北京市豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（A卷） Word版含解析

豐臺區(qū)2022-2023豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年度高二第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)(A卷)考試時間：120分鐘第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要I若.心，求嚴⑵"【答案】A解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再代值計算即可.所以f\x)=-x-2=~fX所以r(2)=-i【詳解】由數(shù)列{%}滿足可得數(shù)列{%}為等差數(shù)列,=1,可得％=l+(〃—l)x2=2〃—l,所以％=9.故選：C.3.己知某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的位移/(單位：m)與時間，(單位：S)之間的關(guān)系故選：A.2.己知數(shù)列{%}的首項％=1,且滿足%心-％=2,則％=()A.5B.7C.9D.11【答案】C解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，求得％=2〃-1,即可求得％的值.故選：C.5.故選：C.5.若函數(shù)f(x)=\nx-x,則/V)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(-oo,l)B.(0,1)C.(l,+oo)D,(-1,1)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得r(x)=—,令rw>o,即可求解.3為/。)=2/+二￡.則當.=5時，該運動員的滑雪速度為()2A.17.5m/sB.21.5m/sC.38m/sD.57.5m/s【答案】B解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對l(t)=2r+-t求導(dǎo)，再將7=5代入求解即可.2333【詳解】因為，(f)=2F+T,所以/'(。=4，+—,22故/'(5)=4x5+—=21.5m/s,2所以該運動員的滑雪速度為21.5m/s.故選：B.4.已知數(shù)列{%}是等比數(shù)列，其前〃頊和為S”,若%=8，則S’的值為()A.-15B.-5C.5D.15【答案】C【解析】【分析】設(shè)數(shù)列{%}的公比為0,結(jié)合題設(shè)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求得g,進而根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求解即可.【詳解】設(shè)數(shù)列{%}的公比為q,所以0=-2,4\-q1-(-2)2【詳解】由函數(shù)f2【詳解】由函數(shù)f(x)=\nx-x的定義域(0,+時，nT?r(x)=--l=—,x>0,令/z(x)>0,解得Ovxvl,即函數(shù)/((工、)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).故選：B.6用.數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的1+2+3++3〃=--------",由n=k到〃=&+1時，等式左邊應(yīng)當增加的項為(C.3k+3D.(k+l)+(Ar+2)+(3k)【答案】B【解析】【分析】分別寫出n=k和〃=k+l時，左邊的式子，兩式作差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，當n=k時，等式左邊等于1+2+3+.+3&,共3&項求和；當n=k+1時，等式左邊等于1+2+3++3儂+1),共3A+3項求和；所以由n=k的假設(shè)到證明〃=k+1時,等式左邊應(yīng)添加的式子是(3A+1)+(3比+2)+(3k+3).故選：B7.曲線f(x)=xex-e在x=l處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積為()【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，得到切線方程的斜率，進而求出切線方程，求出與坐標軸圍成的三角形面積.【詳解】由/(x)=xer-e,可得r(x)=e'+xe',又/(l)=2e,/(1)=0,故/(x)=xev-e在點x=l處的切線方程為y=2e(x-l),即y=2ex-2e.令x=O得y=-2e,令y=O得工=1,所以切線與坐標軸所圍成的三角形面積為S=」x2exl=e.2故選：A.8.己知函數(shù)y=f(x)t其導(dǎo)函數(shù)y=f\x)的部分圖象如圖，則對于函數(shù)y=fW的描述銷謬的是【【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象可得/'(x)的符號，進而可判斷/,(X)的單調(diào)性，結(jié)合/(X)的單調(diào)性逐項分析判斷.【詳解】由圖象可得：當x<-3^c-l<x<3時，/^)>0;當—3vxv—l或x>3時，廣(力<0；故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—,一3),(—1,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(一3,—1),(3,*時，故A,B正確；函數(shù)/'(X)在工=一1處取得極小值，故C正確，1不是極值點，D錯誤；故選：D.9.