第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題

第七章數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理定解問題包含兩個方面:1.數(shù)學(xué)物理方程(又稱為泛定方程)物理量在時空中的變化規(guī)律,并把它寫成數(shù)學(xué)形式即為數(shù)學(xué)物理方程.它反映了同一類物理問題的共性.2.定解條件(包括初始條件與邊界條件)對具體的實際問題,我們必須考慮體系邊界條件的約束與初始狀態(tài)對具體物理問題演化的影響.它反映了具體物理問題的個性.在求解一具體物理問題時,我們就需要寫出研究的物理量滿足的數(shù)學(xué)物理方程與定解條件,即寫出了定解問題,接下來就是求解問題.7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程的步驟:1.首先要確定研究的物理量u.2.分折體系中任意一小的部分,根據(jù)物理規(guī)律,研究它與鄰近部分的相互作用,(例如在力學(xué)中的隔離體法等)抓住主要矛盾,略去次要因素.(在數(shù)學(xué)上為略去高階小量)3.然后再把物理量u隨時間,空間的變化通過算式表示出來.——即得出數(shù)學(xué)物理方程.(一)均勻弦的微小橫振動

1)確定弦上點的橫向位移為研究的物理量u,它是位置x與時間t的函數(shù),故u=u(x,t)2)把弦看一個連續(xù)分布的質(zhì)點系,取其中x→x+Δx一段,用隔離體法.uT2

T1x

XX+ΔX(4)式稱為一維波動方程,其它的一些波動方程.2.均勻桿的縱振動,滿足的數(shù)學(xué)物理方程為(4)式.3.二維的簿膜振動,例如我們敲的鼓振動滿足二維的波動方程:4.三維的波動方程:utt－a2Δu=0(6)5.真空中電磁波的波動方程:(二)連續(xù)性方程

下面我們將考慮物理上守恒量滿足的方程.以電荷守恒為例,對空間任一區(qū)域單位時間內(nèi)區(qū)域內(nèi)電荷的減少量等于表面流出的電量：（1）式稱為連續(xù)性方程,一般對具體的物理過程其守恒量都滿足(1),例如對擴散問題而不牽涉到化學(xué)反應(yīng),質(zhì)量守恒,對純熱傳導(dǎo)熱能守恒.當(dāng)有化學(xué)反應(yīng)與熱源時,（1)應(yīng)用到輸運現(xiàn)象時應(yīng)修正為:

ν為單位體積單位時間內(nèi)的產(chǎn)生率.

：

(三)輸運方程輸運現(xiàn)象主要包括：熱傳導(dǎo)與擴散現(xiàn)象.對熱傳導(dǎo)與擴散現(xiàn)象由實驗得出的唯象理論是相同的,對擴散問題其物質(zhì)濃度u(x,y,z,t)與擴散的物質(zhì)流q之間關(guān)系為:q=－D▽u(1)（其中D為常數(shù)）同樣對熱傳導(dǎo)問題其溫度分布u(x,y,z,t)與熱流q之間關(guān)系為:q=－k▽u(2)（其中k為常數(shù)）且在僅是熱傳導(dǎo)與擴散時,熱能與某種物質(zhì)的質(zhì)量守恒,把（1）與（2）代入連續(xù)性方程可得出輸運方程.ut－a2Δu=0（3）

歷史上在研究235U的鏈式反應(yīng)時,通過對中子濃度u產(chǎn)生率與u成正比.得出中子濃度u滿足的方程為:并由此方程求出了鈾的臨界體積,且與后來的實際結(jié)果相符.

(四)Laplace方程對穩(wěn)定的輸運現(xiàn)象,ut=0輸運方程就變?yōu)椋?/p>

Δu=0（1）（1）式為Laplace方程.另外對靜電場的電勢u滿足方程為：

Δu=－ρ/ε（2）（2）為泊松方程,在沒有電荷處ρ=0,泊松方程就變?yōu)長aplace方程.一般也可把Laplace方程看成是齊次的泊松方程.當(dāng)有源時輸運方程可變?yōu)椋簎t

－a2Δu=f(x,y.z.t)（3）

(五)其他的一些數(shù)學(xué)物理方程1.理想流體的歐拉方程2.kdv方程ut+σuux＋uxxx=0上述兩方程都是非線性方程,而本課程主要講授線性方程的求解.

(六)三類數(shù)學(xué)物理方程1.波動方程:utt－a2Δu=f(r,t)(1)一維形式utt－a2uxx=f(x,t).其中f(x,t)=F(x,t)/ρ,F(x,t)為單位長度所受外力.2.輸運方程:ut－a2Δu=f(r,t)(2)utt－a2uxx=f(x,t)3.泊松方程:

Δu=f(r