即本征值取連續(xù)譜課件

第三章

量子力學(xué)中的力學(xué)量TheDynamicalvariableinQuantumMechanism

第三章

量子力學(xué)中的力學(xué)量The1引言經(jīng)典粒子只有粒子性用坐標(biāo)和動量來描述。狀態(tài)：力學(xué)量：在任何狀態(tài)下都有確定值。微觀粒子波粒二象性用波函數(shù)來描述。狀態(tài)：力學(xué)量：一般情況下沒有有確定值。因此，在量子力學(xué)中力學(xué)量是用算符來表示。引言經(jīng)典粒子只有粒子性用坐標(biāo)和動量來描述。狀態(tài)：力學(xué)量：在任23.1

表示力學(xué)量的算符Operatorfordynamicalvariable

3.2

動量算符與角動量算符

Momentumoperatorandangularmomentumoperator3.3

電子在庫侖場中的運動

ThemotionofelectronsinCoulombfield3.4氫原子

Hydrogenatom3.5

厄米算符本征函數(shù)的正交性O(shè)rthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators3.6

力學(xué)量算符與力學(xué)量的關(guān)系RelationshipbetweenOperatoranddynamicalvariable本章內(nèi)容3.1表示力學(xué)量的算符本章內(nèi)容33.7算符的對易關(guān)系兩力學(xué)量同時有確定值的條件測不準(zhǔn)關(guān)系OperatorcommuteTheHeisenbergUncertaintyPrinciple3.8力學(xué)量隨時間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws3.7算符的對易關(guān)系兩力學(xué)量同時有確定值的條件測不準(zhǔn)關(guān)4§3.1表示力學(xué)量的算符1.算符代表對波函數(shù)進(jìn)行某種運算或變換的符號，其對一函數(shù)作用后得到另一函數(shù)。

例如:稱為算符Fvu=?注意:由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應(yīng)的運算才有意義?！?.1表示力學(xué)量的算符1.算符代表對波函數(shù)進(jìn)5

2.算符的本征值、本征函數(shù)、本征方程若算符作用在函數(shù)上，等于一常數(shù)乘以，

即:則稱為算符的本征值，稱為算符的本征函數(shù)。

稱為算符的本征方程。

例如:3.力學(xué)量的算符表示(1)動量的算符表示在量子力學(xué)中，動量用動量算符表示。即:2.算符的本征值、本征函數(shù)、本征方程若算符作用在函數(shù)6在直角坐標(biāo)系中的三個分量為:(2)坐標(biāo)的算符表示在量子力學(xué)中，坐標(biāo)用坐標(biāo)算符表示。即:即坐標(biāo)算符就是坐標(biāo)自身。在直角坐標(biāo)系中的三個分量為:(3)能量的算符表示在量子力學(xué)中，能量用哈密頓算符表示。即:在直角坐標(biāo)系中的三個分量為:(2)坐標(biāo)的算符表示在量子力學(xué)中7(4)力學(xué)量用算符表示的一般規(guī)則哈密頓算符的構(gòu)造:將哈密頓函數(shù)

將以上哈密頓算符構(gòu)造的方法加以推廣，便得出一個力學(xué)量用算符表示的一般規(guī)則:

若量子力學(xué)中的力學(xué)量

在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示該力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示中將動量換成動量算符，將坐標(biāo)換成坐標(biāo)算符而得出，即:(4)力學(xué)量用算符表示的一般規(guī)則哈密頓算符的構(gòu)造:將哈密頓函8例:動能算符

角動量算符

①以上所述力學(xué)量算符規(guī)則是對坐標(biāo)表象而言；對于動量表象，表示力學(xué)量F的算符是將經(jīng)典表示換成坐中的坐標(biāo)變量換成坐標(biāo)算符即

注意例:動能算符角動量算符①以上所述力學(xué)量算符規(guī)則是對9②對于只在量子理論中才有，而在經(jīng)典力學(xué)中沒有的力學(xué)量，其算符如何構(gòu)造的問題另外討論。力學(xué)量算符坐標(biāo)表象動量表象坐標(biāo)算符動量算符力學(xué)量算符其中②對于只在量子理論中才有，而在經(jīng)典力學(xué)中沒有的力學(xué)量，其算符104.算符與它所表示的力學(xué)量之間的關(guān)系問題:能否說表示力學(xué)量的算符就是力學(xué)量?或算符等于力學(xué)量?算符與它所表示的力學(xué)量之間是什么的關(guān)系?在第二章討論哈密頓算符的本征值問題:方程的解本征函數(shù)：本征值：

