中考模擬好題匯編第3講 函數與導數小題（解析版）

文檔來源網絡侵權聯系刪除PAGEPAGE1僅供參考第3講函數與導數小題一、多選題1．（2021·全國高三專題練習）已知函數，若，則（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先分析得到在上單調遞增，得到，由于二次函數不是單調函數，不一定成立，所以選項A錯誤；，所以選項B正確；由于函數，不是單調函數，所以不一定成立.所以選項C錯誤；因為函數，函數在上單調遞增，所以選項D正確.【詳解】因為，所以在上單調遞增，由可得，所以，所以選項B正確；又因為函數，函數在上單調遞增，所以，所以選項D正確；由于二次函數不是單調函數，所以當時，不一定成立，所以選項A錯誤；由于函數，不是單調函數，所以當時，不一定成立.所以選項C錯誤.故選：BD【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是想到利用導數分析得到函數的單調性，研究函數的問題，一般先要通過探究函數的奇偶性、單調性和周期性等，再求解函數問題.2．（2021·山東高三專題練習）函數，則下列說法正確的是（）A． B．C．若有兩個不相等的實根，則 D．若均為正數，則【答案】BD【分析】求出導函數，由導數確定函數日單調性，極值，函數的變化趨勢，然后根據函數的性質判斷各選項．由對數函數的單調性及指數函數單調性判斷A，由函數性質判斷BC，設，且均為正數，求得，再由函數性質判斷D．【詳解】由得：令得，當x變化時，變化如下表：x0單調遞增極大值單調遞減故，在上遞增，在上遞減，是極大值也是最大值，時，時，，且時，時，，，A．，故A錯B．，且在單調遞增，故：B正確C．有兩個不相等的零點不妨設要證：，即要證：在單調遞增，∴只需證：即：只需證：……①令，則當時，在單調遞增，即：這與①矛盾，故C錯D．設，且均為正數，則且，故D正確．故選：BD．【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數研究函數的單調性、極值，函數零點等性質，解題關鍵是由導數確定函數的性質．其中函數值的大小比較需利用單調性，函數的零點問題中有兩個變量，關鍵是進行轉化，利用零點的關系轉化為一個變量，然后引入新函數進行證明．3．（2021·廣東深圳市·高三一模）已知函數，若，則下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】確定函數是增函數，然后比較自變量的大小后可得正確選項．【詳解】易知是上的增函數，時，成立，成立，BD一定成立；與的大小關系不確定，A不一定成立；同樣與的大小關系也不確定，如時，，C也不一定成立．故選：BD．4．（2021·廣東湛江市·高三一模）已知函數f(x)=x3-3lnx-1，則（）A．f(x)的極大值為0 B．曲線y=f(x)在（1，f(1))處的切線為x軸C．f(x)的最小值為0 D．f(x)在定義域內單調【答案】BC【分析】直接對f(x)=x3-3lnx-1，求出導函數，利用列表法可以驗證A、C、D;對于B:直接求出切線方程進行驗證即可.【詳解】f(x)=x3-3lnx-1的定義域為，令，得，列表得：x(0,1)1(1,+∞)-0+f(x)單減單增所以f(x)的極小值，也是最小值為f(1)=0，無極大值，在定義域內不單調；故C正確，A、D錯誤；對于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1))處的切線方程，即.故B正確.故選：BC【點睛】導數的應用主要有：（1）利用導函數幾何意義求切線方程；（2）利用導數研究原函數的單調性，求極值（最值）；（3）利用導數求參數的取值范圍.5．（2021·河北邯鄲市·高三一模）已知函數，若關于x的方程恰有兩個不同解，則的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函數的單調性以及已知條件得到，代入，令，求導，利用導函數的單調性分析原函數的單調性，即可求出取值范圍.【詳解】因為的兩根為，所以，從而．令，則，．因為，所以，所以在上恒成立，從而在上單調遞增．又，所以，即的取值范圍是，故選：BC．【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數解決函數的范圍問題.構造函數，利用導數求取值范圍是解決本題的關鍵.6．（2021·全國高三專題練習）已知函數，其導函數為，設，則（）A．的圖象關于原點對稱 B．在R上單調遞增C．是的一個周期 D．在上的最小值為【答案】AC【分析】對A：求出的定義域，再利用奇偶性的定義判斷即可；對B：利用的導數可判斷；對C：計算，看是否等于即可；對D：設，根據對勾函數的單調性可得最值.【詳解】的定義域是，其定義域關于坐標原點對稱，且，所以是奇函數，所以的圖象關于原點對稱，故A項正確；由，得，則．恒成立，所以在上單調遞增，并不是在R上單調遞增，故B項錯誤；由，得函數的定義域是，故C項正確；設，當時，，此時，，根據對勾函數的單調性，在上單調遞減，，故D項錯誤.故選：AC．