彈性力學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

實(shí)用文檔實(shí)用文檔.彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、一形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力,它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的,是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量,也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是L-1MT%5、彈性力學(xué)的根本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問(wèn)題分為平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。7、一點(diǎn)處的應(yīng)力分量b=100MPa，b=50MPa，t=10^/50MPa，那么主應(yīng)力G=150MPa，TOC\o"1-5"\h\zxyxy1b=0MPa，a=3516'。2_18、一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，b=200MPa，b=0MPa，t=—400MPa，那么主應(yīng)力b=512MPa，xyxy1b=-312MPa，a=-37°57'。219、一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，b=—2000MPa，b=1000MPa，t=—400MPa，那么主應(yīng)力b=1052MPa，xyxy1b=-2052MPa，a=-82°32'。2110、在彈性力學(xué)里分析問(wèn)題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩局部。15、每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩局部：一局部是由本單元的形變引起的，另一局部是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩局部：一局部是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一局部是與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得岀正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們?cè)诠步Y(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí),也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)N在i結(jié)點(diǎn)N=1；在其他結(jié)點(diǎn)N=0及EN=1oiiii20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是

采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。二、判斷題〔請(qǐng)?jiān)谡_命題后的括號(hào)內(nèi)打“丁〃，在錯(cuò)誤命題后的括號(hào)內(nèi)打“X〃〕1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙?！睼〕5、如果某一問(wèn)題中，◎=0，只存在平面應(yīng)力分量b,G,T，且它們不沿Z方向變zzxzyxyxy化，僅為x,y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。〔V〕6、如果某一問(wèn)題中，S===0，只存在平面應(yīng)變分量￡，￡，丫，且它們不沿z方向變化,zzxzyxyxy僅為x,y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)變問(wèn)題。〔V〕9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。〔V〕10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定?！睼〕14、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力?！睼〕15、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變?！睼〕三、分析計(jì)算題1、試寫出無(wú)體力情況下平面問(wèn)題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮以下平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在?！?〕b=Ax+By,b=Cx+Dy,t=Ex+Fy；TOC\o"1-5"\h\zxyxy〔2〕b=A(x2+y2)，b=B(x2+y2)，t=Cxy；xyxy其中，A,B,C,D,E,F為常數(shù)。dbQt+——=0dxdy解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足以下條件：〔1〕在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程LQQbQt—+=0QyQx2〕在區(qū)域內(nèi)的相容方程上+竺￡2〕在區(qū)域內(nèi)的相容方程上+竺￡+bjQx2Qy2丿xy3〕在邊界上的應(yīng)力邊界條件+lt+ltyxy+mtyx4〕對(duì)于多連體的位移單值條件。)=fC)4〕對(duì)于多連體的位移單值條件。sx)=f(s)；sy〔1〕此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F,D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件?！?〕為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、應(yīng)力分量b=-Qxy2+Cx3,a=—?Cxy2,t=-Cy3-Cx2y,體力不計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)鹸1y22xy23用平衡微分方程求系數(shù)C1,C2,C3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程dGdTx-茫=0dxdydGdT+嚴(yán)=0dydx—Qy2+3Cx2—3Cy2—Cx2=0123—3Cxy—2Cxy=0233)3)3CC2—C+1C1C

GG；2—)xy=O由x，y的任意性，得'3C—C=013<Q+3C=023C+2C=023由此解得，C=,C=—￥,C=3、應(yīng)力分量G=—q,xTOC\o"1-5"\h\z13、應(yīng)力分量G=—q,xG=—q,T=0，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。yxy解：將應(yīng)力分量G=—q，G=-q，T=0,代入平衡微分方程xyxyx+yx+X=0dxdyQg3t斗+叫+Y=0dydx可知，應(yīng)力分量G=—q，xG=—q，T可知，應(yīng)力分量G=—q，x按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程：d2d2d2T(G—VG)+(G—VG)=2(1+V)xydy2xydx2yxdxdy將應(yīng)力分量G=—q，G=—q，T=0代入上式，可知滿足相容方程。xyxy按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程：d2Vd2V2d2T(G—G)+(G—G)=xydy2x1—Vydx2y1—Vx1—Vdxdy

