麥克斯韋速率分布

§2.3麥克斯韋速率分布平衡態(tài)時(shí)，是只決定于溫度的物理量任意分子任意時(shí)刻的動(dòng)能、速率各不相同，在很大范圍內(nèi)變動(dòng)?？梢姡河捎诜肿娱g的頻繁碰撞，任一分子在任一瞬時(shí)所具有的速度是完全偶然的，但是由大量分子組成的整體（每個(gè)分子具有某種速度這個(gè)偶然事件的集合）在一定溫度下，就表現(xiàn)為其速度或速率平方的平均值是確定的常數(shù)。這是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的反映。根據(jù)平均值的意義，這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律可以由氣體分子按速率的概率分布來描述，即著名的麥克斯韋分布率。麥克斯韋（JamesClerkMaxwell1831——1879)19世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在?！?873年，他的《電磁學(xué)通論》問世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律?！?.3.1分子射線束實(shí)驗(yàn)用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定麥?zhǔn)纤俾史植嫉膶?shí)驗(yàn)有很多。最早是德國(guó)物理學(xué)家斯特恩于1920年做的銀蒸氣分子射線束實(shí)驗(yàn)。后來不斷改進(jìn)，包括1934年葛正權(quán)測(cè)定鉍蒸汽分子速率分布，1955年精確驗(yàn)證麥?zhǔn)戏植悸实拿芾铡焓康你B蒸汽原子束實(shí)驗(yàn)。這里僅介紹朗繆爾的實(shí)驗(yàn)1.分子束又稱分子射線。平衡態(tài)由于氣體分子熱運(yùn)動(dòng)，會(huì)有少部分氣體分子從S縫中逸出，但因數(shù)量較少，并不影響A中氣體分子所處的平衡態(tài)。逸出氣體分子帶有容器中氣體分子運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的信息。測(cè)出逸出分子的速率分布，即可得到容器內(nèi)氣體分子隨速率的分布情況。但二者不相等。

3.實(shí)驗(yàn)原理

2.朗繆爾實(shí)驗(yàn)裝置由于凹槽有一定寬度，因而速度選擇器選擇的不是某一個(gè)速率大小，而是某一個(gè)速率范圍：v~v+?v令N表示單位時(shí)間內(nèi)穿過第一個(gè)凹槽進(jìn)入速度選擇器的總分子數(shù)，?N表示速率在v~v+?v

范圍的分子數(shù)，即從速度選擇器射出被探測(cè)器探得的分子數(shù)則在總分子中分子速率介于v~v+?v

的分子的概率為：當(dāng)?v→0時(shí)，即得分子速率分布的概率密度函數(shù)：相應(yīng)地，分子速率介于v~v+dv的概率即為：在總分子中分子速率介于v~v+?v

的分子的概率為：分子速率介于v~v+dv的概率即為：當(dāng)?v→0時(shí)，即得分子速率分布的概率密度函數(shù)：例如，取則圖中每一細(xì)長(zhǎng)條面積均表示單位時(shí)間內(nèi)射出的分子束中。分子速率介于相應(yīng)速率區(qū)間的概率?N/N

當(dāng)?v→0時(shí)，得到一條光滑曲線，稱分子束速率分布曲線當(dāng)?v→0時(shí)，得到一條光滑曲線，稱分子束速率分布曲線其中在速率區(qū)間v~v+dv的細(xì)條面積，表示分子速率介于速率區(qū)間v~v+dv的概率4.說明：分子束速率分布與真空加熱爐中的金屬蒸汽分子速率分布不相等?！?.3.2麥克斯韋速率分布早在1859年，英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋由概率論、統(tǒng)計(jì)力學(xué)確定了氣體按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即麥克斯韋速率分布，有3種表述方法：⑴具有N個(gè)分子的氣體處于平衡態(tài)(P,V,T)時(shí)，以容器為參考系的速率分布函數(shù)為：⑵N個(gè)分子的氣體處于平衡態(tài)時(shí)，以容器為參考系，速率在v~v+dv間的平均分子數(shù)等于：⑶N個(gè)分子的氣體處于平衡態(tài)，以容器為參考系速率在v~v+dv間的分子占總分子數(shù)N的百分比（概率）麥克斯韋速率分布概率密度概率