如果算符表示力學(xué)量，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)中時，力學(xué)量

有確定值，這個值就是屬于該本征態(tài)的本征值。

推廣到一般情況當(dāng)體系處在的本征態(tài)時，體系有確定的能量該假設(shè)回答了表示力學(xué)量的算符與該力學(xué)量的關(guān)系4.算符與它所表示的力學(xué)量之間的關(guān)系問題:能否說表示力學(xué)量的115.厄米算符及其性質(zhì)①厄米算符的定義若對于任意兩函數(shù)和，算符滿足等式則稱為厄米算符。

②厄米算符的性質(zhì)

設(shè)為厄米算符，其本征方程證明:（實數(shù)）厄米算符的本征值必為實數(shù)。5.厄米算符及其性質(zhì)①厄米算符的定義若對于任意兩函數(shù)和12力學(xué)量算符為線性的厄米算符。6.力學(xué)量算性質(zhì)例1.證明動量算符的一個分量

是厄密算符。證明:證明:例2.證明坐標(biāo)算符的一個分量

是厄密算符。因為x是實數(shù)所以x是厄密算符。力學(xué)量算符為線性的厄米算符。6.力學(xué)量算性質(zhì)例1.證明動量算13§3.2動量算符和角動量算符1.動量算符的本征問題①動量算符直角坐標(biāo)②動量算符的本征方程及求解由分離變量法,令則有這正是自由粒子德布羅意波的空間部分波函數(shù)在解方程過程中，對沒有任何的限制，即本征值取連續(xù)譜。歸一化常數(shù)§3.2動量算符和角動量算符1.動量算符的本征問題①動量算14③歸一化系數(shù)的確定

兩種情形歸一化常數(shù)的求法

具有分立譜的本征函數(shù)的歸一化常數(shù)：

具有連續(xù)譜的本征函數(shù)的歸一化常數(shù)：ⅰ)若粒子處在無限空間中，則按函數(shù)的歸一化方法確定歸一化常數(shù)

，即：③歸一化系數(shù)的確定兩種情形歸一化常數(shù)的求法具有分立譜的本15歸一化本征函數(shù)為：這正是自由粒子德布羅意波的空間部分波函數(shù)，對應(yīng)的本征值取連續(xù)值。ⅱ)若粒子處在邊長為的立方體內(nèi)運動，則用所謂箱歸一化方法確定常數(shù)

。

當(dāng)粒子被限制在邊長為的立方體內(nèi)時，本征函數(shù)滿足周期性邊界條件。歸一化本征函數(shù)為：這正是自由粒子德布羅意波的空ⅱ)若粒子處16xyzAA’oLxyzAA’oL17所以本征值為：由分立譜的歸一化條件：這表明動量只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續(xù)譜變成了分立譜。所以本征值為：由分立譜的歸一化條件：這表明動量只能取分立值。18歸一化本征函數(shù)

粒子波函數(shù)④討論ⅰ)從這里可以看出，只有在分立譜情況下，波函數(shù)才能歸一化為一；連續(xù)譜情況，歸一化為

函數(shù)。

ⅲ)在自由粒子波函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算符在這個態(tài)中的本征值。ⅱ)由 可以看出，相鄰兩本征值的間隔與成反比。當(dāng)足夠大時，本征值間隔可任意小；當(dāng)時，即離散譜→連續(xù)譜。歸一化本征函數(shù)粒子波函數(shù)④討論ⅰ)從這里可以看出，只有在分192.角動量算符的本征問題①角動量算符直角坐標(biāo)球坐標(biāo)?(1)(2)2.角動量算符的本征問題①角動量算符直角坐標(biāo)球坐標(biāo)?(1)(20由上述直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系(2)得：(3)(4)由上述直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系(2)得：(3)(4)21由(3)、(4)得：將(5)代入(1)得角動量算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：(5)(6)由(3)、(4)得：將(5)代入(1)得角動量算符在球坐標(biāo)中22再定義角動量平方算符：②角動量算符的本征方程及求解ⅰ)Lz算符的本征值問題本征方程

