專題10相似三角形的性質（2個知識點5種題型1種中考考法）

專題10相似三角形的性質（2個知識點5種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似三角形的性質定理1（重點）知識點2相似三角形的性質定理2、定理3（重點）【方法二】實例探索法題型1.利用相似三角形的性質求線段的比題型2.利用相似三角形的性質求圖形的面積題型3.相似三角形的周長比與面積比的實際應用題型4.相似三角形的判定與性質的綜合運用題型5.動態(tài)探究題【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定與性質綜合【方法四】成果評定法【學習目標】1.理解相似三角形的性質。2.能靈活運用相似三角形的性質解決相關問題。【知識導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.相似三角形的性質定理1（重點）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.【例1】已知∽，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應，，BE、B1E1分別是它們的對應中線，且．求B1E1的長．【答案】4．【解析】解：，、分別是對應中線， 即，【總結】本題考查相似三角形對應中線的比等于相似比．【變式】已知∽，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應，，,的平分線A1D1的長為6，求的平分線的長．【答案】8．【解析】解：，、分別是、的平分線， 即，即的平分線的長為8．【總結】本題考查相似三角形對應角平分線的比等于相似比．知識點2相似三角形的性質定理2、定理3（重點）1.相似三角形周長的比等于相似比∽，則由比例性質可得：2.相似三角形面積的比等于相似比的平方∽，則分別作出與的高和，則要點詮釋：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的.【例2】.已知∽，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應，它們的周長分別為48和60，且，，求BC和A1B1的長．【答案】．【解析】解：，；又，．【總結】本題考查相似三角形的性質．【例3】.如圖，點D、E分別在的邊AB和AC上，DE//BC，，，．求的值．AABCDE【答案】36．【解析】解：，，，．【總結】本題考查相似三角形的判定及性質．【方法二】實例探索法題型1.利用相似三角形的性質求線段的比1.如圖，D是的邊BC上的點，，BE是的角平分線，交AD于點F，，，求BF：BE．AABCDEF【解析】 解：是的角平分線，，又， ，，又， ，，，，， ．【總結】本題考查相似三角形的判定和性質的綜合運用．2.如圖，中，點D是BC延長線上一點，直線EF//BD交AB于點E， 交AC于點G，交AD于點F，若，求的值．AABCDEFG【答案】．【解析】解：，，， ，， ，，，， 是中線，,．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考階段練習）已知：如圖，在中，點D，點E分別是邊、上的點，和相交于點O，且，連接．(1)求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由，，可得，根據(jù)相似三角形的性質可得，變形為，即可證明，得到，即可推導出，結合即可證明；（2）由，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；（2）解：由（1）得，∵，∴．【點睛】此題重點考查相似三角形的判定與性質，掌握兩角分別對應相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．題型2.利用相似三角形的性質求圖形的面積4.如圖，在中，，，D、E分別為垂足．若，，求四邊形DEAB的面積．AABCDEF【答案】3．【解析】解：，． ，，． ，，， ，，又， ，，，， ，．【總結】本題考查相似三角形的性質及判定，直角三角形的性質等知識．5.（2022秋?金寨縣校級月考）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成長方形零件PQMN，使長方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上，求這個長方形零件PQMN面積S的最大值．【分析】設長方形零件PQMN的邊PN＝a，PQ＝x，則AE＝80﹣x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S＝x?a，從而得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及自變量取值范圍求S的最大值．【解答】解：設長方形零件PQMN的邊PN＝a，PQ＝x，則AE＝80﹣x．∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．∴＝．因此，＝．解得a＝120﹣x．所以長方形PQMN的面積S＝xa＝x（120﹣x）＝﹣x2+120x．（3分）當x＝﹣＝40時，a＝60．（4分）S最大值＝40×60＝2400（mm2）．所以這個長方形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2．【點評】本題用二次函數(shù)的方法解決面積問題，是函數(shù)性質的實際運用，需要從計算矩形面積著手，求矩形的長、寬．6.如圖，在中，矩形DEFG的一邊DE在BC邊上，頂點G、F分別在AB、AC邊上，AH是BC邊上的高，AH與GF交于點K．若，，矩形DEFG的周長為76cm，求矩形DEFG的面積．AABCDEFGHK【答案】．