2022-2023學(xué)年上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2022-2023學(xué)年上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

1.從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法.

2.已知向量沆=（8,3,a）,n=（-4,6,3）,則沅〃五，則a+b=.

3.同時投擲兩顆均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)相等的概率為.

4.若3。鏟=p2+i>則％=.

5.正整數(shù)2022有個不同的正約數(shù).

6.投擲一顆均勻的骰子，設(shè)事件4點(diǎn)數(shù)大于等于3；事件8：點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).則PQ4U

B）=.

7.已知甲同學(xué)在玩“電子抽卡游戲”，假設(shè)每次抽取1張卡，且每次獲得“稀有卡”的概率

均為0.6%,那么該同學(xué)在50次抽取后，一次也沒獲得“稀有卡”的概率為.（結(jié)果精確

到1%）

8.從正方體的8個頂點(diǎn)中任選2個，則這2個點(diǎn)恰好是同一條棱的兩個端點(diǎn)的概率為.

9.甲乙丙丁戊5名同學(xué)排成一列，若甲不站在排頭，乙和丙相鄰，則不同的排列方法有

種.

10.已知正三棱錐Z-BCD滿足荏?就=0,|荏|=a,則前?瓦？=.

11.將3個相同的紅球和3個相同的藍(lán)球排成一行，從左至右依次對應(yīng)序號1,2,…，6,若

同色球之間不加以區(qū)分，則3個紅球?qū)?yīng)序號之和小于3個藍(lán)球?qū)?yīng)序號之和的排列方法有

種.

12.假設(shè)你正在參加一個電視節(jié)目，舞臺上有三扇口，其中一扇門的后面是汽車，另外兩扇門

的后面是山羊，如果你選中了后面有汽車的那扇門，就可以得到這輛汽車.于是你隨機(jī)選擇

了一扇門，走到門前，但還未打開.這時，主持人打開了另外兩扇門中的一扇，讓你看到了

那扇門的后面是一只山羊（主持人當(dāng)然知道每扇門后面都是什么）.現(xiàn)在，主持人給你一次重新

選擇的機(jī)會.假設(shè)你選擇換另一扇還未打開的門，那么得到汽車的概率是.

13.在長方體4BCD1GLe1中，E為C/i中點(diǎn)，AE=a,AB=b>AD=c，則標(biāo)=（）

A.a-^b-cB.a-b-^cC.a+^b-cD.a+b-^c

14.盒中裝有大小相同的5個小球，其中黑球3個，白球2個，假設(shè)每次隨機(jī)在5個球中取一

個，取球后放回?fù)u勻，則下列說法正確的是（）

A.“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥

B.“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”獨(dú)立

C.“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”對立

D.若連續(xù)三次都取到黑球，則第四次取到白球的概率會大于|

15.在正方體4BCD中，。為人公上一動點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是()

A.存在點(diǎn)。使得BQ與平面4CD垂直B.存在點(diǎn)Q使得DQ與平面/CD垂直

C.存在點(diǎn)。使得BiQ與平面/CD垂直D.存在點(diǎn)。使得DiQ與平面々CD垂直

16.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、

丙比賽獲勝的概率分別為Pl，P2,P3,且P3>P2>P1>0?記該棋手連勝兩盤的概率為P，則

()

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，0最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

17.已知一條鐵路有8個車站，假設(shè)列車往返運(yùn)行且每個車站均?？可舷驴?，記從A車站上車

到B車站下車為1種車票(4*B).

(1)該鐵路的客運(yùn)車票有多少種？

(2)為滿足客運(yùn)需要，在該鐵路上新增了"個車站，客運(yùn)車票增加了54種，求〃的值.

18.己知空間直角坐標(biāo)系中，力(1,1,1),8(—1,3,2),C(0,2,l).

(1)若而=2而，求P的坐標(biāo)；

(2)求三角形ABC的面積.