已知等比數(shù)列{%}的前〃項和為若一則()A.{%}為遞減數(shù)列B.{%}為遞增數(shù)列C.數(shù)列{S,}有最小項D,數(shù)列{S”}有最大項【答案】c【解析】【分析】由已知一分析等比數(shù)列的公比范圍，進而可以判斷{?！▆的單調(diào)性，判斷A,B；由S”=理二四=絆*，分養(yǎng)(一1,0),06(0,1)進行討論，判斷C,D.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為0,則0=0,由一<a}可得>0,又所以色"<1即qvl,又-%V⑴，所以一ax<axq,即q>-\,a\故等比數(shù)列{%}首項6>0,公比9滿足一IvqvO或Ovqvl,當—l<qvO時，等比數(shù)列{%}為正負項交替的擺動數(shù)列，故不單調(diào)；A.在區(qū)間(A.在區(qū)間(-3,-1)上單調(diào)遞減B,在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增C.戶一1為六X)極小值D.工=1為/W極小值點當Ovqvl當Ovqvl時，《中一％=%/'T(q—1)VO,等比數(shù)列{%}單調(diào)遞減，故A,B不正確;又危Jl")=金(If且金>。所以當—1V0VO時，由于Sg-S“=q/5)=御”(T),]_gi-q此時數(shù)列{S,}的最小項為&,最大項為§：當Ovqvl時，有S〃+i-S〃=(q〃-q"*)=廣―q"(1-q)=qq">0,則數(shù)列{&}為單調(diào)遞增數(shù)列，有最小項無最大頊，故C正確，D不正確.故選：C.10,任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1t4->2t1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如果對于正整數(shù)川，經(jīng)過〃步變換，第一次到達1,就稱為〃步“雹程如取也=5,由上述運算法則得出：5t16t8t4->2t1,共需經(jīng)過5個步驟變成1,得n=5.則下列說法錯誤的是()A.若m=13,則n=9B.若〃=2,則刀只能是4D.若〃=7,則m的可能值有5個【答案】D【解析】判斷作答.【詳解】對于A,當〃?=13時，13-?40t20t10t5t16t8t4t2t1,〃=6‘A正確；對于B,若〃=2,逆推：按減1除以3或乘以2,得1—2—4,因此刀只能是4,B正確；對于C,當〃?=3時，3t10t5t16t8—>4t2t1,〃=7,當〃=4時，4t2->1,n=2,因此隨著為的增大，〃不一定增大，C正確;Hm也必性—對于D,若丁=1,逆推：按減1除以3或乘以2,得1t2t4t8t16t/20[3因此用的取值集合是{3,20,21,128},〃，的值只有4個，D錯誤.故選：D第二部分(非選擇題共11()分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)/(x)=sin2x,則f(x)=,【答案】2cos2x【解析】【分析】利用簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式進行計算.【詳解】令y=sinu,u=2x,則y?-ux=2cosu=2cos2x,故廣(x)=2cos2x.故答案：2cos2i12.如果一l,a,b,c,—9成等比數(shù)列，那么Z?=.【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)等比中項以及等比數(shù)列的性質(zhì)運算求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列的公比為G，則由題意可得一lx/=—9,解得/=9,即『=3,所以人=-lxq2=-3.故答案為：-3.【點睛】考點：等比數(shù)列的通項公式.13.如圖，已知函數(shù)/W圖象關(guān)于直線x=-對稱，直線/是曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線，則22-0曲線y=2-0曲線y=/(x)在點(0,2)處的切線斜率為=I,【答案】-i【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，幾何意義和求導(dǎo)公式即可求解.【詳解】根據(jù)二次函數(shù)圖像可以設(shè)其解析式為：y=/(X)=?(x+l)(x-2),所以f\x)=a(2x-1)=2ax-a,y所以尸(0)=-。=1,所以r(x)=-2X+1,所以lim'(1+*)-/")=尸⑴=-1,弘項Ax故答案為：-1.14.我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1，2，3,L,9填入3x3的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2,3,L,填入nxn個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，記此和為N“，這個正方形叫做〃階幻方.如圖三階幻方的M=15.若kcN*，則.449.令【答案】些2【解析】438故答案：心1215.函數(shù)/(故答案：心1215.