【解析】解：設， 矩形，，,又是高，，, ，, ，，，，．【總結】本題考查三角形一邊的平行線定理，矩形的周長面積等知識．7.（2022秋?大觀區(qū)校級月考）一塊三角形材料如圖所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用這塊材料剪出一個矩形CDEF，其中，點D、E、F分別在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF的面積最大．點E應選在何處？【分析】利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BC，進而利用勾股定理表示出AC，由AC﹣AF表示出CF，根據(jù)CF與EF乘積列出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)性質確定出面積的最大值，以及此時AE的值即可．【解答】解：∵四邊形CDEF是矩形，∴∠AFE＝90°，∵∠A＝30°，∴EF＝AE，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝6，∴CF＝AC﹣AF＝6﹣AE，∴S矩形CDEF＝CF?EF＝AE（6﹣AE）＝﹣（AE﹣6）2+9，∴當x＝6時，矩形CDEF的面積最大，即當點E為AB的中點時，矩形CDEF的面積最大．【點評】此題考查了相似三角形的應用，二次函數(shù)的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性質，以及矩形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．題型3.相似三角形的周長比與面積比的實際應用8.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（） A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1【答案】B．提示：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故選：B．9．（2022秋·安徽安慶·九年級?？茧A段練習）如圖，D，E分別是的邊，上的點，，若，求的值．【答案】【分析】得到，得到，則，根據(jù)相似三角形的性質即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．題型4.相似三角形的判定與性質的綜合運用10．（2023?蕪湖模擬）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且∠CAD＝∠B．（1）求證：；（2）若AC＝2，BC＝4，設△ADC面積為S1，△ABD面積為S2，求證：S2＝3S1．【分析】（1）由于∠CAD＝∠B，加上∠C為公共角，則可證明△CAD∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的性質得到結論；（2）根據(jù)相似三角形的性質得到＝，即S△ABC＝4S1，則4S1＝S2+S1，從而得到S2＝3S1．【解答】證明：（1）∵∠DCA＝∠ACB，∠CAD＝∠B，∴△CAD∽△CBA，∴＝；（2）∵△CAD∽△CBA，∴＝（）2＝（）2＝，即S△ABC＝4S1，又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴4S1＝S2+S1，∴S2＝3S1．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．在應用相似三角形的性質時利用相似比進行幾何計算．11.（2023?天長市校級二模）在正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD上的點，連接EF，EF⊥FG且EF＝FG．?（1）如圖1，當點G在CD上時，求證：DG＝BE；（2）如圖2，當點B與點E重合時，EG，F(xiàn)G分別交CD于點M，N，求證：MG2＝MN?MD．【分析】（1）由正方形的性質得AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，而∠EFG＝90°，則∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，即可證明△AEF≌△DFG，得AF＝DG，AE＝DF，則BE＝AF，所以DG＝BE；（2）作GH⊥AD交AD的延長線于點H，可證明△HFG≌△ABF，則HF＝AB＝AD，HG＝AF，可推導出HD＝AF，則HG＝HD，所以∠HDG＝∠HGD＝45°，則∠MGN＝∠MDG＝45°，而∠GMN＝∠DMG，即可證明△MGN∽△MDG，得＝，所以MG2＝MN?MD．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥FG，∴∠EFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，在△AEF和△DFG中，，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AB﹣AE＝AD﹣DF，∴BE＝AF，∴DG＝BE．（2）如圖2，作GH⊥AD交AD的延長線于點H，則∠H＝∠A＝90°，∵點E與點B重合，EF⊥FG且EF＝FG，∴BF⊥FG，BF＝FG，∴∠BFG＝90°，∴∠HFG＝∠ABF＝90°﹣∠AFB，在△HFG和△ABF中，，∴△HFG≌△ABF（AAS），∴HF＝AB＝AD，HG＝AF，∴HF﹣DF＝AD﹣DF，∴HD＝AF，∴HG＝HD，∴∠HDG＝∠HGD＝45°，∵∠MDH＝90°，∴∠MDG＝45°，∵∠MGN＝∠GBF＝45°，∴∠MGN＝∠MDG，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴＝，∴MG2＝MN?MD．