在球坐標(biāo)系中

解為：由于為的單值函數(shù)，應(yīng)有周期條件:即：

本征值:再定義角動量平方算符：②角動量算符的本征方程及求解ⅰ)Lz算23

可見，微觀系統(tǒng)的角動量在z方向的分量只能取分離值（零或的整數(shù)倍）。由于z方向是任意取定的，所以角動量在空間任意方向的投影是量子化的。

本征函數(shù)：由歸一化條件：

歸一化本征函數(shù)：

稱為磁量子數(shù)可見，微觀系統(tǒng)的角動量在z方向的分量只能取分離值（零24正交性：將歸一化條件與正交性合記之得正交歸一化條件：本征方程:ⅱ）L2算符的本征值問題令：

（1）

在球坐標(biāo)系中

正交性：將歸一化條件與正交性合記之得正交歸一化條件：本征方程25

此為球面方程（球諧函數(shù)方程）。其中是屬于本征值的本征函數(shù)。利用分離變量法及微分方程的冪級數(shù)解法，求球面方程在區(qū)域內(nèi)的有限單值函數(shù)解（其求解方法在數(shù)學(xué)物理方法中已有詳細(xì)的講述），可得：（2）

（3）

由（1）、（2）式得出的本征值：角量子數(shù)磁量子數(shù)此為球面方程（球諧函數(shù)方程）。其中是（226

的本征值:

可見，微觀系統(tǒng)的角動量只能取一系列離散值：球諧函數(shù)是屬于本征值的本征函數(shù)，是締合勒讓德多項式，滿足正交-模方條件：

是屬于本征值的本征函數(shù)，有正交-模方條件的本征值:可見，微觀系統(tǒng)的角動量只能取一系列離散27

由的正交歸一化條件：求得歸一化因子:③討論ⅰ)球諧函數(shù)系是與有共同的本征函數(shù)系:ⅱ）簡并情況

在求解本征方程的過程中，出現(xiàn)角量子數(shù)和磁量子數(shù)

。

由的正交歸一化條件：求得歸一化因子:③討論28例:

簡并度為1

簡并度為3

即屬于本征值的線性獨立本征函數(shù)共有個。因此,的本征值是度簡并的。

的本征值僅由角量子數(shù)

確定，而本征函數(shù)卻由

和

確定。對于一個

值，

可取，這樣就有個

值相同而

值不同的本征函數(shù)與同一個本征值對應(yīng)。例:簡并度為1簡并度為3即屬于本征值29簡并度為5簡并度為530確定了角動量的大小

本征值：確定了角動量的方向

本征值：角動量的空間取向量子化Z0+1m=+2-1-2l=2確定了角動量的大小本征值：確定了角動量的方向31§3.3電子在庫侖場中的運動

電子在庫侖場中運動的問題一電子在一帶正電的核所產(chǎn)生的電場中運動，電子質(zhì)量為μ，電荷為-e，核電荷為+Ze。取核在坐標(biāo)原點，電子受核電的吸引勢能為：（氫原子）（類氫原子）此類問題中，勢函數(shù)只與徑向坐標(biāo)有關(guān)，即：把這樣的場稱為有心力場或輳力場。§3.3電子在庫侖場中的運動電子在庫侖場中運動的問題一32哈密頓算符：定態(tài)Schr?dinger方程（的本征方程）：粒子在有心力場中的勢能：1.粒子在有心力場中運動的Schr?dinger方程（1）

對于勢能只與r有關(guān)而與θ,

無關(guān)的有心力場，使用球坐標(biāo)求解較為方便。于是方程可改寫為：哈密頓算符：定態(tài)Schr?dinger方程（的本征方程）：33設(shè)：

（2）

（2）式代入方程（1），分離變量得：（3）

（4）

徑向方程球諧方程２.Schr?dinger方程的求解①球諧方程的求解

球諧方程（4）與中心力場的勢函數(shù)無關(guān)，且是上節(jié)討論過的算符的本征方程：或設(shè)：（2）（2）式代入方程（1），分離變量得：（3）（34（5）

所以球諧方程（4）當(dāng)，且時，該方程在內(nèi)的單值有限解均為球諧函數(shù)：②徑向方程的求解(庫侖有心力場中)電子受核的吸引，其勢為庫侖勢：將庫侖勢代入徑向方程（3）得：（6）

令：

（7）

代入方程(6)得:

（5）所以球諧方程（4）當(dāng)，且35（8）

ⅰ)當(dāng)，原子中的電子電離脫離原子到無窮遠(yuǎn)處，即，此時方程（8）變?yōu)椋捍朔匠痰慕鉃椋?/p>

對于任意的Ｅ()，都滿足波函數(shù)的連續(xù)、單值和有限條件，因此對E沒有什么限制，即Ｅ取連續(xù)譜。（8）ⅰ)當(dāng)，原子中的電子電離脫離原子36ⅱ)當(dāng)ｒ有限，即，方程（8）寫成：（9）電子處在束縛態(tài)，應(yīng)具有分離譜。令：