函數(shù)/(x)=lx+cosx(x>0)的所有極值點從小到大排列成數(shù)列{《},設(shè)S〃是{%}的前〃項和，給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列{%}為等差數(shù)列；【分析】利用等差數(shù)列求和公式計算出1+2+3++妃=號(1+.),從而得到N*.2詳解】由等差數(shù)列求和公式可得1+2+3++妃=*I"*)，2故每行，每列和每條對角線上的數(shù)字之和為'丁(1+」~)=瓦1+*~),*2k2易得函數(shù)的極值點為米=一+2威或工=一+2虹，keZ,66從小到大為冬，牛...，不是等差數(shù)列，①錯誤；6666③％為函數(shù)/⑴的極小值點;噸023=-!.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】②③④【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定極值點，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷.【詳解】解：Ax)=|-sinx,令f)=0可得x=—+2虹或工=—+2kn,k「Z,66f665兀八17兀nA25丸因為％=+2兀=---，%=471=-------9函數(shù)/'(x)在區(qū)間(與幻導(dǎo))上為減函數(shù)，在區(qū)間(導(dǎo)，詈)上為增函數(shù)，6666所以％為函數(shù)/?(')的極小值點，③正確；c兀5兀所以％為函數(shù)/?(')的極小值點，③正確；c兀5兀13兀17兀(n.....-) it13k(ncW「5兀17兀(5k八)1012x1011一1010x1011c[66)\J\62JI6266(6JJ|_66I61012X10Hx2J+pxl011+1Q1QxlQ11x2K【解析】【分析】(1)設(shè){《}的公差為d，根據(jù)通項公式列方程解得",即可得解; (2)結(jié)合(1)得如，再利用分組求和法求解即可.【小問1詳解】設(shè){%}的公差為d,因為6+。2=-4,。7-％=4,所以2%+d=—4,2d=4：解得％=-3,d=2.故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16,已知數(shù)列{%}為等差數(shù)列，若％+%=-4，%=4. (2)若數(shù)列{如}滿足bn=an+3nt求數(shù)列{如}的前〃項和【答案】(1)=2n-5 "22=sin101()71+—=sin—=—，④正確；I6)62~~~6666[6)【小問2詳解】因為％=2〃-5,如=%+3"=2〃一5+3”;所以S歸=(—3)+(—1)+1++(2〃—5)+3+3?++3”r+1-32217.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若/(X)在區(qū)間[1“]上的最小值為0,求〃2的取值范圍.【答案】(I)單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)(2)tn>3【解析】【分析】(1)首先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，即可求解;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，結(jié)合函數(shù)的最小值，即可確定〃?的取值范圍.【小問1詳解】由題可知廣(工)=3/—12尤+9,令/"'(尤)=0，即3x2-12x+9=0，解得工=1或x=3,當x變化時，r(x),/'(x)的變化情況如下表：所以/(》)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-oo,l),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).【小問2詳解】因為/(a)在區(qū)間(1,3)±單調(diào)遞減，在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增,X13+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增【答案】(1)。=5又有/(I)=4,/(3)=0,要使/(x)在區(qū)間[0,仞]上的最小值為0,則m>3.18.已知數(shù)列{%}滿足％=3,且an+{=3an-4.(1)設(shè)數(shù)列{巾}滿足如=%-2,證明：{如}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{%}的通項公式.【答案】(1)證明見解析(2)%=3”t+2【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，表示出人仲與0+的關(guān)系式，計算得#=3,根據(jù)等比數(shù)列的定義可證明數(shù)列{如}是等比數(shù)列；(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列{"}的通項，從而可得數(shù)列{%}的通項公式.【小問1詳解】b]=q-2=1,如=%-2,%初=3%-4,?,-如=?-2=(3%-4)-2=3(%-2)=3如,因為故bn^0t:.=3....{如}是首項4=1，公比0=3的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知，如=3〃",又bn=an-2,所以％-2=3"-，‘所以an=3n~l+2.故數(shù)列{%}的通項公式為%=3心+2.19.已知函數(shù)/(工)=無三，且/(X)在x=-l處取得極值.(2)若方程f(x)=k有兩個解，求實數(shù)&的取值范圍.