【點評】此題重點考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解直角的關鍵．12.（2023?瑤海區(qū)校級一模）將矩形ABCD沿DE折疊，使點A落在點F處，折痕為DE，其中AB＝2，AD＝3．（1）如圖（1），若點F恰好在邊BC上，連接AF，求證：△ABF∽△DAE；（2）如圖（2），若E是AB的中點，EF的延長線交BC于點G，求BG的長．【分析】（1）根據(jù)矩形，可得∠BAD＝∠B，根據(jù)折疊可知AF⊥DE，即∠FAD+∠ADE＝90°，由此即可求解；（2）根據(jù)題意可證，△EFM∽△FDN，再證△EMF∽△EBG，根據(jù)相似三角形的性質即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，由翻折可知，AF⊥DE，∴∠BAF+∠FAD＝∠FAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∴△ABF∽△DAE；（2）解：如圖2中，過點F作MN∥BC交AB于M，交CD于N，四邊形AMND是矩形，設EM＝x，∵∠A＝∠EFD＝90°，∠EMF＝∠DNF＝90°，∴∠EFM+∠DFN＝90°，∠DFN+∠FDN＝90°，∴△EFM∽△FDN，∴，∴FN＝3EM＝3x，F(xiàn)M＝3﹣3x，在Rt△EFD中，EF＝EA＝1，x2+（3﹣3x）2＝12，解得x1＝1（舍去），，∴，∵FM∥BC，∴△EMF∽△EBG，∴，即，∴．【點評】本題主要考查矩形，折疊，相似三角形的綜合，掌握矩形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．13.（2022秋?滁州期末）如圖，點P是正方形ABCD邊AD上一點，Q是邊BC延長線上一點，若AB＝12，PA＝5，PQ⊥BP．求CQ的長．【分析】根據(jù)正方形的性質及勾股定理求出BP的長度，再通過證明△PQB∽△ABP，根據(jù)相似三角形的性質求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∠ABC＝∠PBA+∠QBP＝90°，∵AB＝12，PA＝5，∴，∵PQ⊥BP，∴∠BPQ＝90°，∴∠Q+∠QBP＝90°，∴∠Q＝∠PBA，∵∠QPB＝∠A，∴△PQB∽△ABP，∴，即，∴，∴．【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握知識點并能夠綜合運用是解題的關鍵．14.（2022秋?宣城期末）如圖，△ABC中，分別在邊AB、AC上取點D、E，使，再取BC的中點M，連接AM交DE于點N．（1）求證：DE∥BC；（2）判斷線段DN與NE的大小關系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似得△ADE～△ABC，即而得∠ADE＝∠B，從而可得結論；（2）由△ADN∽△ABM和△ANE∽△AMC得，再由BM＝CM，從而得DN＝NE．【解答】（1）證明：∵，∴△ADE∽△ABC∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC；（2）解：結論：DN＝NE．理由：∵DE∥BC，∴，∵，∴，∵M是BC的中點，∴BM＝CM，∴DN＝NE．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；靈活運用相似三角形的性質表示線段之間的關系．15.（2022秋?貴池區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BC＝3，D為AC延長線上一點，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，過D作DH∥AB，交BC的延長線于點H．（1）求證：△HCD∽△HDB；（2）求BH的長．【分析】（1）由DH∥AB，得∠HDC＝∠A，而∠CBD＝∠A，所以∠HDC＝∠CBD，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△HCD∽△HDB；（2）由DH∥AB證明△DHC∽△ABC，得＝＝，HC＝BC＝1，則BH＝3+1＝4．【解答】（1）證明：∵DH∥AB，∴∠HDC＝∠A，∵∠CBD＝∠A，∴∠HDC＝∠CBD，∵∠H＝∠H，∴△HCD∽△HDB．（2）解：∵AC＝3CD，∴＝，∵DH∥AB，∴△DHC∽△ABC，∴＝＝，∵BC＝3，∴HC＝BC＝×3＝1，∴BH＝BC+HC＝3+1＝4，∴BH的長為4．【點評】此題重點考查平行線的性質、相似三角形的判定與性質等知識，證明∠HDC＝∠CBD及△DHC∽△ABC是解題的關鍵．題型5.動態(tài)探究題16．（2022秋·安徽滁州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)問經(jīng)過秒時，與相似．【答案】1或【分析】設經(jīng)過t秒后，與相似，根據(jù)路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性質對應邊的比相等列出方程求解即可．【詳解】解：設經(jīng)過t秒后，與相似，則有，，，當時，有，即，解得，當時，有，即，解得，所以，經(jīng)過或時，與相似．故答案為：1或【點睛】此題考查相似三角形的判定，本題綜合了路程問題和三角形的問題，所以學生平時學過的知識要會融合起來．17．（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，動點從點出發(fā)運動到點停止，動點從點出發(fā)運動到點停止．點運動的速度為，點運動的速度為．如果兩點同時運動，那么當以點，，為頂點的三角形與相似時，運動的時間是秒．

