高考數(shù)學熱點專題7之4立體幾何中的空間距離（解析版）

立體幾何中空間距離問題思路引導思路引導1．點到直線的距離設eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)．2．點到平面的距離已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up7(→))的長度．因此PQ＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)．母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】如圖，已知△ABC為等邊三角形，D，E分別為AC，AB邊的中點，把△ADE沿DE折起，使點A到達點P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直線DE到平面PBC的距離．【解析】如圖，設DE的中點為O，BC的中點為F，連接OP，OF，OB，因為平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以OP⊥平面BCDE.因為在△ABC中，點D，E分別為AC，AB邊的中點，所以DE∥BC.因為DE?平面PBC，BC?平面PBC，所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE，所以以點O為坐標原點，OE，OF，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\r(3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\r(3)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\r(3)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(3)，0))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\r(3)，－\r(3)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0，0)).設平面PBC的一個法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝2x＋\r(3)y－\r(3)z＝0，,n·\o(CB,\s\up6(→))＝4x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝z，))令y＝z＝1，所以n＝(0,1,1)．因為eq\o(OF,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0)，設點O到平面PBC的距離為d，則d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OF,\s\up6(→))·n)),|n|)＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).因為點O在直線DE上，所以直線DE到平面PBC的距離等于eq\f(\r(6),2).【解題技法】求點面距常見的三種方法(1)作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；(2)等體積法；(3)向量法．其中向量法在易建立空間直角坐標系的規(guī)則圖形中較簡便．【跟蹤訓練】如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.【解析】（1）證明：由題知，因為，所以，又，所以，又，所以平面，又平面，所以，在正三角形中，為中點，于是，又，所以平面（2）取中點為中點為，則，由（1）知平面，且平面，所以，又，所以，所以平面，于是兩兩垂直如圖，以為坐標原點，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系則所以設平面的法向量為，則，即令，則于是設，則由于直線與平面所成角的正弦值為于是，即，整理得，由于，所以于是設點到平面的距離為則所以點到平面的距離為方法總結方法總結(1)向量法求點到直線距離的步驟①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.②在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).③垂線段長度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－（\o(MN,\s\up6(→))·v）2).(2)求點到平面的距離的常用方法①直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離.②轉化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉化為直線l上某一個點到平面α的距離來求.③等體積法.④向量法：設平面α的一個法向量為n，A是α內任意點，則點P到α的距離為d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).模擬訓練模擬訓練1．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）如圖，矩形和梯形，，，平面平面，且，，過的平面交平面于．(1)求證：；(2)當為中點時，求點到平面的距離；【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的坐標關系求解點到平面的距離即可.【詳解】（1）證明：因為矩形，所以，平面，平面，所以平面．因為過的平面交平面于，由線面平行性質定理，得；（2）解：由平面平面其交線為，平面，所以平面，又四邊形為矩形，所以以為原點，以為軸建立如圖空間直角坐標系．由，，得，，，則，設平面法向量，則，取得．因為，所以點到平面的距離.2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考一模）在如圖所示的六面體中，平面平面，，，．(1)求證：平面；(2)若AC，BC，兩兩互相垂直，，，求點A到平面的距離．【分析】（1）取的中點，的中點，連，，，利用面面平行的性質定理推出，再利用線面平行的判定定理可證結論成立；（2）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，根據(jù)點到面的距離的向量公式可求出結果.【詳解】（1）取的中點，的中點，連，，，在六面體中，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，因為分別是，的中點，且，，所以，，，，所以四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，所以，，又已知，所以，則共面，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，又分別是，的中點，，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為AC，BC，兩兩互相垂直，所以以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系：則，，設，則，，，，，設平面的一個法向量為，則，則，取，則，，所以點A到平面的距離為.3．