(2)0<&v』或----<k<010【解析】【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)/*'(一1)(2)0<&v』或----<k<010【解析】【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)/*'(一1)=0,求"的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)，再利用數(shù)形結(jié)合，求實數(shù)&的范圍.【小問1詳解】由題可知廣(功=\：二“(5因為g在x=—i處取得極值，所以r(-i)=o,解得。=5；經(jīng)檢驗，a=5滿足題意.【小問2詳解】f"\2-工f任"-5)(工+1)X5(-1,5)(-00,-1)+增令ff(x)=0,解得x=-l或x=5；當x變化時，r(x),的變化情況如下表:由(1)知，/(X)=-y—,J(X)-(、、2jr+51x4-5)極小值+增極大值廣⑴f(x)00O2所以六x)的極大值/(-1)=|；/(x)的極小值/(5)=~因為方程f(x)=k有兩個解，所以0<k今或一土〈&<°當xv2時，/(%)>0；當工>2時，/(x)<0,2函數(shù)六對的單調(diào)遞增區(qū)間為(tr,-1),(5,+co)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,5).【小問1詳解】【小問1詳解】當。=1時，函數(shù)f(x)=x\nx-x2.l令x=l,得廣(1)=一1,即切線斜率k=—l,故切線方程為y+l=-(x-1),即y=-x.【小問2詳解】解法一：已知/(x^axinx-x1,可得/'(%)=a(\nx+\)-2x,因為/⑴在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增，所以ff(x)>0在區(qū)間[1,e]±恒成立，設(shè)F(x)=?(lnx+l)-2x,可得Ff(x)=—―,令F\x)-0,*=；；①當州<1時，tz<2,XG[l,e],F(x)<0,尸(對單調(diào)遞減，2P(x)min=F(e)=2o—2e<0,不滿足題意；②當1e時，2vov2e,xg(1,-)時，F(xiàn)f(x)>0,F(x)單調(diào)遞增；2220.已知函數(shù)f(x)=ax\nx-x2(aeR).(1)當&=1時，求曲線y=fM在點(1,/(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)，(x)在區(qū)間[l,e]±單調(diào)遞增，求實數(shù)〃的取值范圍.(2)[e,+oo)【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；(2)解法一：由題意得r(x)>0在區(qū)間[l,e]上恒成立，設(shè)F(x)=?(lnx+l)-2x,然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，使其大于等于零，從而可求出實數(shù)。的取值范圍；解法二：由題意得f\x)>0在區(qū)間[l,e]上恒9r2r成立，則—在區(qū)間[l,e]上恒成立，令g3)=W^(E[i,e]),利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可，Inx+llnx+1時，F(xiàn)'(x時，F(xiàn)'(x)vO,F(x)單調(diào)遞減，由F(l)=?-2>0,F(e)=2a-2e>012vov2e,得eKiv2e；->e時，a>2e,xe[l,e],F'(x)NO,尸(對單調(diào)遞增，2由F(x)min=F(D="-220,得a>2,所以o22e；綜上，a>e.經(jīng)檢驗，a>e滿足題意.所以實數(shù)。的取值范圍為[e,+8).解法二：由題意，f(x)=a(\nx+\)-2x>0在區(qū)間[1,e]上恒成立，因為xw[l,e],所以lnx+l>0,所以。2-—-在區(qū)間[l,e]上恒成立.lnx+1lnx+1則川=和產(chǎn)所以gM在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增,所以g(x)的最大值為g(e)=e,所以a>e.經(jīng)檢驗，oNe滿足題意.所以實數(shù)〃的取值范圍為[e,+oo).【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為廣(x)=o(lnx+l)-2x20在區(qū)間[l,e]上恒成立，然后分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.21.定義“三角形數(shù)”：對于給定的正整數(shù)〃，若存在正整數(shù)使得〃=1+2+3+.+4，則稱〃是“三角形已知數(shù)列{%}已知數(shù)列{%}滿足%=1,且an+l-an1,若〃是?三角形數(shù)2‘,若訐是?三角形數(shù)乂?！?1-={2(〃+1)-[—---------]]-{2n-[----------])綜上，命題得證.【小問3詳解】只要做驗證性證明即可，即若通項公式可推導(dǎo)出遞推公式，則通項公式正確.當〃=1時，％=2-[蚓￡=1,滿足初值條件.(1)寫出的值：(2)證明：當且僅當〃是“三角形數(shù)”時，1+$(〃+1)-7是正整數(shù);2(3)證明：數(shù)列{《}的通項公式為4=2〃一[1+'；〃_7]，其中以]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3]=3,[