【答案】或【分析】如果以點、、為頂點的三角形與相似，由于與對應，那么分兩種情況：①與對應；②與對應．根據(jù)相似三角形的性質分別作答．【詳解】解：如果兩點同時運動，設運動秒時，以點、、為頂點的三角形與相似，則，，．①當與對應時，有．，，；②當與對應時，有．，，．當以點、、為頂點的三角形與相似時，運動的時間是秒或秒．故答案為：秒或秒．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的對應邊成比例的性質．本題分析出以點、、為頂點的三角形與相似，有兩種情況是解決問題的關鍵．18．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┰谥校?，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿線段向點方向運動：動點從點出發(fā)，沿線段向點方向運動．如果點的速度是，點的速度是，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為秒．求：(1)當時，、兩點之間的距離是多少？(2)若的面積為，求關于的函數(shù)關系式．(3)當為多少時，以點，，為頂點的三角形與相似？【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）在中，當秒，可知、的長，運用勾股定理可將的長求出；（2）由點P，點Q的運動速度和運動時間，又知的長，可將用含t的表達式求出，代入直角三角形面積公式求解；（3）應分兩種情況：當時，根據(jù)，可將時間t求出；當時，根據(jù)，可求出時間t．【詳解】（1）由題意得則（1）當秒時，，，由勾股定理得；故、兩點之間的距離是（2）由題意得則∴由題意可知∴關于的函數(shù)關系式為（3）當時即解得當時即解得綜上所述：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形性質以及勾股定理的運用，在解第三問時應分兩種情況進行求解防止漏解或錯解，注意方程思想與分類討論思想的應用是解此題的關鍵．19．（2022秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，直線，交軸于點A，交軸于點，動點從點向點運動，速度為1單位每秒，另一動點從點向點運動，速度為2個單位每秒，它們同時出發(fā)，運動的時間為秒，當一動點先到達后，另一動點隨之停止．(1)求．(2)設的面積為，求與的關系？并求的最大值？【答案】(1)(2)，的最大值是【分析】（1）根據(jù)直線，可以求得點和點的坐標，然后即可求得；（2）根據(jù)題意，可以表示出和，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質，可以得到點到的距離，從而可以寫出與的關系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可得到的最大值．【詳解】（1）解：直線，當時，，當時，，點點的坐標為，點的坐標為，，，；（2）解：由題意可得，，，作軸于點，作軸于點，如圖所示，軸，軸，，，，，，，，，解得，，，，點從到用的時間為：，點從點到點用的時間為：，，，當時，取得最大值，由上可得，，的最大值是．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用、一次函數(shù)的性質、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．20．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，中，，，，，分別是邊，的中點，為邊上一動點，于，交于．

