因式分解知識要點(diǎn)

PAGE2-因式分解知識要點(diǎn)因式分解在代數(shù)式的恒等變形、根式運(yùn)算、分式通分與約分、一元二次方程以及三角函數(shù)的變形求解等方面均有著十分重要的應(yīng)用，下面對因式分解中的有關(guān)知識要點(diǎn)進(jìn)行歸納說明，供大家學(xué)習(xí)和參考。1、因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解（也可叫做把這個多項式分解因式）。本定義可從以下幾方面進(jìn)行理解：⑴、因式分解是一種恒等變形，如,無論字母a和b取何值，代數(shù)式與的值總是相等的；⑵、因式分解的結(jié)果必須是整式的積的形式，分解后的因式可以是單項式，也可以是多項式，但必須都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，故因式分解是否正確，通?？梢杂谜匠朔ㄟM(jìn)行檢驗，看乘得的結(jié)果是否等于原多項式；⑷、多項式的因式分解，必須進(jìn)行到每個因式都不能再分解為止，但要注意是在何種數(shù)集內(nèi)進(jìn)行因式分解（如無特殊說明，教材一般只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解）。2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一個多項式的各項都含有公因式，則可利用分配律將此多項式的公因式提出來，從而將原多項式分解成兩個因式的積的形式，像這種因式分解的方法，叫做提公因式法。如:。⑵、運(yùn)用公式法：利用等式的性質(zhì)將乘法公式逆用從而實現(xiàn)多項式的因式分解，像這種因式分解的方法就稱為公式法。公式法主要有以下兩種：①平方差公式：；②完全平方公式：。⑶、分組分解法（教材中未給出但作業(yè)中有所涉及）:將一個多項式中所含的各項分成若干組，然后再利用提公因式法或公式法等方法對多項式進(jìn)行因式分解，像這種因式分解的方法就稱為分組分解法。運(yùn)用分組分解法的目的和作用主要有兩個——①分組后能直接提公因式；②分組后能直接運(yùn)用公式（平方差公式或完全平方公式）。3、因式分解的步驟因式分解的一般步驟是：先看各項有沒有公因式，若有公因式，則先提取公因式；若無公因式，則看能否運(yùn)用公式法進(jìn)行分解；最后，若以上方法均不能分解，則可嘗試采用分組分解法。因式分解也可按以下步驟進(jìn)行考慮：先提公因式，若公因式提取后的多項式是二項式，則考慮用平方差公式；若是三項式，則考慮用完全平方公式或分組分解法；若是四項或四項以上的多項式，則應(yīng)考慮用分組分解法。因式分解的步驟還可用口決概括為：“先看有無公因式，再看能否套公式，分組分解試一試，最后結(jié)果要合適”。4、有關(guān)因式分解的幾項規(guī)定⑴、因式分解的結(jié)果中若既有單項式又有多項式，則單項式須放在多項式的前面。如；⑵、提公因式時,必須一次性提盡相同字母的最低次數(shù)。如對提公因式時，不能寫成；⑶、分解因式后的乘積中若有相同的因式，則應(yīng)寫成冪的形式。如對分解因式時應(yīng)寫作，而不寫作；⑷、多項式的最高次項系數(shù)是負(fù)數(shù)時，分解因式前應(yīng)先提出“－”號。如；以上規(guī)定需要同學(xué)們在解題過程中認(rèn)真進(jìn)行反思、領(lǐng)悟和體會，切忌死記硬背?！兑蚴椒纸狻分R要點(diǎn)精析一、因式分解的概念：1、因式分解：把一個多項式化成幾個整式積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解.2、因式分解的注意事項：（1）因式分解的結(jié)果必須是幾個整式積的形式，如：①x＋2＝x（），②x2－4＋5x＝（x＋2）（x－2）＋5x，這些都不是因式分解，因為①不是整式，②不是積的形式.（3）分解結(jié)果應(yīng)在指定范圍內(nèi)不能再分解為止；若無指定范圍，一般在有理數(shù)范圍內(nèi)分解如：a4－16＝（a2＋4）（a2－4），到此還沒有分解徹底，正確解：原式＝（a2＋4）（a2－4）＝（a2＋4）（a＋2）（a－2）；（4）結(jié)果中相同的因式要寫成冪的形式；（5）單項式不存在因式分解.二、因式分解的方法：（一）提取公因式法：1、提取公因式：如果一個多項式的各項含有公因式，那么可把該公因式提取出來進(jìn)行分解的方法叫做提取公因式法.如：多項式ma＋mb各項都含有的公因式m，可將m提到括號外面，寫成m（a＋b）的形式.2、公因式的確定：用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵是確定公因式，確定公因式可按照下面的步驟：（1）公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)絕對值的最大公約數(shù)（當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時）