即分子處于速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率1.麥?zhǔn)纤俾史植迹旱俾屎艽蠡蚝苄〉姆肿訑?shù)較少2.麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)曲線：⑴⑵曲線下的細(xì)窄條面積表示了分子出現(xiàn)在v~v+dv

區(qū)間段的概率⑶曲線下v1

~v2區(qū)間的陰影面積為：表示分子速率處于v1

~v2

區(qū)間的概率⑷對(duì)全部分子可出現(xiàn)的速率求和，即f(v)曲線下總面積：說明麥?zhǔn)纤俾史植际且?guī)一化的二、幾點(diǎn)說明：1.,實(shí)際上任何物體的運(yùn)動(dòng)速率都不會(huì)超出真空中的光速麥?zhǔn)戏植贾腥?~∞可以簡(jiǎn)化計(jì)算。2.只有當(dāng)定量氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子才有按速率的確定分布。因而麥?zhǔn)戏植歼m用于平衡態(tài)氣體。分子間的碰撞是處于平衡態(tài)的氣體分子具有確定速率分布的原因。3.稱概率密度取極大值時(shí)的速率為最概然速率vp，也稱最可幾速率

意義：若把整個(gè)可能的速率范圍分為許多等間隔的小區(qū)間，則在最可幾速率vp所在區(qū)間中分子數(shù)所占比率最大。3.稱概率密度取極大值時(shí)的速率為最概然速率vp，也稱最可幾速率⑴溫度升高時(shí)分布曲線的極大值向速率大的區(qū)域移動(dòng)；分布曲線下的總面積=，是常量。同時(shí)，其高度必然降低

⑵同樣溫度下，重的分子運(yùn)動(dòng)得慢，因而重的分子中速率小的分子所占比重大分子質(zhì)量增加時(shí)分布曲線的極大值向速率小的區(qū)域移動(dòng)；同時(shí)，其高度必然升高⑶最可幾速率僅決定于所考察氣體的種類和氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度4.麥克斯韋速率分布本身是統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果，因而理論上必須使之應(yīng)用于大數(shù)粒子。但實(shí)際上可以用于處于平衡態(tài)的一切宏觀容器中的理想氣體。5.公式可以采用量綱來幫助記憶。6.混合氣體的分子沒有統(tǒng)一的速率分布。但組成混合氣體的各組分分別遵守各自的麥?zhǔn)戏植悸剩鹤⒁饣旌蠚庵懈鹘M分的麥?zhǔn)戏植悸什灰粯?，但有一點(diǎn)一定相同：混合氣達(dá)到平衡后，各組分的溫度T必然相同。7.統(tǒng)計(jì)物理證明，麥?zhǔn)戏植悸什粌H適用于理氣，也適用于一般氣體、液體、固體及在恒定外場(chǎng)中的經(jīng)典系統(tǒng)，只要系統(tǒng)的能量可寫成：分子的動(dòng)量分量分子間相互作用的能量及在外場(chǎng)中的勢(shì)能之和廣義坐標(biāo)氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋速率分布律。三、三種速率利用附錄公式：（二）方均根速率vrms：（三）最概然速率vp：（四）三種速率之比：（一）平均速率：1.前面討論理想氣體

和

P時(shí)曾用到vrms

v但應(yīng)用該近似后，數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單得多誤差8.5%2.三種速率各有用處：vp

討論速率分布時(shí)用到vrms

討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用到v

討論分子平均自由程、

時(shí)用到注意3.若所給速率分布不是麥克斯韋速率分布，則但由前面知，例1．速率分布函數(shù)的物理意義為：（Ａ）具有速率v的分子占總分子數(shù)的百分比．（Ｂ）速率分布在v

附近的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比．（Ｃ）具有速率v的分子數(shù)．（Ｄ）速率分布在v

附近的單位速率間隔中的分子數(shù)．

解：（Ｂ）若用N表示一定量氣體的總分子數(shù)，dN表示速率分布在v~v+dv區(qū)間的分子數(shù)，則f(v)可以寫成：例2：下列各式的物理意義分別為:(1)(2)(3)(4)速率在v附近dv

間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。分布在速率v附近dv間隔內(nèi)的分子數(shù)。分布在速率區(qū)間v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分布在速率v1→v2區(qū)間的分子數(shù)或：分子速率介于v~v+dv