19.如圖，四面體ABC。中，AD1CD,AD=CD,乙ADB=LBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：4cl平面BOE；

(2)設(shè)DE_LBE,DE=1,乙4cB=60°,點(diǎn)尸在BO上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求C尸與平

面48。所成的角的大小.

20.已知共15張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3輪發(fā)出，每輪隨機(jī)發(fā)出

5張卡.

(1)求事件“第1輪無紅色卡牌”的概率Pi；

(2)求事件“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率P2；

(3)求事件“每輪均有紅色卡牌”的概率P3.

21.如圖，以長方體ABCD-力/iGDi的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是劣劣的中

點(diǎn).過。的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，已知西=(4,3,2).

(1)分別寫出點(diǎn)8、點(diǎn)兒和西的坐標(biāo)；

(2)求名到平面CMN的距離；

(3)若點(diǎn)P是棱8c上一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸使得△MNP為一個等腰三角形？如果存在，求

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】21

【解析】解：從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有第=21種不同的取法，

故答案為：21.

由排列、組合及簡單的計數(shù)問題求解即可.

本題考查了排列、組合及簡單的計數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】一學(xué)

【解析】解：由記〃1可設(shè)沅=即(8,3,a)=/c(-4,/3).

(8=-4k(k=-2

所以3=kb，解得卜=一$

a=3k(b=-2

1c

所以a+b=——.

故答案為：—:

由向量共線定理可得到參數(shù)〃、〃的值.

本題考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】1

【解析】解：同時投擲兩顆均勻的骰子，基本事件總數(shù)n=6x6=36種，

所得點(diǎn)數(shù)相等的基本事件有(1,1)，(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6種，

所以所得點(diǎn)數(shù)相等的概率為盤=

366

故答案為：*

同時投擲兩顆均勻的骰子，基本事件總數(shù)n=36種，所得點(diǎn)數(shù)相等的基本事件有6種，再利用古

典概型的概率公式求解即可.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】5

【解析】解：3C，-2=3戲=3x(；”,P?+i=(x+l)x,

由3廢-2=P2+1,得蚪尹2=(X+l)X,

x>0,?<?x=5>

故答案為：5.

根據(jù)排列數(shù)，組合數(shù)公式，進(jìn)行化簡即可求解.

本題考查了排列數(shù)，組合數(shù)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】8

【解析】解：因?yàn)?022=2x3x337,

則2022有(1+1)x(1+1)X(1+1)=8個不同的正約數(shù)，

故答案為：8.

因?yàn)?022=2x3X337,則2022有(1+1)x(1+1)X(1+1)=8個不同的正約數(shù)，得解.

本題考查了排列、組合及簡單的計數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】1

O

【解析】解：由題意可知，投擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種結(jié)果，事件A包含的結(jié)果有3,

4,5,6,事件8包含的結(jié)果有1,3,5,

所以P(AUB)=|.

故答案為：亮.

根據(jù)古典概型的概率乘法公式求解即可.

本題主要考查了古典概型的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】0.74

【解析】解：每次抽取1張卡，且每次獲得“稀有卡”的概率均為(1-0.6%)5。，那么該同學(xué)在

50次抽取后，

一次也沒獲得“稀有卡”的概率為C招x(0.6%)0(1-O.6%)50=(1-O.OO6)50

2502

=砥-匾x0.006+Cl0X0.006+…+C招XO.OO6?瑞-小x0.006+咯x0.006=

1-0.3+0.044a0.74,

故答案為：0.74.

由題意，利用”次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中簽好發(fā)生k次的概率計算公式，結(jié)合二項(xiàng)式定理，得出結(jié)論.