7．（2021·全國高三專題練習（理））已知函數，以下結論正確的是（）A．是偶函數 B．最小值為2C．在區(qū)間上單調遞減 D．的零點個數為5【答案】ABD【分析】去掉絕對值，由函數的奇偶性及周期性，對函數分段研究，利用導數再得到函數的單調性，再對選項進行判斷.【詳解】∵，，∴是偶函數，A正確；因為，由函數的奇偶性與周期性，只須研究在上圖像變化情況.，當，，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時；當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時，故當時，，B正確.因在上單調遞減，又是偶函數，故在上單調遞增，故C錯誤.對于D，轉化為根的個數問題.因在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，，無實根.時，，無實根，，顯然為方程之根.，，，單獨就這段圖象，，在上變化趨勢為先快扣慢，故在內有1個零點，由圖像知在內有3個零點，又，結合圖象，知D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：研究函數性質往往從以下方面入手：（1）分析單調性、奇偶性、周期性以及對稱性；（2）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個容易畫出圖象的函數，將兩個函數的圖象畫在同一個平面直角坐標系中，利用數形結合的方法求解.8．（2021·江蘇高三專題練習）若定義在上的函數滿足，其導函數滿足，則下列成立的有（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】構造函數由已知可得在R上單調遞增，利用單調性對各個選項進行分析判斷即可.【詳解】根據題意設其導數為由知在R上單調遞增，對于A,由函數單調性得即，即，即，又由，則,必有，故A正確，B錯誤；對于C,，則，則有，即，即，故C正確，D錯誤；故選：AC【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，常用解題方法構造新函數，考查學生推理能力和計算能力，屬于中檔題.9．（2021·全國高三專題練習）設函數，則（）A．在單調遞增 B．的值域為C．的一個周期為 D．的圖像關于點對稱【答案】BC【分析】根據余弦函數及指數函數的單調性，分析復合函數的單調區(qū)間及值域，根據周期定義檢驗所給周期，利用函數的對稱性判斷對稱中心即可求解.【詳解】令，則，顯然函數為增函數，當時，為減函數，根據復合函數單調性可知，在單調遞減，因為，所以增函數在時，，即的值域為；因為，所以的一個周期為，因為，令，設為上任意一點，則為關于對稱的點，而，知點不在函數圖象上，故的圖象不關于點對稱，即的圖像不關于點對稱.故選：BC【點睛】本題主要考查了余弦函數的性質，指數函數的性質，復合函數的單調性，考查了函數的周期性，值域，對稱中心，屬于難題.二、單選題10．（2021·廣東廣州市·高三一模）已知是自然對數的底數，設，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設，利用導數判斷函數的單調性，比較的大小，設利用導數判斷，放縮，再設函數，利用導數判斷單調性，得，再比較的大小，即可得到結果.【詳解】設，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，，時，，即，設，，時，，函數單調遞減，時，，函數單調遞增，所以當時，函數取得最小值，，即恒成立，即，令，，時，，單調遞減，時，，單調遞增，時，函數取得最小值，即，得：，那么，即，即，綜上可知.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題考查構造函數，利用導數判斷函數的單調，比較大小，本題的關鍵是：根據，放縮，從而構造函數，比較大小.11．（2021·全國高三專題練習）已知函數，若，，，則，，的大小關系正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出函數的定義域，判斷函數為偶函數，再對函數求導判斷出函數在上單調遞增，然后作差比較的大小，可得，從而可比較出，，的大小【詳解】由題可知：的定義域為，且，則為偶函數，，當時，，在上單調遞增.又由所以，，故.故選：B【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用函數的單調性比較大小，考查導數的應用，考查對數運算性質的應用，考查了基本不等式的應用，解題的關鍵是判斷函數的奇偶性，再利用導數判斷函數的單調性，然后利用單調性比較大小，屬于中檔題12．（2021·全國高三專題練習）已知函數，若不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用定義確定函數為偶函數，再利用單調性證明在上為增函數，所以不等式化簡為，轉化為在上恒成立，求出的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，且，所以為偶函數.