（10）

（11）

（12）

方程（9）變?yōu)椋海?3）ⅱ)當(dāng)ｒ有限，即，方程（8）寫成：（9）電子處在束37將（14）代入（13），則有：

利用冪級數(shù)求解微分方程的方法解方程（15）設(shè)方程（13）的解為：（14）

（15）

（16）

設(shè)：

將（16）代入（15）式，求其在范圍內(nèi)的有限解，得：（17）

為主量子數(shù)將（14）代入（13），則有：利用冪級數(shù)求解微分方程的方法38（18）（12）

由能量算符的本征值

可見，庫侖場中的粒子處在束縛態(tài)時，其能量為分立值，即能量是量子化的。方程（15）在內(nèi)的有限解為：（19）其中，為一任意常數(shù)，稱為締合拉蓋爾多項式。（18）（12）由能量算符的本征值可見，庫侖場中的39微分形式：拉蓋爾多項式

（20）角量子數(shù)：

將的表示式（19）代入（14）式，便得到的表示式，然后代入（7）式，得到徑向波函數(shù)：微分形式：拉蓋爾多項式（20）角量子數(shù)：將的表示40

為徑向波函數(shù)的歸一化常數(shù)，由歸一化條件：下面列出了前幾個徑向波函數(shù)表達(dá)式：式中為玻爾半徑為徑向波函數(shù)的歸一化常數(shù)，由歸一化條件：下41即本征值取連續(xù)譜課件42波函數(shù)：

磁量子數(shù)：

角量子數(shù)：

主量子數(shù)：3．電子在有心力場中的能量本征值與波函數(shù)能量本征值：下面列出了前幾個波函數(shù)表達(dá)式：波函數(shù)：磁量子數(shù)：角量子數(shù)：主量子數(shù)：3．電子在有心力43即本征值取連續(xù)譜課件444.討論:

①是的共同本征函數(shù)系。

可見，是電子三個算符的共同本征函數(shù)系，當(dāng)量子數(shù)給定時，就確定了一個狀態(tài)，力學(xué)量可同時測定。當(dāng)粒子處在任一狀態(tài)時，它可用構(gòu)成的函數(shù)系展開，因此，構(gòu)成一組力學(xué)量完全集。

4.討論:①是的共同45②電子的第n

個能級En是n2度簡并的。

粒子處在束縛態(tài)，對于第

個能級，角量子數(shù)取，共個值；對于一個

值，磁量子數(shù)

可取，共個值。因此，對于第個能級，共有：個波函數(shù)，即

的簡并度為n2例：n=2時，E2是4度簡并的，對應(yīng)的波函數(shù)有：

庫侖場中電子的能級

只與

有關(guān)，與無關(guān)，對簡并，這是庫侖場所特有的。②電子的第n個能級En是n2度簡并的。粒子處46③簡并度與力場對稱性

所以，庫侖場中電子的能級

只與

有關(guān)，與無關(guān)，對簡并，這是庫侖場所特有的。

由上面求解過程可以知道，由于庫侖場是球?qū)ΨQ的，所以徑向方程與無關(guān),而與有關(guān)。因此，對一般的有心力場，解得的能量不僅與徑量子數(shù)有關(guān)，而且與

有關(guān)，即，簡并度就為度。但是對于庫侖場這種特殊情況，得到的能量只與有關(guān)。所以又出現(xiàn)了對的簡并度，這種簡并稱為附加簡并。這是由于庫侖場具有比一般中心力場有更高的對稱性的表現(xiàn)。

③簡并度與力場對稱性所以，庫侖場中電子的能級只與47

如Li,Na,K等堿金屬原子中最外層價電子是在由核和內(nèi)殼層電子所產(chǎn)生的有心力場中運動。這個場不再是點電荷的庫侖場，因此價電子的能級僅對簡并?；蛘哒f，核的有效電荷發(fā)生了變化。當(dāng)價電子處在和兩點，有效電荷是不一樣的，隨著不同有效電荷Ｚ在改變，此時不再是嚴(yán)格的點庫侖場。因此價電子的能級與