（2）字母取各項的相同字母，（3）各字母的指數(shù)取最低次冪3、提取公因式的注意事項（1）提公因式后的項數(shù)應(yīng)與原多項式的項數(shù)一樣，（2）當(dāng)多項式的某一項恰好是公因式時，這一項應(yīng)看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應(yīng)是1.1作為項的系數(shù)通?？墒÷?，但如果單獨(dú)成一項時，它在因式分解時不能漏項.這類題常有學(xué)生犯下面的錯誤，如：4x2－8ax＋2x=2x（2x－4a（3）第一項的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，應(yīng)先提負(fù)號轉(zhuǎn)化，然后再提公因式（4）添括號法則：括號前面是“＋”號，括到括號里的各項都不變號；括號前面是“－”號，括到括號里的各項都要變號（5）公因式要提盡，如：＝3ab＋6abx＝9aby＝ab(3＋6x＋9y)(×)原式應(yīng)分解為：－3ab(1－2x＋3y)（6）公因式可以是一個數(shù)、一個單項式、一個多項式.如：2（a－b）－a＋b，利用添括號法則把－a＋b可變形成－（a＋b），若把（a－b）看作m，原多項式就可以提取公因式a－b.（二）運(yùn)用公式法：1、概念平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）；完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2.（a、b可以表示數(shù)、單項式、多項式）在選用完全平方公式的關(guān)鍵是看多項式中的乘積為2倍的符號.2、運(yùn)用公式法的注意事項：（1）若多項式為兩項，這兩項都能寫成完全平方數(shù)（或式）的形式，且符號相反，即可用平方差公式；（2）若多項式為三項，其中有兩項能寫成完全平方數(shù)（或式）的形式，符號相同，且第三項恰是這兩個數(shù)（或式）的2倍或2倍的相反數(shù)，即可用完全平方公式；（3）因式分解時，無論有幾項，首先考慮提取公因式.再考慮是否符合公式.第一章《分解因式》導(dǎo)學(xué)一、知識梳理二、備考兵法1、提公因式法的關(guān)鍵是正確的找到公因式。公因式一般是由各項系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母（或因式）的最低次冪的積所組成。公因式提取后，各項的余下部分要用括號括起來，而括號內(nèi)仍是一個與羽原多項式項數(shù)相同的多項式。當(dāng)提取的公因式帶有“－”號時，括號內(nèi)都要改變符號。2、分解因式與整式乘法是互逆的關(guān)系。多項式分解因式是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，而整式的乘法是把幾個整式的積化成一個多項式。它們都是恒等變形，是互逆的兩個過程。分解因式與整式乘法有著十分密切關(guān)系，理解并抓住它們的聯(lián)系不僅是學(xué)好分解因式的關(guān)鍵，也可以深化對整式乘法的理解。3、在熟練掌握公式法之后，有時對多項式進(jìn)行必要的變形是必不可少的。在運(yùn)用基本方法的過程中，有時需要對進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M、添項、拆項等變形過程。其分解的一般步驟是：（1）首先看能否提公因式；（2）如果多項式符合公式的特征，可直接運(yùn)用公式；（3）上述兩種方法都不能進(jìn)行，可考慮適當(dāng)分組，但要注意“分組”的目的是能夠達(dá)到提取公因式或運(yùn)用公式。例如(a+2)(a－2)=a2－4是整式乘法；a2－4=(a－2)(a+2)是分解因式。3、體現(xiàn)逆向思維的思想方法。鑒于分解因式和整式乘法是互逆變形，因此可將分解因式的結(jié)果還原成一個多項式的方法進(jìn)行檢驗，同時這也是一種逆向思維的思想方法。這種思想方法的滲透和應(yīng)用十分廣泛。4、分解因式的結(jié)果的檢驗.由于分解因式與整式乘法是互逆的變形過程，因此可以將分解的結(jié)果的兩個因式乘開，看是否與左邊的多項式是否一致。還可以對字母取相同的數(shù)值，分別代入左右兩邊，看兩邊的值是否相等，即可知道分解是否正確。三、要點(diǎn)識記1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做把這個多項式＿＿＿＿.2、提取公因式法：3、運(yùn)用公式法平方差公式a2－b2=＿＿＿＿＿＿；完全平方公式a2±2ab+b2=＿＿＿＿.4.分解因式的一般步驟：一提二套三分組，二次三項想十字相乘．例1下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為()（A） （B）（C）（D）解析：選（C）。點(diǎn)評解答此類題目要充分理解分解因式的定義和具體要求。顯然（A）屬于整式乘法，（B）只是分解了局部，沒有完全化成整式的積的形式，而（D）雖然等式右邊是一個多項式，左邊是整式的積的形式，但由平方差公式可知是分解的結(jié)果，所以式子在變形過程中丟掉了“”，不屬于恒等變形，因而也不屬于分解因式。例2把8a3b2－12ab3c分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．先引導(dǎo)學(xué)生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2．解8a3b2－12ab3c=4ab2·2a2－4ab=4ab2(2a2－3bc點(diǎn)評(1)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)確定公因式的兩個條件以免漏?。?2)開始找公因式法時，最好把公因式單獨(dú)寫出．①以顯提醒；③強(qiáng)調(diào)提公因式；③強(qiáng)調(diào)分解因式．例3請寫出一個三項式（用字母a，b表示），使它能先提取公因式，再運(yùn)用公式來分解.

