高中物理單擺模型

..擺的研究物理模型是實際物體的抽象和概括,它反映了客觀事物的主要因素與特征,是連接理論和應用的橋梁.我們把研究客觀事物主要因素與特征進展抽象的方法稱之為模型方法,是物理學研究的重要方法之一.中學物理習題都是依據(jù)一定的物理模型進展構思、設計而成的,因此,在解答物理習題時,為使研究復雜物理問題方便起見,往往通過抽象思維或形象思維,構建起描述物理問題的模型,使用物理模型方法,尋找事物間的聯(lián)系,迅速巧妙地解決物理問題.單擺就是實際擺的一種理想化物理模型，在處理問題時可以起到柳暗花明的成效，主要有以下應用?！締螖[模型簡述】在一條不可伸長的、忽略質(zhì)量的細線下端栓一可視為質(zhì)點的小球,當不必考慮空氣阻力的影響,在擺角很小的情況下可看作簡諧運動,其振動周期公式可導出為【視角一】合理聯(lián)想,挖掘相關物理量.例1.試用秒表、小石塊、細線估算電線桿的直徑.分析與解:要估算電線桿的直徑,題目中沒有給刻度尺,因此,用什么來替代刻度尺是問題的關鍵.秒表、小石塊似乎對測量電線桿的直徑?jīng)]有直接關系；假設是聯(lián)想到小石塊可以與細線組成單擺，秒表可用來測量時間，此題便不難解決了。用等于n個電線桿圓周長的細線與小石塊組成單擺，用秒表測出單擺m〔30～50〕次全振動所用時間t，那么單擺振動的周期電線桿的圓周長，電線桿的直徑有【視角二】遷移與虛擬，活化模型方法.例2.一傾角α很小(α＜2°)的斜劈固定在水平地面,高為h［如圖1(a)］.光滑小球從斜劈的頂點A由靜止開場下滑,到達底端B所用時間為t1.如果過A、B兩點將斜劈剜成一個光滑圓弧面,使圓弧面在B點恰與底面相切,該小球從A由靜止開場下滑到B所用的時間為t2.求t1與t2的比值.A

B(b)AhB(a)

A

B(b)AhB(a)

L2αα圖1將斜劈剜成光滑圓弧面后.虛擬并遷移單擺模型,因2α＜4°,小球在圓弧面運動時受重力與指向圓心的彈力作用,這與單擺振動時的受力——重力與指向懸點的拉力類似.如圖1(b)所示.那么小球在圓弧面上的運動就是我們熟知的簡諧運動.這樣能使問題化繁為簡,化難為易,迅速找到解決問題的途徑.因為L-h=Lcos2α.所以.小球沿圓弧面從A運動到B的時間為單擺周期的1/4.故所以,t1∶t2=4∶π.【視角三】等效變換,化解習題難度.例3.如圖2(a)所示是一種記錄地震裝置的水平擺,擺球m固定在邊長為L、質(zhì)量可略去不計的等邊三角形的頂角A上,它的對邊BC跟豎直線成不大的夾角α,擺球可繞固定軸BC擺動,求擺球作微小擺動時的周期.分析與解:該題有多種求解方法,假設采用等效法,能化解難度,關鍵是求等效擺長,因擺球在豎直平面平衡,關于軸BC做微小振動,將擺球所受重力作用線做反向延長,在轉軸BC延長O