和

有關(guān)，而與

無關(guān)，即能級僅對

簡并，對

的簡并消除了。如Li,Na,K等堿金屬原子中最外層價電子是48④宇稱作空間反演球坐標(biāo)系中，反射變換

+

-

xyz④宇稱作空間反演球坐標(biāo)系中，反射變換+-49即具有宇稱。（即具有宇稱）即具有宇稱。綜合以上兩點討論應(yīng)該指出，是的偶函數(shù)，但是卻具有奇宇稱，這表明函數(shù)的奇偶性與波函數(shù)的奇偶宇稱是完全不同的兩個概念，千萬不要混淆起來。于是波函數(shù)在空間反射下作如下變換：即具有宇稱。即具有宇稱。（即具有宇稱）50§3.4氫原子1.氫原子兩體問題的處理

氫原子與類氫離子都是由一個電子和核所組成的體系，若視核的質(zhì)量為無窮大，即不考慮核的運動，則只需考慮電子的運動即可，是一個單體問題，情況與上節(jié)完全一樣；當(dāng)考慮核的質(zhì)量為有限，即要考慮核的運動時，就是一個兩體問題。兩體問題單體問題設(shè)電子核§3.4氫原子1.氫原子兩體問題的處理氫原子與類氫離51

氫原子的Schrodinger方程：通過將變量從兩個粒子的坐標(biāo)變換為電子相對核的坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)，兩體問題可化成單體問題。電子相對核的坐標(biāo)

折合質(zhì)量質(zhì)心坐標(biāo)氫原子的Schrodinger方程：通過將變量從兩52波函數(shù):勢能:同理算出

于是，可將上述氫原子的Schrodinger方程變?yōu)橄鄬ψ鴺?biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)的形式:波函數(shù):勢能:同理算出于是，可將上述氫原子的Schro53（1）此方程由于沒有交叉項，可采用分離變量法求解。將（2）式代入(1)式,再兩邊除以，可得:（3）=W-E令:（2）

總能量方程:（1）此方程由于沒有交叉項，可采用分離變量法求解。將（2）式54質(zhì)心運動方程:相當(dāng)于質(zhì)量為，能量為的自由粒子運動。電子相對核的運動方程:（4）2.氫原子能級和波函數(shù)本征波函數(shù):（5）能量本征值:

我們感興趣的是描述氫原子的內(nèi)部狀態(tài)的方程(4)，它描述一個質(zhì)量為

的粒子在勢能為的力場中的運動。這是一個電子相對于核運動的波函數(shù)所滿足的方程，相對運動能量就是電子的能級。這與上節(jié)的內(nèi)容一致，按照上節(jié)的討論:質(zhì)心運動方程:相當(dāng)于質(zhì)量為，能量為553.討論①能量能譜組成分立譜ⅰ)能級間距兩相鄰能級間距:

當(dāng)時，，成為非束縛態(tài)。

當(dāng)增大時，減小，即隨

的增大能級越來越密。3.討論①能量能譜組成分立譜ⅰ)能級間距兩相鄰能級間距:56ⅱ)基態(tài)能電子伏特基態(tài)氫原子電離的能量：

電離能ⅲ)氫原子譜線系統(tǒng)由高能級低能級時，輻射一個光子，其頻率:巴爾末公式

為里德伯常數(shù)。上式正好與氫原子線光譜的經(jīng)驗公式一致。ⅱ)基態(tài)能電子伏特基態(tài)氫原子電離的能量：電離能ⅲ)氫原子譜57根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，利用氫原子的波函數(shù)，可求出處于狀態(tài)中氫原子的電子在核外各處的概率分布。②氫原子核外電子的概率分布

電子處在點附近的體積元中的概率:電子處于半徑為的球殼內(nèi)的概率:根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，利用氫原子的波函數(shù)，可求出處于58電子處于方向角為的立體角內(nèi)的概率:

在的球殼內(nèi)找到電子的概率:徑向概率密度：ⅰ)徑向分布電子處于方向角為的立體角59例：電子處在基態(tài)（1S態(tài)）：因當(dāng)時，

當(dāng)時，

所以，就是徑向概率分布最大值的位置。

求最可幾半徑極值除了和外，其余各處的都不為零。例：電子處在基態(tài)（1S態(tài)）：因當(dāng)時，當(dāng)60

的函數(shù)關(guān)系

的節(jié)點數(shù)nr=n–

–1的函數(shù)61即本征值取連續(xù)譜課件62即本征值取連續(xù)譜課件63ⅱ)角分布注意：

ｂ.幾率極值位置可由確定。角向概率密度：ａ.幾率與φ角無關(guān)，即幾率函數(shù)為繞z軸旋轉(zhuǎn)對稱。S態(tài)電子（n=1）例：概率分布與

