建立層次結構模型案例

建立層次結構模型將問題包含的因素分層：最高層（解決問題的目的）；中間層（實現(xiàn)總目標而采取的各種措施、必須考慮的準則等。也可稱策略層、約束層、準則層等）；最低層（用于解決問題的各種措施、方案等）。把各種所要考慮的因素放在適當?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結構圖清晰地表達這些因素的關系。〔例1〕購物模型某一個顧客選購電視機時，對市場正在出售的四種電視機考慮了八項準則作為評估依據(jù)，建立層次分析模型如下：選購電視機〔例2〕選拔干部模型對三個干部候選人y、y、y，按選拔干部的五個標準：品德、才能、資歷、年齡和群眾關123系，構成如下層次分析模型：假設有三個干部候選人y、y、y，按選拔干部的五個標準：品德，才能，資歷，年齡和群眾關系，構成如下層次分析模型

［編輯］構造成對比較矩陣比較第i個元素與第j個元素相對上一層某個因素的重要性時，使用數(shù)量化的相對權重aij來描述。設共有n個元素參與比較，貝U-L■■■稱為成對比較矩陣。按下述標度進行賦值。a在1-9及其倒數(shù)ij按下述標度進行賦值。a在1-9及其倒數(shù)ijij中間取值。?a=1,元素i與元素j對上一層次因素的重要性相ij同；a=3，元素i比元素j略重要；ija=5，元素i比元素j重要；ija=7，元素i比元素j重要得多；ija=9，元素i比元素j的極其重要；ija=2n，n=1,2,3,4,元素i與j的重要性介于a=2nijij1與a=2n+1之間；ij■，n=1,2,...,9,當且僅當a=nji

夠>Ogj==7-成對比較矩陣的特點：'■。（備注：當i=j時候，a=1）ij對例2,選拔干部考慮5個條件：品德x，才能x，資歷x，年齡x，群眾關系x。某決12345策人用成對比較法，得到成對比較陣如下：/12755\11-41-31-311-41-31-3a=5表示品德與年齡重要性之比為5，即決策人認為品德比年齡重要。14［編輯］作一致性檢驗從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應該有aa=a。ijjkik但實際上在構造成對比較矩陣時要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求：的絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。檢驗成對比較矩陣A一致性的步驟如下：?計算衡量一個成對比矩陣A（n>1階方陣）不一致程度的指標CI：門T入mu：*（匕）一舁其中久是矩陣A的最大特征值。注解max?從有關資料查出檢驗成對比較矩陣A一致性的標準RI：RI稱為平均隨機一致性指標，它只與矩陣階數(shù)有關。?按下面公式計算成對比較陣A的隨機一致性比率CR：?判斷方法如下：當CR<0.1時，判定成對比較陣A具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對比較矩陣A直到達到滿意的一致性為止。例如對例2的矩陣211-41-31-3例如對例2的矩陣211-41-31-311-21-71-nl-n531-21174123X{A)=5.072,0/=豎)：§=0.018計算得到-，查得Rl=1.12,這說明A不是一致陣，但A具有滿意的一致性，A的不一致程度是可接受的。此時A的最大特征值對應的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。這個向量也是問題所需要的。通常要將該向量標準化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。該特征向量標準化后變成U=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)z。經(jīng)過標準化后這個向量稱為權向量。這里它反映了決策者選拔干部時，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權向量U的各分量所確定。求A的特征值的方法，可以用MATLAB語句求A的特征值：〔Y,D〕=eig(A),Y為成對比較陣的特征值，D的列為相應特征向量。在實踐中，可采用下述方法計算對成對比較陣A=(a_{ij})的最大特征值久(A)和相應特征向max量的近似值。定義

可以近似地看作A的對應于最大特征值的特征向量。計算yl-(AU)t1-E-_x￡1Ui仇纟網(wǎng)?可以近似看作A的最大特征值。實踐中可以由九來判斷矩陣A的一致性。［編輯］層次總排序及決策現(xiàn)在來完整地解決例2的問題，要從三個候選人yi?y2，y3中選一個總體上最適合上述五個條件的候選人。對此，對三個候選人y=yi?y2，y3分別比較他們的品德*),才能里)，資歷(弋)，年齡(x)，群眾關系(x)。45先成對比較三個候選人的品德，得成對比較陣經(jīng)計算，Bi的權向量①(Y)=(0.082,0.244,0.674)zx1爲MJ=3.002,0/=0.001,故B的不一致程度可接受。①(Y)可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。1x1類似地，分別比較三個候選人的才能，資歷，年齡，群眾關系得成對比較陣通過計算知，相應的權向量為S処(Y)=(0.606,0.265,0.129)^m/Y)=(0.429,0.429,0.143)2心Y)=(0.636,0.185,0.179)2s云(Y)=(0.167,0.167,0.667)2它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關系分。經(jīng)檢驗知B,B,B,B的2345不一致程度均可接受。最后計算各候選人的總得分。y的總得分1⑴加=為羽=巧(曲)=0.457x0.082|0.263x0.606I0.051x0.429I0.104從計算公式可知，y