2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊 第八章　數(shù)學(xué)建模活動(dòng)(一) 課件（17張）

【建模案例】

測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度【目的】

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際測量高度問題,體驗(yàn)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的完整過程.組織學(xué)生通過分組、合作等形式,完成選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié).【情境】

給出下面的測量任務(wù):(1)測量本校的一座教學(xué)樓的高度;(2)測量本校的旗桿的高度;(3)測量學(xué)校院墻外的一座不可及,但在學(xué)校操場上可以看得見的物體的高度.可以每2~3個(gè)學(xué)生組成一個(gè)測量小組,以小組為單位完成,并填寫測量報(bào)告表.測量課題報(bào)告表項(xiàng)目名稱:

完成時(shí)間:

1.成員與分工姓名分工2.測量對象例如,某小組選擇的測量對象是:旗桿、教學(xué)樓、校外的大廈.3.測量方法(請說明測量原理、測量工具、創(chuàng)新點(diǎn)等)4.測量數(shù)據(jù)、計(jì)算過程或結(jié)果(可以另外附圖或附頁)5.研究結(jié)果(包括誤差分析)6.簡述工作感受【活動(dòng)過程】

教師可以對學(xué)生的工作流程提出如下要求和建議:(1)成立項(xiàng)目小組,確定工作目標(biāo),準(zhǔn)備測量工具;(2)小組成員查閱有關(guān)資料,進(jìn)行討論交流,尋求測量效率高的方法,設(shè)計(jì)測量方案(最好設(shè)計(jì)兩套測量方案);(3)分工合作,明確責(zé)任.例如,測量、記錄數(shù)據(jù)、計(jì)算求解、撰寫報(bào)告的分工等;(4)撰寫報(bào)告,討論交流.可以用照片、模型、PPT等形式展現(xiàn)獲得的成果.根據(jù)上述要求,每個(gè)小組要完成以下工作:(1)選題(2)開題可以在課堂上組織開題交流,讓每一個(gè)項(xiàng)目小組陳述初步測量方案,教師和其他同學(xué)可以提出質(zhì)疑.例如:如果有學(xué)生提出要通過測量仰角計(jì)算高度,教師可以追問:怎么測量?用什么工具測量?目的是提醒學(xué)生,事先設(shè)計(jì)出有效的測量方法和選用實(shí)用的測量儀器.如果有學(xué)生提出要通過測量太陽的影長計(jì)算高度,教師可以追問:幾時(shí)測量比較好?如果學(xué)生提出比較測量物和參照物的影長時(shí),教師可以追問:是同時(shí)測量好,還是先后測量好?目的是提醒學(xué)生注意測量的細(xì)節(jié).如果有學(xué)生提出用照相機(jī)拍一張測量對象和參照物(如一個(gè)已知身高的人)的合影,通過參照物的高度按比例計(jì)算出樓的高度.教師可以追問:參照物應(yīng)該在哪里?與測量對象是什么位置關(guān)系?目的是提醒學(xué)生注意現(xiàn)實(shí)測量與未來計(jì)算的關(guān)聯(lián).在討論的基礎(chǔ)上,項(xiàng)目小組最終形成各自的測量方案.討論的目的是讓學(xué)生仔細(xì)想清楚測量過程中將使用的數(shù)學(xué)模型,這樣可以減少實(shí)踐過程中的盲目性,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣;同時(shí)可以讓學(xué)生意識(shí)到,看似簡單的問題,也有許多認(rèn)真思考、認(rèn)真對待的東西,促進(jìn)科學(xué)精神的形成.(3)做題依據(jù)小組的測量方案實(shí)施測量.盡量安排各個(gè)小組在同一時(shí)間進(jìn)行測量,這樣有利于教師的現(xiàn)場觀察和管理.老師需要提醒學(xué)生:要有分工、合作、責(zé)任落實(shí)到個(gè)人.在測量過程中,老師要認(rèn)真巡視,記錄那些態(tài)度認(rèn)真、合作默契、方法恰當(dāng)?shù)臏y量小組和個(gè)人,供講評時(shí)使用.特別要注意觀察和發(fā)現(xiàn)測量中出現(xiàn)的問題,避免因測量方法不合理產(chǎn)生較大誤差,當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)類似問題時(shí),教師要把問題看做極好的教育契機(jī),啟發(fā)學(xué)生分析原因,引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)出問題的原因,尋求解決問題的辦法.(4)結(jié)題在每一位學(xué)生都完成了“測量報(bào)告”后,可以安排一次交流講評活動(dòng).遴選的交流報(bào)告最好有鮮明的特點(diǎn),如測量結(jié)果準(zhǔn)確,過程完整清晰,方法有創(chuàng)意,誤差處理得當(dāng),報(bào)告書寫規(guī)范等;或者測量的結(jié)果出現(xiàn)明顯誤差,使用的方法不當(dāng).交流講評往往是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中最為重要的環(huán)節(jié),可以使學(xué)生在這一過程中相互借鑒,共同提高.【建立模型】測量不可及“理想大廈”的方法1.兩次測角法(1)測量并記錄測量工具距離地面hm;(2)用大量角器,將一邊對準(zhǔn)大廈的頂部,計(jì)算并記錄仰角α;(3)后退am,重復(fù)(2)中的操作,計(jì)算并記錄仰角β;其中α,β,a,h如圖所示.2.鏡面反射法(1)將鏡子(平面鏡)置于平地上,人后退至從鏡中能夠看到房頂?shù)奈恢?測量人與鏡子的距離;(2)將鏡子后移am,重復(fù)(1)中的操作;其中a1,a2是人與鏡子的距離,a是兩次觀測時(shí)鏡面之間的距離,h是人的“眼高”,如圖所示.根據(jù)光的反射原理,利用相似三角形的性質(zhì)聯(lián)立方程組,可以得到這個(gè)公式.【檢驗(yàn)結(jié)果】記錄實(shí)際測量數(shù)據(jù)并計(jì)算結(jié)果,測量誤差簡要分析.(1)兩次測角法實(shí)際測量數(shù)據(jù):

