小學(xué)奧數(shù)面積計算綜合題型

./第十八周面積計算〔一專題簡析：計算平面圖形的面積時,有些問題乍一看,在已知條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)系,會使你感到無從下手。這時,如果我們能認真觀察圖形,分析、研究已知條件,并加以深化,再運用我們已有的基本幾何知識,適當(dāng)添加輔助線,搭一座連通已知條件與所求問題的小"橋",就會使你順利達到目的。有些平面圖形的面積計算必須借助于圖形本身的特征,添加一些輔助線,運用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法,對圖形進行恰當(dāng)合理的變形,再經(jīng)過分析推導(dǎo),方能尋求出解題的途徑。圖形面積簡單的面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容.要會計算面積,首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等,然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上,不但容易識別,而且容易計算.上面左圖是邊長為4的正方形,它的面積是4×4＝16〔格；右圖是3×5的長方形,它的面積是3×5＝15〔格.上面左圖是一個銳角三角形,它的底是5,高是4,面積是5×4÷2＝10〔格；右圖是一個鈍角三角形,底是4,高也是4,它的面積是4×4÷2＝8〔格.這里特別說明,這兩個三角形的高線一樣長,鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個平行四邊形,底是5,高是3,它的面積是5×3＝15〔格；右圖是一個梯形,上底是4,下底是7,高是4,它的面積是〔4+7×4÷2＝22〔格.上面面積計算的單位用"格",一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米,1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是1米,1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方格的邊長是1個長度單位,1格就是一個面積單位.在這一講中,我們直接用數(shù)表示長度或面積,省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位.一、三角形的面積用直線組成的圖形,都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：三角形面積=底×高÷2.這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式,而且要會靈活運用.例1右圖中BD長是4,DC長是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢？解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4×高÷2.三角形ADC面積=2×高÷2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底,這條邊上的高就是三角形的高,所以每個三角形都可看成有三個底,和相應(yīng)的三條高.例2右圖中,BD,DE,EC的長分別是2,4,2.F是線段AE的中點,三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解：BC＝2＋4＋2＝8.三角形ABC面積=8×4÷2＝16.我們把A和D連成線段,組成三角形ADE,它與三角形ABC的高相同,而DE長是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理,EF是AE的一半,三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形DFE面積=16÷4＝4.例3右圖中長方形的長是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個長方形,它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.而三個三角形底邊的長加起來,就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是FE×BE÷2,它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理,FECD也是長方形,它內(nèi)部三個三角形〔陰影部分面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半,也就是20×12÷2＝120.通過方格紙,我們還可以從另一個途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個三角形的高線,把每個三角形分成兩個直角三角形后,圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半,而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形〔陰影部分的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.例4右圖中,有四條線段的長度已經(jīng)知道,還有兩個角是直角,那么四邊形ABCD〔陰影部分的面積是多少？解：把A和C連成線段,四邊形ABCD就分成了兩個,三角形ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說,AB是底邊,高是10,因此面積=4×10÷2＝20.對三角形ADC來說,DC是底邊,高是8,因此面積=7×8÷2＝28.四邊形ABCD面積=20＋28＝48.這一例題再一次告訴我們,鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF,線段AE＝3,DF＝2,求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的,但容易求出下面列的三個直角三角形的面積三角形ABE面積=3×6×2＝9.三角形BCF面積=6×〔6-2÷2＝12.三角形DEF面積=2×〔6-3÷2＝3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：三角形BEF面積=6×6-9-12-3＝12.例6在右圖中,ABCD是長方形,三條線段的長度如圖所示,M是線段DE的中點,求四邊形ABMD〔陰影部分的面積.解：四邊形ABMD中,已知的太少,直接求它面積是不可能的,我們設(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積,然后用長方形ABCD的面積減去它們,由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來,將三角形DCE分成兩個三角形.三角形DCE的面積是7×2÷2＝7.因為M是線段DE的中點,三角形DMC與三角形MCE面積相等,所以三角形MCE面積是7÷2＝3.5.因為BE＝8是CE＝2的4倍,三角形MBE與三角形MCE高一樣,因此三角形MBE面積是3.5×4＝14.長方形ABCD面積=7×〔8＋2=70.四邊形ABMD面積=70-7-14＝49.二、有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形,它的兩條直角邊一樣長,這樣的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一個直角〔90度,還有兩個角都是45度,通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形,可以拼成一個正方形,如圖〔a.四個一樣的等腰直角三角形,也可以拼成一個正方形,如圖〔b.一個等腰直角三角形,當(dāng)知道它的直角邊長,從圖〔a知,它的面積是直角邊長的平方÷2.當(dāng)知道它的斜邊長,從圖〔b知,它的面積是斜邊的平方÷4例7右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的直角邊長,恰好是前一個斜邊長的一半,求這個圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道,前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形,等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半,第一個等腰直角三角形的面積是8×8÷2＝32.