將應(yīng)力分量b=-q,b=-q,t=0代入上式，可知滿足相容方程。xyxy4、試寫出平面問(wèn)題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮以下平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在。⑴￡=Axy,s=By3,y=C-Dy2；xyxy〔2〕￡=Ay2，￡=Bx2y，y=Cxy；xyxy〔3〕￡=0，￡=0，y=Cxy；xyxy其中，A,B,C,D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即d2sd2￡d2yx+A=亠dy2dx2dxdy將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程,可知：〔1〕相容?！?〕2A+2By=C〔1分〕；這組應(yīng)力分量假設(shè)存在，那么須滿足：B=0,2A=C。⑶0=C；這組應(yīng)力分量假設(shè)存在，那么須滿足：C=0,那么￡=0,￡=0,y=0〔1分〕。xyxy5、證明應(yīng)力函數(shù)9=by2能滿足相容方程，并考察在如下圖的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題〔體力不計(jì)，b工0〕。nih/2xh/2.l/2l/2I解：將應(yīng)力函數(shù)P=by2代入相容方程dx4dx2dy2dy4可知，所給應(yīng)力函數(shù)P=by2能滿足相容方程。由于不計(jì)體力,對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為=2b,bd=2b,bdx2=0,txydxdy=0對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，hy=-2，l=0，m=-1，f=-(t).=上邊，hy=-2，l=0，m=-1，f=-(t).=0，f=-(◎)xyhy=-2yh=0；y=-2下邊，hy=—，l=0，m=1，f=(t).=0，f=(◎).=0；xxhy=2左邊，lx=-2，l=-1，m=0，f=-(b)xx=-=-2b，12f=-(T)xyl=0；丄x=-21x=t，l=1，m=0，f=(b)xxf=(T=2b，12可見(jiàn)，上下兩邊沒(méi)有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)右邊，xyx==0。129=by2能解決矩形板在x方向受均布拉力〔b〉0〕和均布?jí)毫Α瞓〈0〕的問(wèn)題。6、證明應(yīng)力函數(shù)Q=axy能滿足相容方程，并考察在如下圖的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題〔體力不計(jì)，a工0〕。解：將應(yīng)力函數(shù)Q=axy代入相容方程+竺=+竺=0+2dx4dx2dy2dy4可知，所給應(yīng)力函數(shù)Q=axy能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為a宜=0，c旦=0，t=4=-axdy2ydx2xydxdy對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，hy=-2，l=0，m=-1，f=-(t).=a，f=-(a)xyhy=-2yh=0；y=-2下邊，hy=—，l=0，m=1，f=(t)xx=-a，hy=2f=Q)h=0；h'2左邊，x=-2，17m=0，f=-(b)xxx=-=0，丄2f=-(T)=a；xylx=-2右邊，lx=—2lT,m=0,f=(g)=0,f=(t)二一a右邊，lx=—2xxlyxy厶x=x=22可見(jiàn)，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)?=axy能解決矩形板受均布剪力的問(wèn)題。7、如下圖的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為P，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。x解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)b=0。x由此可知xdy2將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程那么可得d4fi(x)jd4f2(x)dx4dx4=0這是y的線性方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的解〔全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它〕可見(jiàn)它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即=0dx4d4f\x)dx4=0這兩個(gè)方程要求f(x)=Ax3jBx2jCxjI，f(x)=Dx3jEx2jJxjK12代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無(wú)影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得申=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為xdy2d20b==y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgyydx2t=-d20=-3Ax2-2Bx-Cxydxdy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x=0，l=-1，m=0，沿y方向無(wú)面力，所以有-(t)=C=0xyx=0右邊，x=b，1=1，m=0，沿y方向的面力為q,所以有(t)=-3Ab2-2Bb=qxyx=b上邊，y=0，1=0，m=-1，沒(méi)有水平面力，這就要求r在這局部邊界上合成的主矢量和主矩xy均為零，即fb(T)dx=00xyy=0將t的表達(dá)式代入，并考慮到C=0,那么有xyJb(fb(T)dx=00xyy=0將t的表達(dá)式代入，并考慮到C=0,那么有xyJb(-3Ax2-2Bx)dx=-Ax3-Bx2|b=-Ab3-Bb2=0而fb(r)?0dx=0自然滿足。又由于在這局部邊界上沒(méi)有垂直面力，這就要求r在這局部邊界上0xyy=0y合成的主矢量和主矩均為零，即JbQ)dx=0,0yy=0b(G)xdx=00yy=0將G的表達(dá)式代入，那么有y[b(6Dx+2E)dx=3Dx2+2毗=3Db2+2Eb=0Jb(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex20b=2Db3+Eb2=00由此可得A=-b，B=q，C=0，D=0，E=0應(yīng)力分量為G=0,G=2qf1-耳_Pgy,xybIxtxy=qXf3X-2]bIb丿雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處〔y=o〕的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=o處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為f=-〒，x0xdVd20d20f=-，其中V是勢(shì)函數(shù)，那么應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，G=+V,G=+V，ycyxoy2yex2T=-哭，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。xyexey證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量7，GxyT應(yīng)當(dāng)滿足平xy衡微分方程0gOTyx,OV=0Oxl-OyOxOGOT+iy-OV=01分〕OyOxOy還應(yīng)滿足相容方程X+bLg+』乞+乞ISxSy丿〔對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題〕xy++Qxy)_1(Sff厶一+l-y(SxSy丿