的概率或：分子速率介于v~v+dv

內(nèi)的分子數(shù)或：分子速率介于v1→v2內(nèi)的概率(5)分布在速率v1→v2區(qū)間內(nèi)的分子的速率總合與總分子數(shù)之比分布在速率v1→v2區(qū)間內(nèi)的分子的速率總合例3．已知分子總數(shù)為N

，它們的速率分布函數(shù)為f(v)，則速率分布在區(qū)間v1→v2內(nèi)的分子的平均速率為

（A）（C）（B）（D）解：（B）例4．在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數(shù)為f(v)、分子質(zhì)量為m、最可幾速率為vp，試說明下列各式的物理意義：

表示________________；

表示______________．分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值分布在速率區(qū)間的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的比率，或：分子速率介于vp→∞

內(nèi)的概率

例5.下圖為同一種氣體處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對(duì)應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對(duì)應(yīng)的是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？解：(1)T1<

T2(2)紅：氧

綠：氫f(v)vT1T2例6氦氣的速率分布曲線如圖所示.解：求(2)

氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率(1)

試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，

例7有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)速率分布曲線并求常數(shù)

a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)解求(1)由歸一化條件得Oa(2)因?yàn)樗俾史植记€下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子與總分子數(shù)的比率，所以因此，

v>v0

的分子數(shù)為

(2N/3)同理

v<v0

的分子數(shù)為

(N/3)時(shí)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為Oa例8根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解：例9根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有證：?。簐=vp，有：例10金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有N個(gè)電子，其中電子的最大速率為vm，設(shè)電子速率在v~v+dv

之間的幾率為式中A

為常數(shù)解：求：該電子氣的平均速率因?yàn)殡娮铀俾史植純H在（0，vm）區(qū)間，所以例11.試計(jì)算27℃下的氧氣分子的三種速率.解:Mm=0.032kg/mol,T=273+27=300K可見在相同溫度下:例12.有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為:1.作速率分布曲線。2.由N和vo求常數(shù)C。3.求粒子的平均速率。4.求粒子的方均根速率。Cvovo解：例13.說明麥?zhǔn)戏植贾?，在方均根速率附近的某一小速率區(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù)隨氣體溫度升高而減小解：麥?zhǔn)纤俾史植迹悍骄俾剩涸诜骄俾矢浇哪骋恍∷俾蕝^(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù)為：可見分子數(shù)隨氣體溫度升高而減小例14.⑴某氣體在平衡溫度T2時(shí)的最概然速率與其在平衡溫度T1

時(shí)的方均根速率相等，求：T1：T2

⑵已知該氣體壓強(qiáng)p，密度

。試導(dǎo)出方均根速率表達(dá)式解：⑴

⑵

例15.有N個(gè)假想的氣體分子，其速率分布如圖。當(dāng)v>5v0時(shí)分子數(shù)為零。

⑴根據(jù)N和v0，求常數(shù)a的值⑵求速率在2v0～3v0間隔內(nèi)的分子數(shù)⑶求分子的平均速率解：⑴速率分布可表示為：由規(guī)一化條件：則：⑵速率在2v0～3v0間隔內(nèi)的分子數(shù)⑶分子的平均速率7－5麥克斯韋氣體速率分布律引言：氣體分子處于無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律——?dú)怏w速率分布律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是有麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。一、測(cè)定氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)裝置O——蒸汽源S——分子束射出方向孔R(shí)——長(zhǎng)為l、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼滾筒D——檢測(cè)器，測(cè)定通過細(xì)槽的分子射線強(qiáng)度2、實(shí)驗(yàn)原理當(dāng)圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時(shí)間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過S達(dá)到D3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常??；在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；改變氣體的種類或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)。二、麥克斯韋氣體分子速率分布律速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)間

v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)，

dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實(shí)驗(yàn)規(guī)律：dN/N

是

v

的函數(shù)；當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大），dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。1、速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)物理意義：速率在

v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。表示速率分布在v→v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率表示速率分布在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率速率分布曲線歸一化條件2、麥克斯韋速率分布律在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任一速率區(qū)間

v~v+dv

的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速率分布函數(shù)m——分子的質(zhì)量T——熱力學(xué)溫度k——玻耳茲曼