電子的費米分布函數(shù)

E-EF》k0T時3.2.2玻爾茲曼分布函數(shù)第40頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然,在一定溫度T，電子占據(jù)E的的概率由e-E/k0T定-----玻耳茲曼統(tǒng)計分布函數(shù)fB(E)稱為電子的玻耳茲曼分布函數(shù)第42頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月我們討論f（E）：f（E）表能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的概率

1-f（E）必然表示能量為E的量子態(tài)不被電子占據(jù)的概率，表量子態(tài)空（被空穴占據(jù)）的概率。第43頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月當（EF-E）》k0T時，空穴的費米分布函數(shù)空穴的玻爾茲曼分布函數(shù)表明當E遠低于EF時，空穴占據(jù)能量為E的量子態(tài)的概率很小，即這些量子態(tài)幾乎都被子電子所占據(jù)了。第44頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月半導體材料中，EF位于禁帶內(nèi)，一般

Ec

–EF

》k0T

EF–Ev對導帶中的所有量子態(tài)，E–Ec>0,被電子占據(jù)的概率，一般都滿足f(E)《1，半導體導帶中的電子分布可以用電子的玻耳茲分布函數(shù)描寫。價帶道理相同EFEcEv第45頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月E增大，f(E)減小，導帶中絕大多數(shù)電子分布在導帶底附近EcEv第46頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月價帶中的量子態(tài)，被空穴占據(jù)的概率，一般滿足1-f(E)《1。價帶中的空穴分布服從空穴的玻耳茲曼他分布函數(shù)。E增大，1-f（E）增大，價帶中絕大多數(shù)空穴集中分布在價帶頂附近。ECEVEF第47頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月（3-13）、（3-14）兩個基本公式。服從玻耳茲曼統(tǒng)計律的電子系統(tǒng)-----非簡并性系統(tǒng)服從費米統(tǒng)計律的電子系統(tǒng)-----------簡并性系統(tǒng)第48頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3導帶中的電子濃度和價帶中的空穴濃度解決問題2：計算半導體中的載流子濃度。

第49頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

狀態(tài)密度為gc(E)，E處參量E～(E+dE）之間有dZ=gc(E)dE個量子態(tài)，而電子占據(jù)能量為E的量子態(tài)的概率是f（E），則在E～（E+dE）間有

f(E)gc(E)dE個電子。第50頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月從導帶底到導帶頂對f(E)gc(E)dE進行積分，就得到了能帶中的電子總數(shù)，再除以半導體體積V，就得到了導帶中的電子濃度。第51頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月圖為能帶、函數(shù)f(E)、1-f(E)、gc(E)、gv(E)

等曲線第52頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月圖（e）中可看出，導帶中電子的大多數(shù)是在導帶底附近，而價帶中大多數(shù)空穴則在價帶頂附近。圖為f(E)gc(E)和[1-f(E)]gv(E)等曲線。第53頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

在非簡并情況下，導帶中電子濃度可計算如下。在能量E～（E+dE）間的電子數(shù)dN為第54頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月得能量E～（E+dE）之間單位體積中的電子數(shù)為第55頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月對上式各分，得熱平衡狀態(tài)下非簡并半導體的導帶電子濃度n0為第56頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月積分上限Ec是導帶頂能量。作一變換：x=(E-Ec)/(k0T)，（3-15）變?yōu)閷挼?7頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月積分上限改為無窮不影響結果。導帶中的電子絕大多數(shù)在導帶底部附近。第58頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學處理上帶來了很大的方便，（3-16）可改寫：第59頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Nc

T3/2是一很重要的量，稱為導帶的有效狀態(tài)密度，是溫度的函數(shù)。第60頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月是電子占據(jù)能量為Ec的量子態(tài)的概率，（3-19）可理解為把導帶中所有量子態(tài)都集中在導帶底Ec，Ec處的狀態(tài)密度為Nc。導帶中的電子濃度是Nc中有電子占據(jù)的量子態(tài)數(shù)第61頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，熱平衡狀態(tài)下，非簡并半導體的價帶中空穴濃度p0為第62頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

Nv

T3/2是一很重要的量，稱為價帶的有效狀態(tài)密度，是溫度的函數(shù)。第64頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月可理解為把價帶中所有量子態(tài)都集中在導帶底Ev，Ev處的狀態(tài)密度為Nv，則價帶中的空穴濃度是Nv中有空穴占據(jù)的量子態(tài)數(shù)。空穴占據(jù)能量為Ev的量子態(tài)的概率第65頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月n0、p0與溫度T有關，與EF有關。

T的影響來自兩方面：

Nc、Nv正比于T3/2

指數(shù)部分隨溫度迅速變化。EF,T確定，就可以計算導帶電子濃度和價帶空穴濃度第66頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

n0、p0與溫度T有關，與EF有關?？捎蒼0p0得到很有意思的結果。第67頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月所以重要結論：電子和空穴的濃度乘積和費米能級無關。

半導體材料定，乘積n0p0只決定于溫度T，與所含雜質無關。第68頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

給定溫度T，半導體材料不同，禁帶寬度Eg不同，乘積n0p0也將不同。

普遍適用本征半導體和雜質半導體（熱平衡狀態(tài)、非簡并）。第69頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月上式可看出，半導體材料定，則Eg一定。溫度定，乘積n0p0定。半導體處于熱平衡狀態(tài)時，載流子濃度的乘積保持恒定，如果電子濃度增大，空穴濃度就要減??；反之亦然。第70頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.3本征半導體的載流子濃度

－熱激發(fā)所產(chǎn)生的載流子－沒有雜質和缺陷的半導體T=0K，價帶全滿，導帶全空T≠0K，熱激發(fā)，電子從價帶激發(fā)到導帶（本征激發(fā)）ECEVEg第71頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月本征激發(fā)，電子和空穴成對產(chǎn)生，n0=p0

本征激發(fā)下的電中性條件由上式可求得本征半導體的費米能級EF

（本征用符號Ei表示）。第72頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月上述三種半導體材料的1n（mp*/mn*）在2以下。

EF約在禁帶中線附近1.5k0T范圍內(nèi)。在室溫（300K）下，k0T≈0.026eV，而硅、鍺、砷化鎵的禁帶寬度約為1eV左右，因上式（3-30）中第二項小得多，所以本征半導體的費米能級Ei基本上在禁帶中線處。

銻化銦室溫時禁帶寬度Eg≈0.17eV，而mp*/mn*之值約為32左右，于是它的費米能級Ei已經(jīng)遠在禁帶之上。第74頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月本征載流子濃度ni為式中Eg=Ec-Ev為禁帶寬度。討論：一定的半導體材料，本征載流子濃度ni隨溫度的升高而迅速增加（指數(shù)增長）；不同的半導體材料，在同一溫度T時，禁帶寬度Eg越大，本征載流子濃度ni就越小。第75頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:在一定溫度下，任何非簡并半導體的熱平衡載流子濃度的乘積n0p0等于該溫度時的本征載流子濃度ni的平方，與所含雜質無關。注意：不僅適用于本征半導體材料，而且也適用于非簡并的雜質半導體材料。12學時n0p0=ni2（質量作用定律）第76頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月常見半導體在室溫下的本征載流子濃度：Si:

ni=1.5×1010cm-3Ge:

ni=2.4×1013cm-3GaAs:ni=1.1×107cm-3第77頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月常見半導體本征載流子濃度和溫度關系Lnni-1/T直線關系第78頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月

半導體中總是含有一定量的雜質和缺