也無關(guān)，是一個球?qū)ΨQ分布。ⅱ)角分布注意：ｂ.幾率極值位置可由64xyzP態(tài)電子（n=2）概率分布圖：S-電子xyzP態(tài)電子（n=2）概率分布圖：S-電子65zyx

yxZzz

P-態(tài)電子zyxyxZzzP-態(tài)電子66概率分布圖：

d態(tài)電子（n=3）：概率分布圖：d態(tài)電子（n=3）：67即本征值取連續(xù)譜課件68

將以上兩方面的討論結(jié)合起來看，按量子力學(xué)計算的結(jié)果，原子中的電子并不是沿著一定軌道運動，而是按一定的概率分布在原子核周圍而被發(fā)現(xiàn)，人們形象地將這個概率分布叫做“概率云”。有時還將電子電荷在原子內(nèi)的概率分布稱為“電子云”。因此只要給出氫原子定態(tài)波函數(shù)的具體形式，就可計算在此狀態(tài)下的概率云密度等。結(jié)論概率云密度電子云密度將以上兩方面的討論結(jié)合起來看，按量子力學(xué)計算的69§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性1.函數(shù)的正交性如果函數(shù)、滿足關(guān)系：（積分遍及變量變化的全部區(qū)域）則稱函數(shù)、相互正交。例：動量算符的本征函數(shù)：滿足：當(dāng)時：即屬動量算符不同本征值的兩個本征函數(shù)§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性1.函數(shù)的正交性如果函數(shù)702.厄密算符本征函數(shù)正交性定理定理：屬于厄米算符的不同本征值的本征函數(shù)相互正交。證明:解得本征值方程

力學(xué)量算符的本征值方程：本征值：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3……組成本征值譜本征函數(shù)：……組成本函數(shù)系厄米算符的本征值為實數(shù)本征函數(shù)的正交性和歸一性可以合寫為：2.厄密算符本征函數(shù)正交性定理定理：屬于厄米算符的不同本71當(dāng)時有由厄米算符的定義：時當(dāng)有正交性歸一性所以函數(shù)系構(gòu)成一正交歸一函數(shù)系。

例１:線性諧振子能量算符的本征函數(shù)：

構(gòu)成正交歸一系當(dāng)時有由厄米算符的定義：時當(dāng)有正交性歸一性所以函數(shù)系72例2：角動量分量算符的本征函數(shù)：構(gòu)成正交歸一函數(shù)系例3：角動量平方算符的本征函數(shù)：

構(gòu)成正交歸一函數(shù)系例2：角動量分量算符的本征函數(shù)：構(gòu)成正交歸一函數(shù)系例373例4：氫原子能量算符的本征函數(shù)：綜合上述三式，可合寫為：正交歸一條件組成正交歸一函數(shù)系

①以上的討論假定了本征值為分立譜。若本征值為連續(xù)譜，本征函數(shù)的正交歸一性應(yīng)寫成：注意：例如動量算符的本征函數(shù)的正交歸一條件為：例4：氫原子能量算符的本征函數(shù)：綜合上述三式，可合寫為：74②前面的討論假定本征值所屬的本征函數(shù)均不相等，若的本征值是度簡并的，則屬于的本征函數(shù)有

個：且

此意謂著:一般情況下這f個函數(shù)不正交，但可由它們重新進(jìn)行線性組合：

仍是屬于本征值的本征函數(shù)：②前面的討論假定本征值所屬的本征函數(shù)均不相等，若的本征值75正交歸一化條件

此共有個確定的關(guān)系式，但的個數(shù)，故可以有許多種方法選擇，使函數(shù)滿足上述正交歸一化條件式。綜合上述討論可作如下結(jié)論：厄密算符的本征函數(shù)總可取為正交歸一化的，并可構(gòu)成正交歸一完備函數(shù)系。正交歸一化條件此共有76§3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系1.算符與力學(xué)量關(guān)系問題的提出設(shè)為力學(xué)量算符，其本征方程為：本征值：

（本征值譜)本征函數(shù)：（正交歸一完全函數(shù)系）

當(dāng)體系處于的本征態(tài)時，表示的力學(xué)量有確定值，該值就是在態(tài)中的本征值，即

當(dāng)體系不是處于的本征態(tài)，而是處于任一個態(tài)

，這時與它所表示的力學(xué)量之間的關(guān)系如何？§3.１已討論過：問題：§3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系1.算符與力學(xué)量關(guān)系問題的提出設(shè)77２.厄米算符本征函數(shù)的完全性則稱這組函數(shù)φn(x)是完全的。

