2022年廣東省揭陽市華僑高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年廣東省揭陽市華僑高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試

題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

a=log}2.bHogjSic=log[5

1.設(shè)1，則()

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<b.D.b<c<a

參考答案：

C

略

2.某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7

輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需運(yùn)往H地至少72噸的貨物，派用的每輛車需

滿載且只運(yùn)送一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)45()

元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元，該公司合理計(jì)

劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)為

A.4650元B.4700元C.4900

元D.5000元

參考答案：

C

3.命題“Vx€R?都有l(wèi)n(x2+l)>0”的否定為

(A)VxW&,都有InX+DMO⑻譏"，使得ln(x()2+l)>0

2

(C)PxWR,都有l(wèi)n(x2+l)<0(D)W?',使得ln(x0+l)<0

參考答案：

D

略

4.復(fù)數(shù)1-%(***).

A.2-JB.l-2iC.-2+iD,-l+2i

參考答案：

C

5.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，其質(zhì)量小于48g的概率為03,質(zhì)量小于485g

的概率為0.32,那么質(zhì)量在［48,485)(g)范圍內(nèi)的概率是()

A.062B,038c,002D.068

參考答案：

c解析:032-0.3=0.02

6.向量。=(2。3=(兀-2),若則［+%=()

A.(3,-1)B.(-3,1)C.(-2,-1)D.(2,

1)

參考答案：

A

略

7.程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏.次第每人多十七，要

將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子

女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要等

級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為()

A.65B.184C.183D.176

參考答案：

B

分析：將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，然后結(jié)合等差數(shù)列相關(guān)公式整理計(jì)算即可求得最

終結(jié)果.

詳解：由題意可得，8個(gè)孩子所得的棉花構(gòu)成公差為17的等差數(shù)列，且前8項(xiàng)和為996,

設(shè)首項(xiàng)為4,結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式有:

?x7

、;工，萬?28x17=996

解得：■=的，則%=.+7d=65"xl7=lM

即第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為1M.

本題選擇8選項(xiàng).

點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等知

識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

8.函數(shù)y=x'—3x的極大值為肛極小值為〃，則m+n為

A.0B.1C.2

D.4

參考答案:

A

9.如圖，在正方體從ABCD-EFGH中，下列命題中錯(cuò)誤的是

A.BD//面F1IA

B.EC±BD

C.ECJ_.面FHA

D異面直線BC與AH所成的角為60°

參考答案:

D

略

10.三棱錐S-A8C中，SAL底面A8C,若=AC-4C=3,則該三棱錐外接球的

表面積為（）

21g

A.187rB.~Tc.217rD.427r

參考答案：

C

【分析】

先利用正弦定理計(jì)算出AABC的外接圓直徑2r,再結(jié)合三棱錐的特點(diǎn)，得出球心的位置:

過△ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn).再利用公式可計(jì)

算出該三棱錐的外接球直徑，最后利用球體表面積公式可得出答案.

【詳解】解：由于AB=BC=AC=3,則AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，由正弦定理

1r--------=2^

知，△ABC的外接圓直徑為皿3,

由于SAJ_底面ABC,所以，△ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn)為該三棱

錐的外接球的球心，所以外接球的半徑

21

因此，三棱錐S-A8C的外接球的表面積為4兀配=4兀x4=2171.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

3+i

11.已知i為虛數(shù)單位，則1-1=.

參考答案：

1+2

略

y=—1

]2.函數(shù)如。式41)的定義域?yàn)?

參考答案：

3

(4,1)

13.

理統(tǒng)計(jì)某校400名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績(jī)，得到樣本頻率分布直方圖如右，規(guī)定不低于

60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格率是，優(yōu)秀人數(shù)是。

3

參考答案:

答案:80%

x-y+lNO

14.如果實(shí)數(shù)x、>滿足條件lx+>+14°,那么2x__y的最大值為.

參考答案：

1

15.設(shè)/。)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=/5)的圖象關(guān)于直線*=5對(duì)稱，則

+/(2)+〃笏+/(4)+/(5)=

參考答案：

0

16.平面向量。與'的夾角為60°,。=(2.0),在卜1,則|。+2牛=.