O

圖2那么為等效擺長.在圖2(b)的三角形OCA中運用正弦定理,有那么故.從公式中可看出，單擺周期與振幅和擺球質(zhì)量無關．從受力角度分析，單擺的回復力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回復力越大，加速度〔gsin〕越大，在相等時間走過的弧長也越大，所以周期與振幅、質(zhì)量無關，只與擺長l和重力加速度g有關．在有些振動系統(tǒng)中l(wèi)不一定是繩長，g也不一定為9.8m/s，因此出現(xiàn)了等效擺長和等效重力加速度的問題．物理上有些問題與單擺類似，經(jīng)過一些等效可以套用單擺的周期公式，這類問題稱為"等效單擺〞．等效單擺在生活中比擬常見．除等效單擺外，單擺模型在其他問題中也有應用．說明質(zhì)點振動系統(tǒng)的一種，是最簡單的擺。繞一個懸點來回擺動的物體，都稱為擺，但其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分布有關。但假設把尺寸很小的質(zhì)塊懸于一端固定的長度為l且不能伸長的細繩上，把質(zhì)塊拉離平衡位置，使細繩和過懸點鉛垂線所成角度小于10°，放手后質(zhì)塊往復振動，可視為質(zhì)點的振動，其周期T只和l和當?shù)氐闹亓铀俣萭有關，即而和質(zhì)塊的質(zhì)量、形狀和振幅的大小都無關系，其運動狀態(tài)可用簡諧振動公式表示，稱為單擺或數(shù)學擺。如果振動的角度大于10°，那么振動的周期將隨振幅的增加而變大，就不成為單擺了。如擺球的尺寸相當大，繩的質(zhì)量不能忽略，就成為復擺〔物理擺〕，周期就和擺球的尺寸有關了。首先由牛頓力學，單擺的運動可作如下描述：動力學方程url=T36gaNvRMHYHED1-STFjIVpGqK-33YEBwA58z-8pj8vZnpdGhmgUcvLicr-1CF2lg0UV81Z6dC3TX--TeCC0UK"\o"編輯本段"編輯首先我們可以得到，其中m為質(zhì)量，g是重力加速度，l是擺長，θ是單擺與豎直方向的夾角，注意，θ是矢量，這里取它在正方向上的投影。我們希望得到擺角θ的關于時間的函數(shù)，來描述單擺運動。由角動量定理我們知道，其中是單擺的轉動慣量，是角加速度。于是化簡得到〔1〕小角度近似周期url=T36gaNvRMHYHED1-STFjIVpGqK-33YEBwA58z-8pj8vZnpdGhmgUcvLicr-1CF2lg0UV81Z6dC3TX--TeCC0UK"\o"編輯本段"編輯我們知道〔1〕式是一個非線性微分方程。所以嚴格地說上面的〔1〕式描述的單擺的運動并不是簡諧運動。不過，在θ比擬小時，近似地有sinθ≈θ。〔即?！骋蚨藭r〔1〕式就變?yōu)?，這是一個二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為，式中A.為任意常數(shù)，由初值條件給定。而于是單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動一般在高考之類的考試中，認為10°以下可以這樣近似。事實上5°≈0.087266弧度，Sin5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。在低精度的實驗中，這種系統(tǒng)誤差可以忽略不計〔因為實驗操作中的偶然誤差就比它大〕。但如果換成25°，誤差高達百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。由于正弦函數(shù)的性質(zhì)，這個近似是角度越小，越準確，角度越大越不準確。如果角度很大〔比方60度處，誤差高達17%〕，就完全不能說它是簡諧振動了。伽利略第一個發(fā)現(xiàn)擺的振動的等時性，并用實驗求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動。惠更斯制成了第一個擺鐘。單擺不僅是準確測定時間的儀器，也可用來測量重力加速度的變化?；莞沟耐瑫r代人天文學家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬圭亞那，發(fā)現(xiàn)每天慢2.5分鐘，經(jīng)過校準，回巴黎時又快2.5分鐘?；莞咕蛿喽ㄟ@是由于地球自轉引起的重力減弱。I.牛頓那么用單擺證明物體的重量總是和質(zhì)量成正比的。直到20世紀中葉，擺依然是重力測量的主要儀器。小角近似公式和實際曲線比擬真實周期推導url=T36gaNvRMHYHED1-STFjIVpGqK-33YEBwA58z-8pj8vZnpdGhmgUcvLicr-1CF2lg0UV81Z6dC3TX--TeCC0UK"\o"編輯本段"編輯上面提到是角度比擬小的時候單擺的近似公式，但科學是嚴謹?shù)模诖搜a充在任意角度下單擺的周期公式。在此之前先提出兩個概念〔我用mathematica的定義〕：第一類不完全橢圓積分：第一類完全橢圓積分：下面我用微分方程進展討論，讀者可以嘗試用動能定理進展計算，可以更簡潔地得到其特解。設擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ，那么單擺的運動公式為：令，于是有上式改寫成：這是一個可別離變量的微分方程！別離變量：其通解為給定初始條件〔0≤α≤π〕，，那么其特解為：所以考慮t〔t是四分之一周期〕：設，那么又考慮到便可以化簡得到按照前面的定義，便有此處的α就是常說的擺角。近似公式與真實值差異url=T36