你編寫的三項式是，分解因式的結(jié)果是.

解析依據(jù)題設(shè)條件，能用公式法分解且含有字母a，b的最簡單的三項式，就是關(guān)于a，b的完全平方公式a2±2ab+b2，再考慮到要先用提公因式法提公因式，故可寫出如下的一些式子：

2a2±4ab+2b2=2（a2±2ab+b2）＝2（a±b）2；

a3±2a2b+ab2=a（a2±2ab+b2）＝a（a±b）2；

a2b±2ab2+b3=b（a2±2ab+b2）＝b（a±b）2；…

例4分解因式：x2+2xy+y2－2x－2y+1.

分析此題共六項，較難分解.但考慮到前三項正好可以逆用完全平方和公式得到（x+y）2.－2x－2y可以提取－2得到－2（x+y）.再把x+y作為整體正好是完全平方式.

解x2+2xy+y2－2x－2y+1

=（x+y）2－2（x+y）+1

=（x+y－1）2.

點(diǎn)評運(yùn)用公式法分解因式是指運(yùn)用平方差公式和完全平方公式來分解因式的方法.它是分解因式最基本的方法之一.

本題中，我們都用到了將某項看作一個整體的方法，這種方法也就是我們通常所說的換元法例5分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1.

【思考與分析一】這個代數(shù)式中，x2+4x出現(xiàn)了兩次，且除此之外其余均為常數(shù)．如果令a=x2+4x，那么原式就轉(zhuǎn)化為a的二次式．

解法一：令a=x2+4x，則

（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝（a+3）（a+5）+1＝a2+8a+15+1＝a2+8a+16＝（a+4）2＝（x2+4x+4）２＝|（x+２）２|２＝（x+２）4.

【思考與分析二】在本題中如果我們令a=x2+4x+3，那么原式就轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的更簡單的二次三項式.

解法二：令a=x2+4x+3，則

（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝a（a＋2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝|（x+2）2|2＝（x+2）4.

【思考與分析三】在本題中我們還可以令a=x2+4x+4，那么前項就變成一個平方差公式的形式，我們就可以將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的更簡單的單項式形式.

解法三：令a=x2+4x+4，則

（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝（a－1）（a+1）+1＝a2－1+1＝a2＝（x2+4x+4）2＝|（x+2）2|2＝（x+2）4.

點(diǎn)評本題如果我們不按換元的思路來解，幾乎無法解決.在形式上，如果不把x2+4x例6要使二次三項式x2－5x+p在整數(shù)范圍內(nèi)能進(jìn)行分解因式，那么p的取值可以有（）.

A.2個B.4個C.6個D.無數(shù)多個

解析根據(jù)公式x2＋（m+n）x＋mn＝（x+m）（x+n），設(shè)p＝m·n，可知只要m+n＝－5（m，n為整數(shù)），二次三項式x2－5x+p在整數(shù)范圍內(nèi)都能進(jìn)行分解因式，選D.

點(diǎn)評這道題是開放型探索題，它主要考察我們靈活地進(jìn)行分解因式的能力和發(fā)散思維能力以及綜合運(yùn)用知識的能力.例7已知23＝0,求代數(shù)式2－)＋2(5―)―9的值.解析當(dāng)23＝0時,原式＝3－2＋52―3―9＝42－9＝(2＋3)(2－3)＝0.點(diǎn)評上述求值方法是利用分解因式，整體代入法,它比先求出字母的值,再代入求值方便.例8在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“分解因式”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式，分解因式的結(jié)果是，若取x=9，y=9時，則各個因式的值是：=0，=18，=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取=10，=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：(寫出一個即可)．解析因為或等于或等于，取，時，，，所以產(chǎn)生的密碼為101030，或103010，或301010。答案101030，或103010，或301010。點(diǎn)評：這是一道在分解因式的基礎(chǔ)上設(shè)計的與密碼有關(guān)的創(chuàng)新題，解決這個問題，必須理解密碼的轉(zhuǎn)換方法。要得到密碼，只需將分解因式即可。例9計算：2－22－23－……－218－219+220,解析我們注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=21