參考答案：

243

略

17.已知等差數(shù)列｛?的前力項(xiàng)和為%，若生+/=】4,則三等于

參考答案：

84

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.某市為了了解本市高中學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參

加漢字聽寫考試，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，分組區(qū)間為：[50,60),[60,70),[70,

80),[80,90),[90,100],并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示.

(I)求頻率分布直方圖中的a值；從該市隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生參加考試

的成績(jī)低于90分的概率；

(II)設(shè)A,B,C三名學(xué)生的考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)內(nèi)，M,N兩名學(xué)生的考試成績(jī)

在區(qū)間[60,70)內(nèi)，現(xiàn)從這5名學(xué)生中任選兩人參加座談會(huì)，求學(xué)生M,N至少有一人

被選中的概率；

（III）試估計(jì)樣本的中位數(shù)落在哪個(gè)分組區(qū)間內(nèi)（只需寫出結(jié)論）.

（注：將頻率視為相應(yīng)的概率）

參考答案:

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的

概率.

【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1,求出a的值，估計(jì)這名學(xué)生參加考試

的成績(jī)低于90（分）的概率；

（II）用列舉法求出從這5位學(xué)生代表中任選兩人的所有選法種數(shù)以及代表M,N至少有

一人被選中的選法種數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的概率；

（III）求出樣本的中位數(shù)落在那個(gè)區(qū)間內(nèi).

【解答】解：（I）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1,得；

a=0.1-0.03-0.025-0.02-0.01=0.015,

二估計(jì)這名學(xué)生參加考試的成績(jī)低于90（分）的概率為；

I-0.15=0.85；...

（II）從這5位學(xué)生代表中任選兩人的所有選法共10種，分別為：

AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN；

代表M,N至少有一人被選中的選法共7種，

分別為：AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN；

設(shè)“學(xué)生代表M,N至少有一人被選中”為事件D,

7

.?.P（D）...

7

???學(xué)生代表M,N至少有一人被選中的概率為元;

(III)v0.01xl0+0.2xl0=0.3<0.5,

0.3+0.025x10=0.55>0.5,

.?.樣本的中位數(shù)落在區(qū)間［70,80)內(nèi).…

19.(本小題滿分16分)

X=l(a>b>0)

已知橢圓/3的左頂點(diǎn)為力，左右焦點(diǎn)為

外瑪，點(diǎn)尸是橢圓上一點(diǎn),

"二9用弓兩且△杼；外的三邊構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列.

(I)求橢圓的離心率；

(11)若0尸=2/，求橢圓方程;

(IH)若c=l,點(diǎn)P在第一象限，且△尸鳥玲的外接圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓只有一

個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

參考答案:

解：(I)依黑&4-o?0),g(-c,O),瑪(c,0).設(shè)Rs,f),.

―?3—-1―-31

由PA--PF,—PF得：(-o-s,-t)=-(-c-s,-t)—(c-s,-f>

22222

31

即一4-S=-(-C-S)--(C-S).4=2c.?

22

所以橢困的離心率是L;........................................................................

4分,

(H)不妨設(shè)M<P外.由6瑪=2c.及A/%號(hào)的三邊構(gòu)成公差為1的零差數(shù)列,再結(jié)合。=2。

,r+r=28①

所以V((S+C)2+￡2=QC-1)2②.

(S-C)2+產(chǎn)=QC+1)2③

①X2-②-③得：?=9,所以橢［8方程是二+亡=1

10分?

3627

22222

(III)橢圓方程是L+匕=1,設(shè)產(chǎn)(s/),貝二+1=1,3=4一竺

43433

以橢圈長(zhǎng)軸為直徑的圓的圓心為（0,0）,半徑為2,“

設(shè)△朋用的外接圈方程是，+y2+Dx+￡y+H=0,P

又用,馬美干1y軸對(duì)稱，故￡）=0,即圈方程為，+J+劭+9=0,，

由瓦（-1,0）和尸（s,z）在圓上得:，

..F=-l

l+F=0

,26s2+Z2-l_Z2-9....................12分.