(1)_____；(2)當和相似時，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）過作于交于，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的中位線定理得到，，根據(jù)相似三角形的性質得到，于是得到結論；（2）先根據(jù)角的大小關系判斷相似三角形的對應關系，再根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）解：過作于交于，

在中，，，，∴，∵，分別是邊，的中點，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，當和相似時，則，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．21．（2023·安徽·一模）已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，點P由B點出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為2cm/s；點Q由A點出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為cm/s；若設運動的時間為t(s)(0＜t＜3)，解答下列問題(1)如圖①，連接PC，當t為何值時△APC∽△ACB，并說明理由；(2)如圖②，當點P，Q運動時，是否存在某一時刻t，使得點P在線段QC的垂直平分線上，請說明理由；(3)如圖③，當點P，Q運動時，線段BC上是否存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由．【答案】(1)；理由見解析(2)存在；理由見解析(3)不存在；理由見解析【分析】（1）結合直角三角形性質，由△APC∽△ACB，得，即可求解；（2）過點P作PM⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線性質，求QM，AM的表達式，證△APM∽△ABC，得，即可求解；（3）假設線段BC上是存在一點G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，則PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得，得BP=2t=3，故PQ≠BP.【詳解】（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，∴AB=6，由運動知，BP=2t，AQ=，∴AP=6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴t=；（2）存在，理由：如圖②，由運動知，BP=2t，AQ=，∴AP=6﹣2t，CQ=，∵點P是CQ的垂直平分線上，過點P作PM⊥AC，∴QM=CM=∴AM=AQ+QM=，∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC∴，即∴解得t=1；（3）不存在理由：由運動知，BP=2t，，∴AP=6﹣2t，假設線段BC上是存在一點G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，∴PQ∥BG，PQ=BG，∴△APQ∽△ABC，，∴BP=2t=3，∴PQ≠BP，∴平行四邊形PQGB不可能是菱形．即：線段BC上不存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形．【點睛】此題考查了相似三角形的性質．解題關鍵時注意相似三角形的對應邊成比例與分類討論思想的應用．22．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）如圖，中，，，．點P從點C出發(fā)沿折線以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點Q從點B出發(fā)沿以每秒2個單位長的速度向點B勻速運動，點P，Q同時出發(fā)，當其中一點到達點B時停止運動，另一點也隨之停止．設點P，Q運動的時間是t秒（）．發(fā)現(xiàn)：(1)___________；(2)當點P，Q相遇時，相遇點在哪條邊上？并求出此時的長．探究：(3)當時，的面積為___________；(4)點P，Q分別在，上時，的面積能否是面積的一半？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．拓展：(5)當時，求出此時t的值．【答案】(1)5(2)相遇點在邊上，1(3)1(4)不能，見解析(5)【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；（2）分類討論點的位置對應不同的時間，直接計算即可；（3）直接求出邊長來求面積即可；（4）解方程時通過求根公式來說明不能取到值；（5）先畫出圖形，然后利用平行線間的線段比列方程求值．【詳解】（1）在中，∴；