本題主要考查〃次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中簽好發(fā)生％次的概率，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】|

【解析】解：因?yàn)閺恼襟w的8個頂點(diǎn)中任選2個，有髭=28種不同的選法，

其中這2個點(diǎn)恰好是同一條棱的兩個端點(diǎn)的情況有12種，

所以則這2個點(diǎn)恰好是同一條棱的兩個端點(diǎn)的概率為P=言=*

Zo/

故答案為：

先利用組合的方法求出任取2個點(diǎn)的所有的取法，這2個點(diǎn)恰好是同一條棱的兩個端點(diǎn)的有12種,

利用古典概型的概率計算公式即可求解.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】36

【解析】解：先將乙和丙捆綁在一起，記為新的元素己，

則甲乙丙丁戊5名同學(xué)排成一列，且甲不站在排頭，乙和丙相鄰等價于甲、丁、戊、己4名同學(xué)

排成一列，且甲不站在排頭，

則不同的排列方法有的盤&=36種，

故答案為：36.

先將乙和丙捆綁在一起，記為新的元素己，則甲乙丙丁戊5名同學(xué)排成一列，且甲不站在排頭，

乙和丙相鄰等價于甲、丁、戊、己4名同學(xué)排成一列，且甲不站在排頭，然后結(jié)合排列、組合及

簡單計數(shù)問題求解即可.

本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】a2

【解析】解：正三棱錐4一8。。滿足運(yùn)?前=0,故4BAC=90。，

所以ZB4C=^CAD=4BAD=90。，

|AB|=a,

所以：|AB|=|^4C|=|AD|=a,

所以麗|=V2a,

所以麗?瓦5=\'BD\\BA|cos45°=V2a?a-y=a2.

故答案為：a?.

首先利用正三棱錐A-BCD中希?前=0,整理得NBAC=90。，進(jìn)一步得到NB4C=4C4D=

4840=90。，最后利用向量的數(shù)量積求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：正三棱錐的性質(zhì)，向量的數(shù)量積，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和

數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】9

【解析】解：根據(jù)題意，假設(shè)有6個位置來安排6個球，其序號分別為1、2、3、…6,

在6個位置中取出3個，安排紅球，剩余的安排藍(lán)球，有或=20種方法，

其中3個紅球?qū)?yīng)序號之和小于3個藍(lán)球?qū)?yīng)序號之和的排法有：

紅球占1、2、3位置，藍(lán)球占4,5,6位置；

紅球占1、2、4位置，藍(lán)球占3,5,6位置，

紅球占1、2、5位置，藍(lán)球占3,4,6位置,

紅球占1、2、6位置，藍(lán)球占3,4,5位置,

紅球占1、3、4位置，藍(lán)球占2,5,6位置,

紅球占1,3、5位置,藍(lán)球占2,4,6位置,

紅球占1、3、6位置,藍(lán)球占2,4,5位置,

紅球占2、3、4位置,藍(lán)球占1,5,6位置,

紅球占2、3、5位置,藍(lán)球占1,4,6位置,

共9種情況，

故答案為：9.

根據(jù)題意，假設(shè)有6個位置來安排6個球，其序號分別為1、2、3、…6,在6個位置中取出3個,

安排紅球，剩余的安排藍(lán)球，結(jié)合條件逐一列出求解即可.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意利分類討論，可以按照一定的規(guī)則，一定要做到不重不漏.

12.【答案】|

【解析】

【分析】

本題考查了概率的求解，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題.

令選手第一次選中的為1號門，打開的為2號門，另外一個為3號門，由題意，確定車在每扇門

后面的概率都是熱即可分別得到汽車在1號門和在2號門或3號門的概率，再根據(jù)汽車不在2號

門，即可得出結(jié)果.

【解答】

解：令選手第一次選中的為1號門，打開的為2號門，另外一個為3號門，

由題意，車在每扇門后面的概率都是：，即汽車在1號門的概率為：，汽車在2號門或3號門的概

率為|，

因?yàn)槠嚥辉?號門，所以在3號門的概率為“即打開3號門點(diǎn)到汽車的概率為|.