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題〕并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件〔1分〕。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為TOC\o"1-5"\h\z—(b—v_oSxxSy<s()St一G—V+—x^_0SyySx這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為￡(b-v)SxxSyyx使得根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A〔x，y〕，使得b—b—V=SAxSySA—T_-yxSx同樣，將第二個(gè)方程改寫為2C—vleC)〔i分〕yx可見(jiàn)也一定存在某一函數(shù)B〔x,y〕，使得_SByxSy由此得代入以上各式，得應(yīng)力分量SASBA旦，B旦SySxbQ+V，b旦+V,xSy2ySx2Txy_S2*dxdy為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)*6,y)必須滿足一定的方程,將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程，得竺+V+竺dy2dx2+V1=(1+簡(jiǎn)寫為￡x2dy2人(d20d20_2_+_2_

dy2dx2丿=—2'd2+d2'.dx2dy2丿V4Q=—(l—卩)V2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程，得'd2d2Y+(dx2d2人旦+V+凹+Vdy2dx2簡(jiǎn)寫為(d20d20_+_Ldy2dx2丿=—2'd2+jdx2、1'd2Jd2'L丿1-y\(dx2Idy2丿d2\1(d2V++內(nèi)2丿1—|L1(dx2VV4^=—1—2”V2V1一卩9、如下圖三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為P，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為申=ax3+bx2y+cxy2+dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為txy=—dxdy=—2bxtxy=—dxdy=—2bx—2cyg=—xf=2cx+6dy,c=—yf=6ax+2by—pgy,xdy2xydx2y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來(lái)考察，如果適中選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y=0，l=0，m=—1，沒(méi)有水平面力，所以有—(t)=2bx=0xyy=0對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見(jiàn)b=0同時(shí)，該邊界上沒(méi)有豎直面力，所以有

對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見(jiàn)因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為—(b)=6ax=0yy=0a=0b=2cx對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見(jiàn)因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為—(b)=6ax=0yy=0a=0b=2cx+6dy，xb=-pgy，e=-2cyyxyk2=-sina，m=cos(—a)=cosa=-sina，m=cos(—a)=cosa，沒(méi)有面力，所以有xyx\=xtanamb+le=0

yxyy=xtana由第一個(gè)方程，得-(2cx+6dxtana\ina-2cxtanacosa=-4cxsina-6dxtanasina=0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求-4c-6dtana=0由第二個(gè)方程，得2cxtanasina-pgxtanacosa=2cxtanasina-pgxsina=0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求2ctana-pg=0〔］分〕由此解得c=1pgcota〔1分〕，d=—1pgcot2a23從而應(yīng)力分量為b=pgxcota-2pgycot2a,b=-pgy,e=-pgycotaxyxyh設(shè)三角形懸臂梁的長(zhǎng)為l,高為h,那么tana=了。根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束反力沿x方向的分量為0,沿y方向的分量為-2p曲。因此，所求bx在這局部邊界上合成的主矢應(yīng)為零,exy應(yīng)當(dāng)合成為反力-2Pglh。Jh(b)dy=/cota-2pgycot2ady=pglhcota-pgh2cot2a=00xx=l0Jh()dy=Jh(-pgycota')dy=—pgh2cota=^-pglh

0xyx=l022可見(jiàn)，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。x10、設(shè)有楔形體如下圖，左面鉛直，右面與鉛直面成屈，下端作為無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力,楔形體的密度為p，液體的密度為p2,試求應(yīng)力分量。

解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來(lái)假設(shè)應(yīng)力分量的x函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如下圖。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩局部組成：一局部由重力引起，應(yīng)當(dāng)與pg成1正比〔g是重力加速度〕另一局部由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與Pg成正比。此外，每一局部還與a，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力2的量綱是L-iMT-2，pg和pg的量綱是L-2MT-2，a是量綱一的12量，而X和y的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是AP1gx，BP1gy，Cp2gx，Dp2gy四項(xiàng)的組合，而其中的A,B，C，D是量綱一的量，只與a有關(guān)。這就是說(shuō)，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè)申=ax3+bx2y+cxy2+dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為d2Qd2?d20g二-xf=2cx+6dy,c=-yf=6ax+2by-pgy,T=-=-2bx-2cyxdy2xydx2y1xydxdy這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現(xiàn)在來(lái)考察，如果適中選擇各個(gè)系數(shù)，是否