這一個圖形的面積是32＋16＋8＋4＋2＋1＝63.例8如右圖,兩個長方形疊放在一起,小長形的寬是2,A點是大長方形一邊的中點,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么圖中陰影部分的總面積是多少？解：為了說明的方便,在圖上標上英文字母D,E,F,G.三角形ABC的面積=2×2÷2＝2.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊,與三角形ADE的直角邊一樣長,因此三角形ADE面積=ABC面積×2＝4.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積÷2＝1.陰影部分的總面積是4＋1＝5.例9如右圖,已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD＝7,BC＝3,三個角的度數(shù)：角B和D是直角,角A是45°.求這個四邊形的面積.解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE,切掉一個等腰直角三角形BCE.因為A是45°,角D是90°,角E是180°-45°-90°＝45°,所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積,是這兩個等腰直角三角形面積之差,即7×7÷2-3×3÷2＝20.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué),用直線AC把圖形分成兩個直角三角形,并認為這兩個直角三角形是一樣的,這就大錯特錯了.這樣做,角A是45°,這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等,兩個三角形相等,是不能靠眼睛來測定的,必須從幾何學(xué)上找出根據(jù),小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何,千萬不要隨便對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角,你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10在右圖11×15的長方形內(nèi),有四對正方形〔標號相同的兩個正方形為一對,每一對是相同的正方形,那么中間這個小正方形〔陰影部分面積是多少？解：長方形的寬,是"一"與"二"兩個正方形的邊長之和,長方形的長,是"一"、"三"與"二"三個正方形的邊長之和.長-寬=15-11＝4是"三"正方形的邊長.寬又是兩個"三"正方形與中間小正方形的邊長之和,因此中間小正方形邊長=11-4×2＝3.中間小正方形面積=3×3＝9.如果把這一圖形,畫在方格紙上,就一目了然了.例11從一塊正方形土地中,劃出一塊寬為1米的長方形土地〔見圖,剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.解：剩下的長方形土地,我們已知道長-寬=1〔米.還知道它的面積是15.75平方米,那么能否從這一面積求出長與寬之和呢？如果能求出,那么與上面"差"的算式就形成和差問題了.我們把長和寬拼在一起,如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和,但是再拼上同樣的兩個正方形,如下圖就拼成一個大正方形,這個正方形的邊長,恰好是長方形的長與寬之和.可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形,仔細觀察一下,就會發(fā)現(xiàn),它的邊長,恰好是長方形的長與寬之差,等于1米.現(xiàn)在,我們就可以算出大正方形面積：15.75×4+1×1＝64〔平方米.64是8×8,大正方形邊長是8米,也就是說長方形的長+寬=8〔米.因此長=〔8＋1÷2＝4.5〔米.寬=8-4.5＝3.5〔米.那么劃出的長方形面積是4.5×1＝4.5〔平方米.例12如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6,求三角形AEG〔陰影部分的面積.解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四邊形AECD面積=〔小正方形邊長+大正方形邊長×大正方形邊長÷2三角形ADG是直角三角形,它的一條直角邊長DG=〔小正方形邊長+大正方形邊長,因此三角形ADG面積=〔小正方形邊長+大正方形邊長×大正方形邊長÷2.四邊形AECD與三角形ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有,因此,三角形AEH與三角形HCG面積相等,都加上三角形EHG面積后,就有陰影部分面積=三角形ECG面積=小正方形面積的一半=6×6÷2＝18.十分有趣的是,影陰部分面積,只與小正方形邊長有關(guān),而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系.三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難,但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少,請讀者仔細體會.例13畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形〔如右圖,求它的面積.解：直接計算粗線圍成的面積是困難的,我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.周圍小正方形有3個,面積為1的三角形有5個,面積為1.5的三角形有1個,因此圍成面積是4×4-3-5-1.5＝6.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14下圖中ABCD是6×8的長方形,AF長是4,求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中,我們知道一邊AF,但是不知道它的高多長,直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形AEB,底邊AB,就是長方形的長,高是長方形的寬,即BC的長,面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半,而擴大的三角形AFB是直角三角形,它的兩條直角邊的長是知道的,很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積＝〔三角形AEB面積-〔三角形AFB面積＝8×6÷2-4×8÷2＝8.這一例題告訴我們,有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形,當(dāng)然擴大的部分也要容易求出,從而間接地解決了問題.前面例9的解法,也是這種思路.例15下左圖是一塊長方形草地,長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路,一條是長方形,一條是平行四邊形,那么有草部分的面積〔陰影部分有多大？解：我們首先要弄清楚,平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出,底是2,高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與10×2的長方形面積相等.可以設(shè)想,把這個平行四邊形換成10×2的長方形,再把橫豎兩條都移至邊上〔如前頁右圖,草地部分面積〔陰影部分還是與原來一樣大小,因此草地面積=〔16-2×〔10-2＝112.例16右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起,求陰影部分的面積.解：實際上,陰影部分是一個梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出,ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC,是直角邊AD的長減去3,高就是DC的長.