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）在三棱錐中，，，M為棱BC的中點.(1)證明：；(2)若平面平面ABC，，，E為線段PC上一點，，求點E到平面PAM的距離.【分析】（1）取的中點為，先證明平面，進而證得；（2）建立空間直角坐標系，利用向量的方法即可求得點E到平面PAM的距離.【詳解】（1）取的中點為，連，，因為，則；又為棱的中點，則為△的中位線，所以，因為，則，則；由于，平面，平面，則平面，因為平面，所以..（2）由（1）得，且平面平面，平面平面，平面，則平面，又，則以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，因為，，則，則，則，，，，因為，則，則，，設為平面的一個法向量，則，令，則，，得，又設點到平面的距離為d，則，則點到平面的距離為..4．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預測）已知三棱錐中，平面，，M為中點，過點M分別作平行于平面的直線交于點E，F(xiàn)．(1)求直線與平面所成角的大??；(2)證明：平面，并求直線到平面的距離．【分析】（1）因為平面，，建立空間直角坐標系，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案；（2）由面面平行的性質定理可證得平面，再證明平面，即可求出答案.【詳解】（1）因為平面，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，設平面，設直線與平面所成角為，則.直線與平面所成角的大小為（2）因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，M為中點，所以分別為的中點，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，又因為平面，直線到平面的距離為.5．（2022·浙江·模擬預測）已知長方體，，，，P，Q，R分別為AB，，的中點.(1)證明：；(2)求到平面的距離.【分析】（1）以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，然后證明即可；（2）算出平面的法向量即可求解.【詳解】（1）以為原點，所在直線為軸建立如圖空間直角坐標系，因為，，，所以，，，，，所以，，所以，即；（2），，設平面的法向量為，則，可得，所以可取，因為，所以求到平面的距離為.6．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學校考模擬預測）如圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點.(1)證明：；(2)求平面PAM與平面ABCD的夾角的大?。?3)求點D到平面AMP的距離.【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面與平面夾角的大??；（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出點到平面的距離．【詳解】（1）證明：等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，以D點為原點，分別以直線DA，DC為x軸、y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，（其他建系方法按步驟給分）依題意，可得，，，，，，，即，；

（2）解：設為平面PAM的法向量，則，即，取，得，取，顯然為平面ABCD的一個法向量，??，故平面PAM與平面ABCD的夾角的大小為；（3）解：設點D到平面AMP的距離為d，由可知與平面PAM垂直，則，即點D到平面AMP的距離為7．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面為菱形，點在底面上的投影為AC的中點，且．(1)求證：；(2)求點到側面的距離；(3)在線段上是否存在點，使得直線DE與側面所成角的正弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由已知條件可證平面，即可得到；（2）以點為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用點到平面的距離公式即可求解；（3）假設存在滿足條件的點E，并，利用向量的加減運算，求出，利用線面夾角公式得出，求得，即可求出的長.【詳解】（1）證明：由點在底面ABC上的投影為AC的中點，知平面ABC，又平面ABC，故，因是以AC為斜邊的等腰直角三角形，故，而，平面，，故平面，由平面，得．（2）由點，為AC的中點，側面為菱形，知，由是以AC為斜邊的等腰直角三角形，，可得，，由（1）知直線，，兩兩垂直，故以點為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，得，又，故點到平面的距離為：（3）假設存在滿足條件的點E，并，則，于是，由直線DE與側面所成角的正弦值為，可得，即，解得．又，故．因此存在滿足條件的點，且．8．（2022·遼寧沈陽·沈陽二十中?？既＃┤鐖D多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點，使得平面與平面的夾角余弦值為，求點到平面的距離.【分析】（1）取的中點，連接交于，連接，，證明，利用面，證明面，從而面面；（2）建立平面直角坐標系，設，利用二面角確定M點位置，結合點到平面距離向量公式得到結果.．【詳解】（1）證明：取的中點，連接交于，連接，，因為是菱形，所以，且是的中點，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因為，，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）∵，平面，∴平面，且，∴以為原點，，，為坐標軸建立空間直角坐標系，設在棱上存在點使得平面與平面的夾角余弦值為，，，，，，，，0，，，，，，0，，，，則設，0，，，，，所以，，，，，，，設平面的一個法向量為，，，則，即，令，，得，，，設平面的一個法向量為，，，則，即，取，得，，，，解得，此時，∴，∴點到平面的距離.9．（2022·青?！ばＢ?lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，M為CD中點，連接BM，CE交于點F，G為△ABE的重心．(1)證明：平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，當平面GCE與平面ADE所成銳二面角為60°時，求G到平面ADE的距離．【詳解】（1）延長EG交AB于N，連接NC,因為G為△ABE的重心，所以點N為AB的中點，且,因為,故,所以,故，故,而平面ABC，平面ABC,故平面ABC；（2）由題意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，,平面BCDE，故平面ABC,平面ABC,則,同理，又平面BCDE,所以平面BCDE，以C為原點，以CB,CD,CA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設點G到平面BCDE的距離為，則，故,設平面GCE的法向量為，則，即，取，則即，設平面ADE的法向量為，則，即，取，則，則，所以，解得，又，故點G到平面ADE的距離為.10．（2022·廣