又當時,是增函數，任取，且，，，所以在上是增函數，即在上是增函數.所以不等式對任意恒成立，轉化為，即，從而轉化為和在上恒成立①若在上恒成立，則，解得；②若在上恒成立，，則，解得；綜上所述，實數的取值范圍是.故選：D.【點睛】方法點睛：本題考查了解抽象不等式，要設法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：（1）把不等式轉化為的模型；（2）判斷函數的單調性，再根據函數的單調性將不等式的函數符號“”脫掉，得到具體的不等式（組）來求解，但要注意奇偶函數的區(qū)別.13．（2021·江蘇常州市·高三一模）若則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】按或0，，和四種情況，分別化簡解出不等式，可得x的取值范圍．【詳解】①當或0時，成立；②當時，，可有，解得；③當且時，若，則，解得若，則，解得所以則原不等式的解為，故選：B14．（2021·遼寧鐵嶺市·高三一模）若，“”是“函數在上有極值”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求得函數的導數，利用導數求得函數的單調性與極值，結合充分條件、必要條件的判定，即可求解.【詳解】由題意，函數，則，令，可得，當時，；當時，，所以函數在處取得極小值，若函數在上有極值，則，解得．因此“”是“函數在上有極值”的充分不必要條件．故選：A．15．（2021·全國高三專題練習）下列函數中，既是奇函數，又在上單調遞減的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數奇偶性的定義判斷各選項中函數的奇偶性，利用導數法判斷各選項中函數在區(qū)間上的單調性，由此可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，由，解得，所以，函數的定義域為，該函數為非奇非偶函數，A選項不滿足條件；對于B選項，由，可得，即函數的定義域為.，該函數為奇函數，當時，，所以，函數在上單調遞減，B選項滿足條件；對于C選項，由，解得，所以，函數的定義域為，，該函數為奇函數，當時，，該函數在上為增函數，C選項不滿足條件；對于D選項，函數的定義域為，，該函數為奇函數，當時，，該函數在上為增函數，D選項不滿足條件.故選：B.【點睛】方法點睛：函數單調性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設元作差變形判斷符號得出結論；（2）圖象法：如果函數是以圖象的形式給出或者函數的圖象易作出，結合圖象可得出函數的單調區(qū)間；（3）導數法：先求出函數的導數，利用導數值的正負確定函數的單調區(qū)間；（4）復合函數法：先將函數分解為內層函數和外層函數，再討論這兩個函數的單調性，然后根據復合函數法“同增異減”的規(guī)則進行判定.16．（2021·湖南岳陽市·高三一模）對于函數，若存在，使，則點與點均稱為函數的“先享點”已知函數且函數存在5個“先享點”，則實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據題中所給的條件，判斷出“先享點”的特征，之后根據存在5個“先享點”，等價于函數關于原點對稱的圖象恰好與函數有兩個交點，構造函數利用導數求得結果.【詳解】依題意，存在5個“先享點”，原點是一個，其余還有兩對，即函數關于原點對稱的圖象恰好與函數有兩個交點，而函數關于原點對稱的函數為，即有兩個正根，，令，，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，并且當和時，，所以實數a的取值范圍為，故選：A.【點睛】該題考查的是有關新定義問題，結合題意，分析問題，利用等價結果，利用導數研究函數的性質，屬于較難題目.17．（2020·山東高三專題練習）已知函數（為自然對數的底數），若的零點為，極值點為，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】令可求得其零點，即的值，再利用導數可求得其極值點，即的值，從而可得答案．【詳解】解：，當時，，即，解得；當時，恒成立，的零點為．又當時，為增函數，故在，上無極值點；當時，，，當時，，當時，，時，取到極小值，即的極值點，．故選：C．【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數的零點，考查分段函數的應用，突出分析運算能力的考查，屬于中檔題．三、填空題18．（2021·廣東韶關市·高三一模）若曲線與曲線存在公共切線，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，由y=ex,得y′=ex，曲線C1:y=ax2(a>0)與曲線C2:y=ex存在公共切線，設公切線與曲線C1切于點(x1,ax12),與曲線C2切于點，則，可得2