故答案為《

13.【答案】A

【解析】解：?.?布=五百=3AB=2D^E=b,砧=硒＜+瓦豆="全

???AAr=AE—A1E=方—

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】B

【解析】解：對于A，”第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”是兩次不同的試驗(yàn)，所以兩個

事件不是互斥事件，所以A錯誤；

對于8,由于每次取球后放回?fù)u勻，所以“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”互不影響，

所以這兩個事件是獨(dú)立的，所以B正確；

對于C,“前三次都取到黑球”與“前三次最多有兩次取到黑球”是對立事件，所以C錯誤；

對于。因?yàn)槊看稳∏蚝蠓呕負(fù)u勻，所以每一次取到白球的概率都為|,所以。錯誤.

故選：B.

對于4,利用互斥事件的定義判斷，對于8,利用獨(dú)立事件的定義判斷，對于C,利用對立事件

的定義判斷，對于。，利用概率的定義求解即可.

本題考查了互斥事件和對立事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】D

【解析】解：以。為原點(diǎn)，以O(shè)A,DC,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體

的棱長為1，

則。(0,0,0),8(1,1,0),當(dāng)(1,1,1),很(0,1,0),(0,0,1).

所以泥=(0,1,0),西=(1,1,1),

設(shè)平面8傳。的法向量為記=(%,y,z),則

T吃,令人1,貝鬧=(LOT),

m?DB]=%+y+z=0

設(shè)Q(l,0,t)(0WtWl),

對于A,BQ=若BQ與平面aCD垂直，則的與記共線，則存在唯一，使的=4萬，

0=4

M(0,-l,t)=A(l,0,-l).所以一1=0,方程組不成立，所以的與萬不共線，所以8。與平面8道。

t=-A

不垂直，所以A錯誤，

對于B,的=(l,O,t),若。。與平面&CD垂直，則的與記共線，則存在唯一四，使麗=”沅，

則(1,0/)=“(1,0,-2),

?1=〃

所以0=0,得t=-l不合題意，所以的與沆不共線，所以。。與平面&CD不垂直，所以8錯

上=一從

誤，

對于C,瓦0=(0,-15一1),若B1Q與平面々CD垂直，則瓦。與南共線，則存在唯一外,使瓦0=

記，

(°=Mi

則(0,-1/-1)=41(1,0,-1),所以-1=0,方程組不成立，所以瓦工與記不共線，所以B1Q

(t-1=一%

與平面&CD不垂直，所以C錯誤，

對于。,京=(1,0,t-1)，若IQ與平面&CD垂直,則氤與記共線,則存在唯一乙，使京=右m,

則(l,0,t-1)=4(1,0,-1),

1=A1

所以0=0,得t=0符合題意，所以當(dāng)Q(l,0,0)時，與順與沆共線，此時D1Q與平面8住。

X—1=-4]

垂直，所以。正確，

故選：D.

如圖，以。為原點(diǎn)，以D4,DC,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長

為1,求出平面&CD的法向量，設(shè)Q(l,0,t)(0WtWl),然后逐個分析判斷即可.

本題考查線面垂直的判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

16.【答案】D

【解析】解：A選項(xiàng)，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以P受比賽次序影響，

故A錯誤；

設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為P用，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為P2,

棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為P砥

P/=P1[P2(1—P3)+P3(l-P2)]=P1P2+P1P3-2Plp2P3,

P乙=P2[P1(1-P3)+P3(l-Pl)]=P1P2+P2P3-2Plp2P3，

「丙=P3【P1(1-P2)+P2(1-Pl)]=P1P3+P2P3-2Plp2P3,

P丙一「用=P2(P3-Pl)>°，P丙一P乙=Pi(P3—P2)>°，

二所以P兩最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大.

故選：D.

已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以P受比賽次序影響，A錯誤；再計算第二盤

分別與甲、乙、丙比賽連隔兩盤的概率，比較大小即可.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的靈活運(yùn)

用.