S2+Z2+￡'Z+F=0

t3t

則圓心坐標(biāo)為河。-與），半徑為廠=亞^^=寫丑，

△產(chǎn)田舄的外接畫與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的畫只有一個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓相切，且是內(nèi)切，,

即。的=|2-r|p

固=2_亞史或固=亞三一2（此方程無解）......................14分-

2222

解得：|總|=3'，/

由^_±=三得:2/一%-18=0,/=--（舍去）或￡=一6（舍去）一

3122

/-93c33

由^~~^=-2得：2d+%-18=0,￡=2或￡=-6（舍去），點(diǎn)尸。；）."

3t222

法二：由盤△尸巴瑪?shù)耐饨訄A圓心必在〉軸上，設(shè)其圓心為〃(0.加)，半徑為r,則

3?+4/3=12

,/=/+1=(s-O)2+("切)'，.......................................................................12分。

|w|=2-r

5

r=~~3

4￡=-

由題$",加,r>0,從而斛得，,2〉

3

m=-s=1

4

所以點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1$........................................................................................16分~

略

20.已知函數(shù)〃力=3')/

(1)若盤=2,求函數(shù)〃9的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若函數(shù)/(“)在(一U］上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(III)函數(shù)/(力是否可為火上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍；若不是，請(qǐng)說明

理由.

參考答案：

⑴(9.詞［立吟⑵UH；⑶不可能

iltlbi折：<I>當(dāng)。=2與，/(x)={?-?)<*,

(￥)=(2?■(2JK).".(2JK3^)■，(2***.?8?———?**—―***—????——?“―—?《????—??????―2/，

(x)40f^0240,x4—xz.????*??一*?????**???????一?????????????*?<■*??》?????3

J(x)(區(qū)間S.(-?］和［,Hej一一一一4分

(II)因?yàn)楹瘮?shù)，(x)在(一U］上單凋遞增，

所以，(x)N0對(duì)于Xe(T可都成立，

即，(力［?！?。-4-力/“對(duì)于工?一14］都成立

、丁皿,1

<7>--------=Xfl

故有xll.................................................................6分

g(x)=x+l--2-^x)=,+7-^J>0

令"fx+1,則(x+,)恒成立，

故食㈤在(—L可上單調(diào)遞增，則

水口二則：.......................................8分

所以"的取值范圍是

LN

L2).........................................................................................................9分

(III)假設(shè)/(力為犬上的單調(diào)函數(shù)，則為依上單調(diào)遞增函數(shù)或?yàn)镽上單調(diào)遞減函數(shù).

①若酬I“X)在火上單凋遞增，則f(x)>0對(duì)于xeR都成立，

即［o+(a-2)x-Y］/20恒成立，

因?yàn)?>0,所以x'-(a-2)x-aW0對(duì)于xe&都成立，

而函數(shù)A(x)=xa-(a-2)x-fl的圖象是開口向上的拋物,

則￥-(0-2)x-a40不可能恒的，

所以不可能為R上的單調(diào)遞增的數(shù).........................................11分

②若函數(shù),(X)在R上單調(diào)遞減，則，(x)4°對(duì)于xwA都成立，

即［a+("2)x-/］/"。恒成立，

因?yàn)橐?gt;0,所以x"(a-2)x-aA0對(duì)于女友都成立，

故有A=("一2)'-4“4。，整理，得a3+440,顯然不成立.

所以/(x)不可能為犬上的單調(diào)遞減函

數(shù)，.....................................................13分

綜上，可知函數(shù)/(耳不可能為R上的單調(diào)函

數(shù)...............................................14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.

【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)的單增區(qū)間，就是在定義域下解不等式八勸＞°，函數(shù)在某區(qū)間上

是增函數(shù)，就是八功20在區(qū)間上恒成立；一要注意應(yīng)用分離參數(shù)法，使用極端原理，

二要注意利用一元二次方程的根的分布.

21.在平面直角坐標(biāo)系X。中，曲線y=/-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓c上

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x-y+4=°交于A、B兩點(diǎn)，且3工0g求a的值.

參考答案：

H：(