高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.5.1直線與圓的位置關(guān)系第2課時(shí)直線與圓的方程的應(yīng)用課件新人教版選修1

2.5.1

直線與圓的位置關(guān)系第2課時(shí)

直線與圓的方程的應(yīng)用課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.能用直線和圓的方程解決一些簡單的實(shí)際問題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.體會用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”,提升直觀想象素養(yǎng).3.能根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決一些最值問題,提升直觀想象素養(yǎng).知識概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”:第一步:建立

適當(dāng)?shù)?/p>

平面直角坐標(biāo)系,用

坐標(biāo)和方程

表示問題中的幾何要素,如點(diǎn)、直線、圓,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為

代數(shù)問題

;

第二步:通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題;第三步:把

代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果

“翻譯”成幾何結(jié)論.

微思考用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí),能隨意建立坐標(biāo)系嗎?提示:不能.課堂·重難突破一

直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用典例剖析1.如圖,某市有相交于點(diǎn)O的一條東西走向的公路l,與南北走向的公路m,這兩條公路都與一塊半徑為1千米的圓形商城A相切.根據(jù)市民建議,欲再新建一條公路PQ,點(diǎn)P,Q分別在公路l,m上,且要求直線PQ與圓形商城A也相切.(1)當(dāng)點(diǎn)P距點(diǎn)O4千米時(shí),求OQ的長;(2)當(dāng)公路PQ最短時(shí),求OQ的長.解:(1)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),直線l,m分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)PQ與圓A相切于點(diǎn)B,連接AB,以1千米為單位長度,則圓A的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,規(guī)律總結(jié)1.解決直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用題的步驟

2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個(gè)原則

(1)若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.

(2)常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).

(3)盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.學(xué)以致用1.一座圓拱橋的截面圖如圖所示,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為

m.解析:如圖,以圓拱橋橋洞頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過該頂點(diǎn)的豎直直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)圓心為C,圓的方程為x2+(y+r)2=r2(r>0),水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,則A(6,-2),將點(diǎn)A(6,-2)的坐標(biāo)代入圓的方程,得r=10,即圓的方程為x2+(y+10)2=100.當(dāng)水面下降1

m后,水面所在弦的端點(diǎn)為A',B',可設(shè)點(diǎn)A'(x0,-3)(x0>0),將點(diǎn)A'(x0,-3)的坐標(biāo)代入圓的方程,二

與圓有關(guān)的最值問題典例剖析2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)y-x的最大值和最小值;(2)的最大值和最小值.互動(dòng)探究1.(變問法)本例中,條件不變,求|x+y+2|的取值范圍.2.(變條件)本例中,實(shí)數(shù)x,y滿足的方程“x2+y2-4x+1=0”改為“x2+y2-4x+1=0(y≥0)”,再求(1).解:方程x2+y2-4x+1=0(y≥0)可化為(x-2)2+y2=3(y≥0),它表示圓(x-2)2+y2=3的上半部分.令y-x=b,即y=x+b,則b為直線y=x+b在y軸上的截距.三

過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程典例剖析3.求過直線2x+y+4=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn),且面積最小的圓的方程.解:設(shè)過圓x2+y2+2x-4y+1=0與直線2x+y+4=0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,整理得x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+1+4λ=0.要使圓的面積最小,只需圓的半徑r最小.規(guī)律總結(jié)解答此類問題一般有兩種方法

(1)聯(lián)立方程組,求出交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求方程.

(2)設(shè)圓系方程確定參數(shù).一般地,過直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零)與圓O:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,但注意系數(shù)λ一定要寫在直線方程之前.學(xué)以致用2.已知一圓過圓x2+y2-2x=0與直線x+2y-3=0的交點(diǎn),且圓心在y軸上,則這個(gè)圓的方程是

.

答案:x2+y2+4y-6=0解析:由題意設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.故所求圓的方程為x2+y2+4y-6=0.隨堂訓(xùn)練1.方程x2+y2=1(-1≤x≤0)所表示的圖形是(

)A.以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的上半圓B.以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的左半圓C.以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的下半圓D.以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的右半圓答案:B2.一輛卡車寬1.6m,若要經(jīng)過一個(gè)半圓形隧道(半徑為3.6m),則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過(

)A.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0m答案:B解析:如圖,圓的半徑|OA|=3.6

m,卡車寬|AC|=1.6

m,所以|AB|=0.8

m,所以弦心距|OB|=≈3.5(m).故這輛卡片的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過3.5

m.3.設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路所在直線的方程可用x-y+2=0表示,則從村莊外圍到小路的最短距離為

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4.某操場400m跑道的直道長為86.96m,彎道是兩個(gè)半圓弧,半徑為36m,以操場中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系