17.【答案】解：(1)一條鐵路有8個車站，假設(shè)列車往返運(yùn)行且每個車站均?？可舷驴?，記從A

車站上車到8車站下車為1種車票(4*B).

該鐵路的客運(yùn)車票有：禺=56.

(2)該鐵路上新增了”個車站，客運(yùn)車票增加了54種，

可得4"8=56+54=110,

解得n=3.

【解析】(1)判斷車票滿足排列定義，直接求解即可.

(2)利用排列數(shù)公式列出方程求解即可.

本題考查排列組合的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

18.【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),由于布=2而，所以(X-l,y-l,z-l)=2(-1-x.3-y,2-

z)，

整理得：P(-1,y).

(2)由于4(1,1,1),5(-1,3,2),C(0,2,l).

所以|荏|=3,\AC\=V2,

故cos/=黑無=乎,由于0<4<兀，所以sin4=J,

\AB\\AC\33

故SAABC=jx3xV2x1=y.

【解析】(1)直接利用向量的共線求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；

(2)利用向量的夾角公式和向量的模及三角形的面積公式求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)的求法，向量的模，向量的夾角，三角形的面積公式，主

要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

19.【答案】證明：(1)因?yàn)?。=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以4cIDE,

在△ABD和△CBD中AC=CD,乙ADB=LCDB,DB=DB,

所以△ABDWACBC,所以4B=CB,又E為AC的中點(diǎn)，

所以4C_LBE,又DE,BEu平面BOE,DECiBE=E,

所以AC1平面BDE-,

解：(2)連接EF,由(1)知，ACBED,EFBED,

所以4c_LEF,則S44FC=gaC-EF,

當(dāng)EFl8。時E尸最小，即△AFC的面積最小，

因?yàn)椤鰽BD三△CBD,貝必B=CB,AD=CD,

由N4CB=60。且48=C8,所以△ABC是等邊三角形，

由AD1CD且AD=CD,E為AC的中點(diǎn)，

所以，在等腰直角△AQC中。E=AE=EC=1,則BE=遍,

故DE1AC,5LBE1DE^.AC1BE,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則4(1,0,0),8(0,百,0),。(0,0,1),所以而=(-1,0,1),=(-1,73,0),

需U：感。，取ys貝阮=(3⑸),

設(shè)面ABD的一個法向量為五=(x,y,z),則

又C(一l,0,0),F(0,泉令，所以—=(1,f,》

n-CF4V3

所以cos伍，而)=

\n\\CF\

設(shè)CF與平面AB。所成的角的正弦值為0(0<0<^),

所以sin。=|cos(n,CF)|=竽，

所以CF與平面AB。所成的角的正弦值為苧.

【解析】⑴根據(jù)已知關(guān)系有AABDmACBD得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到垂直關(guān)系,

結(jié)合線面垂直的判定即可證明;

(2)根據(jù)已知求證QE、AC、BE兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)

行計算即可.

本題考查了線面垂直的證明和線面角的計算，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可知21=堡=看.

(2)事件“第1輪有至少3張紅色卡牌”，有3種情況：“第1輪有3張紅色卡牌”、“第1輪有

4張紅色卡牌”、“第1輪有5張紅色卡牌”，

cgc+cgc

所以21。11。+十=空_=3

“2*30031001,

(3)事件“每輪均有紅色卡牌”，有如下情況：

第一輪抽到1張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張、3張，

&或c+c/c+率

此時每輪都有紅牌的概率為誓?46聾竺一=言X賓=舞，

Cj5Qo143213003

第一輪抽到2張紅牌，則第二輪紅牌有1張、2張，

**+承

此時每輪都有紅牌的概率為苧?絲畀=儒X好舞，

C[5C]o100163003

第一輪抽到3張紅牌，則第二輪紅牌有1張，

&c|c

此時每輪都有紅牌的概率為駕?等=

C15C103003

特卜_10001000250_750

-木上，p3-300