2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 第六章　§4　用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征 課件（40張）

激趣誘思應(yīng)屆畢業(yè)生王剛想找一份年薪8萬元的工作.有一位招聘員告訴王剛:“我們公司50名員工中,最高年收入達(dá)到了100萬元,他們平均年收入是10萬元,加盟我們公司吧.”根據(jù)以上信息,能否判斷王剛可以成為此公司的一名高收入者?如果招聘員繼續(xù)告訴王剛:“員工年收入的變化范圍是從7萬元到100萬元.”這個(gè)信息是否可以促使王剛做出決定?知識(shí)點(diǎn)撥一、樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(1)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).若有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相等且都最多,則這些數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);若一組數(shù)據(jù)中,每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣,則這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).(2)中位數(shù)一般地,將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,“中間”的那個(gè)數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).提示當(dāng)數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),位于最中間位置的數(shù)就是中位數(shù);當(dāng)數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)時(shí),位于最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).(3)平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均值,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為名師點(diǎn)析

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)(1)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);(2)容易計(jì)算(1)它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;(2)無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)(1)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響;(2)容易計(jì)算,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)波動(dòng)越大,對(duì)平均數(shù)的影響也越大2.極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度.(1)極差:數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差.(3)標(biāo)準(zhǔn)差

名師點(diǎn)析

計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟計(jì)算樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差的算法如下:第一步:算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

;第二步:算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi-

(i=1,2,…,n);第三步:算出第二步中xi-

(i=1,2,…,n)的平方;第四步:算出第三步中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差;第五步:算出第四步中平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.微練習(xí)1已知一組數(shù)據(jù)10,30,50,50,60,70,80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是(

)A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)解析由所給數(shù)據(jù)可得平均數(shù)為50,中位數(shù)為50,眾數(shù)為50,因此眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù).答案D微思考1怎樣由頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)?提示(1)在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的小長(zhǎng)方形的中點(diǎn).(2)在樣本中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù),因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等.(3)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.微練習(xí)2從一堆蘋果中任取5個(gè),稱得它們的質(zhì)量如下(單位:克):125

124

121

123

127則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s=

(用數(shù)字作答).

答案2微練習(xí)3(2020全國(guó)3,理3)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且

,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(

)A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2解析四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)據(jù)都具有對(duì)稱性,平均數(shù)均為2.5,其中B選項(xiàng)的數(shù)據(jù)中,極端值最多,數(shù)據(jù)波動(dòng)程度最大,故選B.答案B微思考2平均數(shù)與方差有哪些性質(zhì)?提示若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

,方差為s2,則:(1)ax1,ax2,…,axn的平均數(shù)為a,方差為a2s2;(2)x1+b,x2+b,…,xn+b的平均數(shù)為

+b,方差為s2;(3)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均數(shù)為a+b,方差為a2s2.二、分層隨機(jī)抽樣的均值與方差1.分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)(1)定義:一般地,將樣本a1,a2,…,am和樣本b1,b2,…,bn合并成一個(gè)新樣本,則這個(gè)新樣本的平均數(shù)為2.分層隨機(jī)抽樣的方差

微練習(xí)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽,甲射擊6次,成績(jī)分別為10,9,8,7,8,6;乙射擊4次,成績(jī)分別為9,8,9,10.則甲、乙兩人共射擊10次的平均成績(jī)和方差分別是多少?三、百分位數(shù)p分位數(shù):一般地,當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí),給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈(0,1),總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn):總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p.微練習(xí)求數(shù)據(jù)11,17,19,21,22,24,24,30,30,32的60%分位數(shù).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法例1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭?成績(jī)/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).(結(jié)果精確到0.01)解在17個(gè)數(shù)據(jù)中,1.75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.題目中表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的,其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù),即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是反思感悟