（2）點P運動到B需要：s點Q運動到B點需要：s當點相遇時，有．解得．∴相遇點在邊上，此時．

（3）當時，，即∴

故答案為1；（4）不能理由：若的面積是面積的一半，即，化為．∵，∴方程沒有實數(shù)根，即的面積不能是面積的一半．（5）由題可知，點先到達邊，當點還在邊上時，存在，如圖所示．這時，．∵，，∴．解得，即當時，．【點睛】此題考查動點問題以及平行線的線段比，解題關鍵是將點的路程表示出來找到等量關系，以及平行線中線段成比例列方程．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.相似三角形的判定與性質綜合23．（2019?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內部一點，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA＝2PC；（3）若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．【分析】（1）利用等式的性質判斷出∠PBC＝∠PAB，即可得出結論；（2）由（1）的結論得出，進而得出，即可得出結論；（3）先作出兩個直角三角形，再判斷出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判斷出，即可得出結論．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∴∴PA＝2PC（3）如圖，過點P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于點F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2?h3．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，判斷出∠EAP＝∠PCD是解本題的關鍵．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在邊長為2的正方形中，對角線交于點是的中點，交于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為四邊形是正方形，E是中點，所以，根據(jù)勾股定理可求出，由相似三角形的判定定理得出，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得出．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵E是中點，∴，在中，∵，∴∴，∴，∴，∴即，故選：B．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質及正方形的性質，先根據(jù)題意判斷出，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行解答是解答此題的關鍵．2．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習）已知，則與面積的比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】兩三角形相似，面積比等于相似比的平方；據(jù)此即可求解．【詳解】解：，，，，，故選：D【點睛】本題考查了相似三角形的性質，掌握性質是解題的關鍵．3．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知，則的長是（

）

A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】通過證明，利用相似三角形的性質得出，進而得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴=，∵，，∴，∴（負值已舍去）．故選：B．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，正確得出對應邊成比例的關系是解題關鍵．4．（2022秋·安徽安慶·九年級?？茧A段練習）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)勾股定理，AB=，BC=，AC=，所以△ABC的三邊之比為=，A、三角形的三邊分別為2，，，三邊之比為2：=，故本選項錯誤，不符合題意;B、三角形的三邊分別為2，4，，三邊之比為2：4：2=1：2：，故本選項正確，符合題意；C、三角形的三邊分別為2，3，，三邊之比為2：3：，故本選項錯誤，不符合題意；D、三角形的三邊分別為，，4，三邊之比為：4，故本選項錯誤，不符合題意．故選：B．5．（2023春·安徽安慶·九年級?？茧A段練習）已知，若，，則的長為（

）A．1 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質，面積比等于相似比的平方，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，．故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，掌握面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）已知：中，為邊中點，過點的直線交延長線于，交于，記，，則（

）

A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】作交于，設，則，，先證，推出，再根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得，進而可得．【詳解】解：如圖，作交于，

設，則，，∵，∴，，又∵D為BC中點，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴．故選A．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是作輔助線構造．7．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學校考期中）在中，，，D是AC上一點，，在上取一點E，使A、D、E三點組成的三角形與相似．則的長為（

）A．9 B．6 C．9或6 D．9或4【答案】D【分析】與相似要分成兩種情況來進行討論，一種是；一種是；無論哪一種情況，將已知線段的長度代入比例式后都能較容易的求出的值．【詳解】∵，∴分或兩種情況討論；①如圖（1），當時，即，解得；②如圖（2），當時，即，解得，綜上所述，的長為9或4，故選：D．

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，關鍵是運用分類討論，對可能出現(xiàn)的幾種情況進行分析．8．（2022秋·安徽六安·九年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，E為邊上一點，與相交于點F，若，面積為18，則的面積等于（

）

A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行得到，根據(jù)，得到，推出，最后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形，相似三角形．解題關鍵是熟練掌握平行四邊形的對邊平行且相等的性質，相似三角形的判定和性質．9．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，點分別在邊上，，四邊形四邊形，相似比，則下列一定能求出面積的條件（

）A．四邊形和四邊形的面積之差 B．四邊形和四邊形的面積之差C．四邊形和四邊形的面積之差 D．四邊形和四邊形的面積之差【答案】C【分析】分別過點，作的平行線，根據(jù)相似比，找出對應相似圖形的面積關系，然后找出符合的選項即可．【詳解】解：如圖，分別過點，作的平行線交于點，交于點，四邊形四邊形，相似比，，，，相似比，則，，，，選項C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了根據(jù)相似比求面積關系，平行四邊形性質，相似三角形性質等知識，適當添加輔助線，找出對應面積關系，采用面積作差方法是解題關鍵．10．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，四邊形是矩形，平分，，、的延長線交于點，連接，連接交于點．下列結論錯誤的是（