第一次第二次仰角67°52°后退距離為25m,人的“眼高”為1.5m,計(jì)算可得理想大廈的高度約為71.5m,結(jié)果與期望值(70m~80m)相差不大.誤差的原因是鉛筆在紙板上畫出度數(shù)時(shí)不夠精確.減小誤差的方法是幾個(gè)人分別測量高度及仰角,再求平均值,誤差就能更小.(2)鏡面反射法實(shí)際測量數(shù)據(jù):

第一次第二次人與鏡子的距離3.84

m3.91

m鏡子的相對距離10m,人的“眼高”為1.52m.計(jì)算可得理想大廈的高度約為217m,結(jié)果與期望值相差較大.產(chǎn)生誤差有以下幾點(diǎn)原因:鏡面放置不能保持水平;兩次放鏡子的相對距離太短,容易造成誤差;人眼看鏡內(nèi)物像時(shí),兩次不一定都看準(zhǔn)鏡面上的同一個(gè)點(diǎn);人體不一定在兩次測量時(shí)保證高度不變.綜上所述,要做到?jīng)]有誤差很難,但可以通過某些方式使誤差更小,我們準(zhǔn)備用更多的測量方法找出理想的結(jié)果.對上面的測量報(bào)告,教師和同學(xué)給出評價(jià).例如,對測量方法,教師和同學(xué)評價(jià)均為“優(yōu)”,因?yàn)閷Σ豢杉暗臏y量對象選取了兩種可行的測量方法;對測量結(jié)果,教師評價(jià)為“良”,同學(xué)評價(jià)為“中”,因?yàn)閮煞N方法得到的結(jié)果相差較大.對測量結(jié)果的評價(jià),教師和同學(xué)產(chǎn)生差異的原因是教師對測量過程的部分項(xiàng)目實(shí)施加分,包括對自制測量仰角的工具等因素作了誤差分析;同學(xué)則進(jìn)一步分析產(chǎn)生誤差的主要原因,包括:(1)測量工具問題.兩次測角法的同學(xué),自制量角工具比較粗糙,角度的刻度誤差較大;鏡面反射法的同學(xué),選用的鏡子尺寸太大,造成鏡間距測量有較大誤差.(2)間距差的問題.這是一個(gè)普遍的問題.間距差a的值是測量者自己選定的,因?yàn)闆]有較長的卷尺測量距離,有的同學(xué)甚至選間距差a是1m.由于間距太小,兩次測量的角度差