中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)中位數(shù)、眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”,平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平,我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.(1)求中位數(shù)的關(guān)鍵是將數(shù)據(jù)排序,一般按照從小到大的順序排列.中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響.中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所給數(shù)據(jù)中.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí),可用中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(2)確定眾數(shù)的關(guān)鍵是統(tǒng)計(jì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù),頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)就是眾數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí),眾數(shù)往往更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(3)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都有關(guān),受個(gè)別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))的影響較大,因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù),平均數(shù)對(duì)總體估計(jì)的可靠性較差,這時(shí)往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計(jì)總體.有時(shí)也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計(jì)總體.變式訓(xùn)練

1(1)16位參加百米賽跑半決賽同學(xué)的成績(jī)各不相同,按成績(jī)?nèi)∏?位進(jìn)入決賽.如果小劉知道了自己的成績(jī)后,要判斷能否進(jìn)入決賽,則其他15位同學(xué)成績(jī)的下列數(shù)據(jù)中,能使他得出結(jié)論的是(

)A.平均數(shù) B.極差 C.中位數(shù) D.方差(2)已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為-1,0,4,x,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,那么該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

,平均數(shù)是

.

解析(1)判斷能否進(jìn)入決賽,只要判斷是不是前8位,所以只要知道其他15位同學(xué)的成績(jī)中是不是有8位高于他,也就是把其他15位同學(xué)的成績(jī)排列后看第8位的成績(jī)即可,小劉的成績(jī)高于這個(gè)成績(jī)就能進(jìn)入決賽,低于這個(gè)成績(jī)就不能進(jìn)入決賽,這個(gè)第8位的成績(jī)就是這15位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù).答案(1)C

(2)6

5探究二方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算及應(yīng)用例2甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)為:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.反思感悟

標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的兩個(gè)作用(1)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.(2)在實(shí)際應(yīng)用中,常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策.在平均值相等的情況下,比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性.變式訓(xùn)練

2(1)(2020全國(guó)3,文4)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:

,其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,則t*約為(ln19≈3)(

)A.60 B.63 C.66 D.69(2)已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10,標(biāo)準(zhǔn)差是,則xy=

.

得-0.23(t*-53)=-ln

19≈-3,所以t*≈66.(2)由平均數(shù)得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.故填96.答案(1)C

(2)96探究三求百分位數(shù)例3給出下列一組數(shù)據(jù):18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,求出45%分位數(shù).解因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為10,而且10×45%=4.5,因此該組數(shù)據(jù)的45%分位數(shù)為x5=21.要點(diǎn)筆記

p(p∈(0,1))分位數(shù)的確定方法設(shè)一組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后為x1,x2,…,xn,計(jì)算i=np%的值,如果i不是整數(shù),設(shè)i0為大于i的最小整數(shù),取

為p分位數(shù);如果i是整數(shù),取

為p分位數(shù).延伸探究求出本例中80%的分位數(shù).素養(yǎng)形成樣本的數(shù)字特征的意義及綜合應(yīng)用典例(1)據(jù)了解,某公司的33名職工月工資(單位:元)如下.職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資110001000090008000650055004000該公司職工月工資的平均數(shù)為

(結(jié)果精確到1),中位數(shù)為

,在這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中,

更能反映這個(gè)公司員工的工資水平.

(2)某高中從參加學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.則這次數(shù)學(xué)測(cè)試的眾數(shù)是

,中位數(shù)是

(結(jié)果精確到0.1).

解析(1)把工資數(shù)據(jù)由小到大排列,得到中位數(shù)為4

000.所以中位數(shù)更能反映該公司員工的工資水平,平均數(shù)受少數(shù)人工資額的影響較大,不能反映這個(gè)公司員工的工資水平.設(shè)中位數(shù)為x,前三個(gè)矩形面積之和為0.4,第四個(gè)矩形面積為0.3,因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi),由0.1=0.03(x-70),得x≈73.3.答案(1)5333

4000

中位數(shù)

(2)75

73.3反思