因此陰影部分面積等于梯形ABCD面積=〔8＋8-3×5÷2＝32.5.上面兩個例子都啟發(fā)我們,如何把不容易算的面積,換成容易算的面積,數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種"換"的本領(lǐng),首先要提高對圖形的觀察能力.例17下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求這個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=〔3＋3＋3×4÷2＝18.三角形CDE面積=〔4＋4×3÷2＝12.這兩個直角三角形有一個重疊部分--四邊形BCEG,只要減去這個重疊部分,所求圖形的面積立即可以得出.因為AF＝FE＝EC＝3,所以AGF,FGE,EGC是三個面積相等的三角形.因為CB＝BD＝4,所以CGB,BGD是兩個面積相等的三角形.2×三角形DEC面積=2×2×〔三角形GBC面積＋2×〔三角形GCE面積.三角形ABC面積=〔三角形GBC面積＋3×〔三角形GCE面積.四邊形BCEG面積=〔三角形GBC面積＋〔三角形GCE面積=〔2×12＋18÷5＝8.4.所求圖形面積=12＋18-8.4＝21.6.例18如下頁左圖,ABCG是4×7長方形,DEFG是2×10長方形.求三角形BCM與三角形DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和.〔三角形BCM面積-〔三角形DEM面積=〔梯形ABEF面積-〔兩個長方形面積之和=〔7＋10×〔4＋2÷2-〔4×7＋2×10=3.例19上右圖中,在長方形內(nèi)畫了一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中陰影部分的面積是多少？解：所求的影陰部分,恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分,而面積為13,49,35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分,因此〔三角形ABC面積+〔三角形CDE面積＋〔13＋49＋35＝〔長方形面積＋〔陰影部分面積.三角形ABC,底是長方形的長,高是長方形的寬；三角形CDE,底是長方形的寬,高是長方形的長.因此,三角形ABC面積,與三角形CDE面積,都是長方形面積的一半,就有陰影部分面積=13＋49＋35＝97.例題1。18－1ABCFEDABCFED18－1ABCFEDABCFED18－118－1[思路導(dǎo)航]陰影部分為兩個三角形,但三角形AEF的面積無法直接計算。由于AE=ED,連接DF,可知S△AEF=S△EDF〔等底等高,采用移補的方法,將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。因為BD=EQ\F<2,3>BC,所以S△BDF＝2S△DCF。又因為AE＝ED,所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。因此,S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米,所以S△DCF＝8÷5＝1.6〔平方厘米,則陰影部分的面積為1.6×2＝3.2〔平方厘米。練習(xí)1如圖18－2所示,AE＝ED,BC=3BD,S△ABC＝30平方厘米。求陰影部分的面積。如圖18－3所示,AE=ED,DC＝EQ\F<1,3>BD,S△ABC＝21平方厘米。求陰影部分的面積。AABCFEDA如圖18－4所示,DE＝EQ\F<1,2>AE,BD＝2DC,S△AABCFEDAFFEFFEEEDBCCDBDBCCDB18－418－318－218－418－318－2例題2。兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形,如圖18－5所示,已知兩個三角形的面積,求另兩個三角形的面積各是多少？BBCDAO66121218－518－5[思路導(dǎo)航]已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等〔等底等高可知：S△ABO等于6,而△ABO與△AOD的高相等,底是△AOD的2倍。所以△AOD的面積為6÷2＝3。因為S△ABD與S△ACD等底等高所以S△ABO＝6因為S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。答：△AOD的面積是3。練習(xí)2兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形,〔如圖18－6所示,已知兩個三角形的面積,求另兩個三角形的面積是多少？已知AO＝EQ\F<1,3>OC,求梯形ABCD的面積〔如圖18－7所示。BCBCDAOBBCDAO4B4BCDAO84848818－818－818－718－618－6例題3。D四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點三等分,且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖18－9所示。DFAFAEE18－9CB18－9CB[思路導(dǎo)航]由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,它們的面積相等。同理,三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知,三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍,三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍,從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。15×3＝45〔平方厘米答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。練習(xí)3四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分,且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖18－10。已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分,且陰影部分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖18－11所示。如圖18－12所示,求陰影部分的面積〔ABCD為正方形。6EADADD6EADADDEGAEGA4F4F·FG·FGCBCBECBCBCBECB18－1218－1118－1018－1218－1118－10例題4。BABADCOEE18－1318－13[思路導(dǎo)航]因為BO＝2DO,取BO中點E,連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì),可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4,類推可得每個三角形的面積。所以,S△CDO＝4÷2＝2〔平方厘米S△DAB＝4×3＝12平方厘米S梯形ABCD＝12+4+2＝18〔平方厘米答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。練習(xí)4如圖18－14所示,陰影部分面積是4平方厘米,OC＝2AO。求梯形面積。已知OC＝2AO,S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面積〔如圖18－15所示。D已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO,求梯形的面積〔如圖18－16所示。DOADABADCOOADABADCOOO18－16CB18－1518－14CB18－16CB18－1518－14CB例題5。如圖18－17所示,長方形ADEF的面積是16,三角形ADB的面積是3,三角形ACF的面積是4,求三角形ABC的面積。AFFAAFFACCCCEEDEDBDEDB18－1718－17[思路導(dǎo)航]連接AE。仔細觀察添加輔助線AE后,使問題可有如下解法。由圖上看出：三角形ADE的面積等于長方形面積的一半〔16÷2＝8。用8減去3得到三角形ABE的面積為5