光學(xué)變換矩陣

光學(xué)諧振腔理論研究的基本問題是：光頻電磁場(chǎng)在腔內(nèi)的傳輸規(guī)律：從數(shù)學(xué)上講是求解電磁場(chǎng)方程的本征函數(shù)和本征值。曲于開放式光腔側(cè)面不具有確定的邊界,一般情況下，不能在給定邊界條件下對(duì)經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中的波動(dòng)方程嚴(yán)格求解。因此，常采用一些近似方法來處理光腔問題。1?光學(xué)諧振腔采用的分析理論.幾何光學(xué)理論忽略反射鏡邊緣衍射效應(yīng)，將光看成光線，將兒何光線和激光束在光腔內(nèi)的往返傳播行為用一個(gè)變換矩陣來描寫，從而推導(dǎo)出諧振腔的穩(wěn)定性條件。此方法中，不同模式的光波按照傳輸方向來區(qū)分。特點(diǎn)：簡(jiǎn)便、直觀、規(guī)范、易于計(jì)算。缺點(diǎn)：粗略、不能得到腔的衍射損耗、不能對(duì)腔模特性進(jìn)行深入分析。.衍射光學(xué)理論衍射效應(yīng)明顯，從波動(dòng)光學(xué)的菲涅耳-基爾霍夫衍射積分理論出發(fā)，建立一個(gè)描述光學(xué)諧振腔模式特性的本征積分方程。不同模式的光波按照光場(chǎng)縱向和橫向分布、損耗、諧振頻率來區(qū)分。特點(diǎn)：比較精確、原則上可以求得任意光腔的模式。缺點(diǎn)：對(duì)于腔鏡兒何尺寸有限的情況，迄今只對(duì)對(duì)稱共焦腔求出了解析解。本節(jié)課主要討論利用兒何光學(xué)的光線矩陣分析方法，根據(jù)開腔中光的兒何偏折損耗的高低，對(duì)開腔加以科學(xué)的分類。2?光學(xué)變換矩陣的定義光學(xué)變換矩陣是指傍軸光線通過光學(xué)元件后，描述其傳播特性的參數(shù)發(fā)生變化的矩陣表達(dá)方法。rJ傍軸光域通過光學(xué)系統(tǒng)傳播的示意圖傍軸條件：光線與光軸夾角&T0,則有。0101光線傳播特性的參數(shù):任何一條傍軸光線在某一給定橫截面內(nèi)都可以用兩個(gè)坐標(biāo)參數(shù)來表征：一個(gè)是光線離軸線的距離r,稱為位置坐標(biāo)，另一個(gè)是光線與軸線之間的夾角0,稱為方向坐標(biāo)。規(guī)定如下的符號(hào)規(guī)則：（1）光線位置在軸線上方時(shí)距離r取正值，在軸線下方時(shí)取負(fù)值。（2）光線出射方向向上時(shí)0取正值，出射方向向下時(shí)取負(fù)值。（3）將兩個(gè)坐標(biāo)值組成的列向量稱為光線在某一截面處的坐標(biāo)向量。r

eTOC\o"1-5"\h\z?,r>0 r>0—gO- - ---一'0<0 ftr<0'險(xiǎn) *ZO通過光學(xué)元件后，坐標(biāo)向量的變化可用下邊的矩陣形式表示：是個(gè)2X2階矩陣。2是個(gè)2X2階矩陣。2）。傳AH?距離的光學(xué)變換矩內(nèi)圖式中，匚]為光學(xué)元件的出射截面處的光線坐標(biāo)向量；；截面為光學(xué)元件的入射處的光線坐標(biāo)向量；M為該光學(xué)元件的光學(xué)變換矩陣，M=[3?典型光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)變換矩陣D自由空間的光學(xué)變換矩陣設(shè)光線出發(fā)時(shí)坐標(biāo)為（打，傳播L距離后變?yōu)锧,容易得到口2=，i+llanq傍軸光線eq寫成矩陣表達(dá)形式為：二因此，白山空間傳播L距離的綸學(xué)變換矩陣如n8M=M1 M2M1 M2由圖可寫出：=a+—由圖可寫出：=a+—2=q+2a2）球面反射鏡的光學(xué)變換矩陣凹面反射鏡，設(shè)入射光線在鏡面上的坐標(biāo)為（人°），出射光線在鏡面上的坐標(biāo)為仇2）O如圖所示，。為反射鏡面曲率中心，A為光線入（反）射點(diǎn)，°A為曲率半徑R,B為鏡面中心，OB為鏡面軸線，a為入射或反射線與A點(diǎn)處鏡面法線間夾角，B為所對(duì)圓心角。傍軸近似條件下，°為：a斤2=q+2&=q+2(0_q)=20_q=2萬&]o.=-2o.=-2_￡+GoJ斤二曠J斤二曠2j&2=-2十+4把位置坐標(biāo)與方向坐標(biāo)結(jié)合在一起,_2_「示得到球面反射鏡的光學(xué)變換矩陣為：0_1眾所周知，球面鏡的焦距，即焦點(diǎn)到鏡面頂點(diǎn)的距離等于鏡面曲率半徑的一半，/e=2F,球面反射鏡的光學(xué)變換矩陣也可以用焦距F表示為：此式還可以作為透鏡的光學(xué)變換矩陣用，這是因?yàn)橥哥R和面鏡對(duì)光線的變換規(guī)律是一樣的，只不過面鏡是反光鏡、而透鏡是折射光而已。其中，凸透鏡與凹面鏡都是對(duì)光起會(huì)聚作用的，因此，它們的焦距都為正；凹透鏡與凸面鏡都是對(duì)光起發(fā)散作用的，因此，它們的焦距都為負(fù)。3）共軸球面諧振腔為力發(fā),坐標(biāo)為b.到達(dá)如圖所示，a.設(shè)光線從Mi為力發(fā),坐標(biāo)為b.到達(dá)0.10.1C.經(jīng)過M2反射鏡的反射，坐標(biāo)變?yōu)椋?］，變換矩陣為M廠10'~.乂直線傳播L距離，回到Mi反射鏡，坐標(biāo)變?yōu)椋?］,變換±1矩陣為“3=e?最后再經(jīng)過Mi反射鏡反射，坐標(biāo)變?yōu)?R、因此，光線在腔內(nèi)往返一周的總的變換矩陣應(yīng)是：10A!R、10-11L此變換矩陣稱為往返矩陣，它的4個(gè)§,元素經(jīng)計(jì)算后分別為：L12lR2B=2s一料I K.Cd_2(±+±)R\R°R］R*&心&如果光線在球面諧振腔內(nèi)往返n次，則它的光學(xué)變換矩陣就應(yīng)該是往返矩陣M的n次方，按照矩陣?yán)碚摚菏街校?p=arccos-(A+D)M”稱為n次往返矩陣。若用^表示初始出發(fā)時(shí)的光線坐標(biāo)，即表示經(jīng)過n次往返后的光線坐標(biāo)，則有 *&2=C/+D角.例：入射光線坐標(biāo)”