函數(shù)的完全性有一組函數(shù)φn(x)

(n=1,2,...),如果任意函數(shù)ψ(x)可以按這組函數(shù)展開:

厄米算符本征函數(shù)的完全性設(shè)為厄米算符，其本征方程為：則任意函數(shù)ψ(x)可按φn(x)展開：(1)２.厄米算符本征函數(shù)的完全性則稱這組函數(shù)φn(x)是完全的78３.展開系數(shù)的意義為求cn，將φ*m(x)乘上式并對x積分得：為討論該問題，將（1）代入歸一化條件：即：(2)３.展開系數(shù)的意義為求cn，將φ*m(x)乘上式并對x積79若

就是的本征態(tài),則由（1）知，其余系數(shù)按（3）式知具有幾率的意義，在這種情況下，測量力學(xué)量必定得的結(jié)果。（3）所以：由這個特例和（3）式看到具有幾率的意義，它表示在態(tài)中測量力學(xué)量得到結(jié)果是本征值的幾率，故

常稱為幾率幅，（3）式表明總幾率為1?；炯僭O(shè)

量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符，它們的本征函數(shù)組成完全系。當(dāng)體系處于的本征態(tài)中時，力學(xué)量

有確定值，這個值就是屬于該本征態(tài)的本征值；當(dāng)體系處于波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時，力學(xué)量沒有確定值，而只能取一系列可能值，這些可能值就是算符的本征值譜，其中取１取的幾率為。若就是的本征態(tài),則由（1）知，其余系80

①此假設(shè)的正確性，由該理論與實驗結(jié)果符合而得到驗證。

②據(jù)此假定，在一般狀態(tài)中力學(xué)量一般沒有確定的數(shù)值，而是具有一系列的可能值，這些可能值就是表示這個力學(xué)量的算符的本征值，每個可能值都以確定的幾率被測得。注意：的本征值：本征函數(shù)：４.力學(xué)量平均值①力學(xué)量算符的本征值只有有分立譜時則任一狀態(tài)ψ(x)可按φn(x)展開：①此假設(shè)的正確性，由該理論與實驗結(jié)果符合而得到驗證。81根據(jù)幾率求平均值的法則，力學(xué)量F在ψ(x)態(tài)中的平均值為：可證明：證明：根據(jù)幾率求平均值的法則，力學(xué)量F在ψ(x)態(tài)中的平均值為：82若

不是歸一化的波函數(shù)，則：②若的本征值既有分立譜,也有連續(xù)譜時若不是歸一化的波函數(shù)，則：②若的本征值既有分立譜,也83

求在能量本征態(tài)下，動量和動能的平均值。例１.解：求在能量本征態(tài)84在能量本征態(tài)下測量到的動能平均值等于該態(tài)所對應(yīng)的能量本征值。例２.求氫原子處于基態(tài)時電子動量的幾率分布?；鶓B(tài)波函數(shù)：動量算符的本征函數(shù)：

解：其中在能量本征態(tài)下測量到的動能平均值等于該態(tài)所對應(yīng)的能量本征值。85

與動量值的大小有關(guān)，與的方向無關(guān)，由此得到動量的幾率分布與動量值的大小有關(guān)，與的方向無關(guān)86§3.7算符對易關(guān)系、兩力學(xué)量同時可測的條件、

測不準(zhǔn)關(guān)系1.算符的對易關(guān)系若，則稱與不對易。引入對易子：若，

則與對易。若，

則與不對易。若，則稱與對易。設(shè)和為兩個算符§3.7算符對易關(guān)系、兩力學(xué)量同時可測的條件、

測87①坐標(biāo)算符和動量算符的對易關(guān)系——力學(xué)量算符的基本對易關(guān)系①坐標(biāo)算符和動量算符的對易關(guān)系——力學(xué)量算符的基本對易關(guān)系88證明對易關(guān)系式

例：證明：設(shè)為任一可微函數(shù)特別地，當(dāng)代入上對易式，即證得同理可證：證明對易關(guān)系式例：證明：設(shè)為任一可微函數(shù)特89②對易恒等式③角動量算符的對易關(guān)系②對易恒等式③角動量算符的對易關(guān)系90證明：等于零等于零證明：等于零等于零91①定理證明:2.力學(xué)量同時有確定值的條件設(shè)是和的共同本征函數(shù)完全系，則設(shè)是任一狀態(tài)波函數(shù)，

若算符和具有共同的本征函數(shù)完全系，則和必對易。①定理證明:2.力學(xué)量同時有確定值的條件設(shè)是和92②逆定理證明:設(shè)是的本征函數(shù)完全系，則若算符與對易，則（1）（2）

為簡單起見，只考慮非簡并情況。由（1）、（2）式知，和都是屬于本征值的本征函數(shù)，它們最多相差一個常數(shù)因子，即

可見，也是的本征方程的解。因此，是的本征函數(shù)完全系。若算符與對易，則它們具有共同的本征函數(shù)完全系②逆定理證明:設(shè)是的本征函數(shù)完全系，則若算符93ⅲ)若兩個力學(xué)量算符彼此不對易，則一般說來這兩個算符表示的兩個力學(xué)量不能同時具有確定性，或者說不能同時測定。ⅱ)兩個算符有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個算符彼此對易；在兩個力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，這兩個算符所表示的力學(xué)量同時有確定值?；蛘哒f兩個力學(xué)量算符所表示的力學(xué)量同時有確定值的條件是這兩個力學(xué)量算符相互對易。③說明ⅰ)為簡單起見，以上定理和逆定理的證明是在非簡并情況下證明的；在簡并的情況下，結(jié)論仍成立。（這里就不再證明了）ⅲ)若兩個力學(xué)量算符彼此不對易，則一般說來這兩個算符表示的94④幾個例子例2.角動量算符和對易，即因此它們有共同的本征函數(shù)完備系。同時有確定值。在描述的狀態(tài)中，在描述的狀態(tài)中，

和可同時有確定值:

例1.動量算符彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)完備系④幾個例子例2.角動量算符和對易，即95例5.彼此不對易，故一般不可能同時有確定值。

例4.

坐標(biāo)算符與動量算符不對易，故一般不可同時具有確定值。

例3.氫原子的算符彼此對易：它們有共同的本征函數(shù)完備系

故可同時有確定值:在狀態(tài)中，例5.彼此不對易，故一般不96①定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學(xué)量算符的最?。〝?shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學(xué)量：例2.氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學(xué)量：一維諧振子，只需要一個力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：②力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。③由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。3.力學(xué)量完全集合例3.例1.①定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學(xué)量算符的最小974.不確定關(guān)系(測不準(zhǔn)關(guān)系)

由前面討論表明，兩對易力學(xué)量算符則同時有確定值；不對易兩力學(xué)量算符，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時具有確定值。問題兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度測量值Fn與平均值<F>的偏差的大小。①測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)

設(shè)和的對易關(guān)系為4.不確定關(guān)系(測不準(zhǔn)關(guān)系)由前面討論表明，兩對易力學(xué)量98考慮積分：（再利用力學(xué)量算符的厄米性）考慮積分：（再利用力學(xué)量算符的厄米性）99由代數(shù)中二次定理知，這個不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：

（稱為測不準(zhǔn)關(guān)系）

如果不等于零，則和的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著和

不能同時測定。

由測不準(zhǔn)關(guān)系看出：若兩個力學(xué)量算符和不對易，則一般說來與不能同時為零，即

和

不能同時測定（但注意的特殊態(tài)可能是例外），或者說它們不能有共同本征態(tài)。反之，若兩個厄米算符和對易，則可以找出這樣的態(tài)，使和同時滿足，即可以找出它們的共同本征態(tài)。

由代數(shù)中二次定理知，這個不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)100故有②坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系

或?qū)懗珊営洖?/p>

表明：和不能同時為零，坐標(biāo)的均方差越小，則與它共軛的動量

的均方偏差越大，亦就是說，坐標(biāo)愈測量準(zhǔn)，動量就愈測不準(zhǔn)。故有②坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系或?qū)懗珊営洖楸砻鳎?01③角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系當(dāng)粒子處在的本征態(tài)時:③角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系當(dāng)粒子處在的本征態(tài)時:1023.1一維諧振子處在基態(tài)：

求：

(1)勢能的平均值；

(2)動能的平均值；

(3)動量的幾率分布函數(shù)。解：

(1)

第三章習(xí)題3.1一維諧振子處在基態(tài)：103(2)

(2)104

(3)

動量幾率分布函數(shù)：(3)1053.2氫原子處在基態(tài)：

求：(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；

(3)最可幾半徑；(4)動能的平均值；

(5)動量的幾率分布函數(shù)。解:(1)

3.2氫原子處在基態(tài)：

求：(1)r的平均值；(2)勢能106