）

A．圖中共有三個等腰直角三角形 B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質以及角平分線的性質得，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，由證明，可得，，則，是等腰直角三角形，由，可得，由三角形外角的性質可得，證明，列比例式并結合等量代換可得．【詳解】解：如圖：

四邊形是矩形，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故A錯誤；，，，，故B正確；，，故D正確；，，，，，故C正確．故選：A．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質和判定，勾股定理，本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．二、填空題11．（2022秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，分別交，于點D，E，若，，則與的周長比為．

【答案】【分析】由平行線可得兩個三角形相似，再由其周長比等于其對應邊的比，進而即可得出結論．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，又相似三角形的周長比等于其對應邊的比，∴與的周長比．故答案為．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形的周長之比等于相似比是解本題的關鍵．12．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在矩形中，點E在上，將沿翻折得到，點B的對應點F恰好落在線段上，線段的延長線交于點G，，則的值為．

【答案】【分析】延長交于點H，設，則，再證明，可得，，再根據(jù)，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點H，

設，則，∵四邊形矩形，∴，∴，∵將沿翻折得到，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，正方形的性質是解題的關鍵．13．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）在等邊中，為上一點，為上一點，且，，，則的邊長為．

【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得，，得，從而得出與相似，再根據(jù)相似三角形的性質即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，，；，，，，，的邊長為．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理．綜合利用題目中條件證明出兩個三角形相似是解題的關鍵．14．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，是正方形的對角線，是邊上一點，過點作于點，是上一點，連接并延長交的延長線于點，請解決下列問題：

（1）若，則．（2）若，，，則．【答案】【分析】（1）證得，從而即可得解；（2）利用得，所以，進而可計算，，，，再用勾股定理計算出即可．【詳解】解：（1）∵四邊形形是正方形，∴，是正方形的對角線，，∵,∴，∵，，，，故答案為：；（2），，，，由（）知，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質以及相似三角形的判定與性質，相似三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形相似時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．三、解答題15．（2023·安徽淮南·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，矩形，，點E在上，，點F為垂足，求的長．【答案】【分析】先利用勾股定理和已知條件求得，再根據(jù)即可求得的長．【詳解】解：在矩形中，，，，∴，，，，∵，∴，由勾股定理得：∴∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質及勾股定理，證明是解答本題的關鍵．16．（2022秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直角中，，于點．求證：．【答案】見解析【分析】已知，于點，得出，，，得到，推出，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論；【詳解】，，，，，又，，，．【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質和判定，掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵．17．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從A、同時出發(fā)，那么經(jīng)幾秒后，點、、構成的三角形與相似

【答案】經(jīng)過或后，與相似．【分析】分兩種情況討論，可得或，求得t的值．【詳解】解：①設經(jīng)過后，，根據(jù)已知條件，可得，，∵，∴，∴，解得；②設經(jīng)過后，，∵，∴，∴，解得．故經(jīng)過或后，與相似．【點睛】本題考查相似三角形的判定，利用分類思想解決問題是本題的關鍵.18．（2023·安徽合肥·一模）如圖，點C在線段上，在同側作等腰和等腰，使，連接，分別交于點O，交于點F，(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，從而得到，即可；（2）過點D作于點H，交于點G，可得，從而得到，進而得到，然后在等腰中，可得，從而得到，，再由勾股定理可得的長，再由相似三角形的性質可得，從而得到，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：在等腰和等腰中，，∴，∴，∴；（2）解：如圖，過點D作于點H，交于點G，∵，∴，∴，∴，在等腰中，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理是解題的關鍵．19．（2023春·安徽安慶·九年級?？茧A段練習）如圖，為內一點，過點作，的平行線分別交于點，，連接并延長交于點．(1)求證：．(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等，以及兩組對應角對應相等的三角形相似，即可得證；（2）證明，，得到，利用，推出，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴，