2022年高考數(shù)學(xué)考前必記知識(shí)必會(huì)結(jié)論易錯(cuò)剖析大全

良好的心態(tài)是穩(wěn)定發(fā)揮乃至超常發(fā)揮的前提.考前這幾天，最明智的做法就是回歸基礎(chǔ)，

鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力；最有效的心態(tài)調(diào)節(jié)方法就是每天練一組基礎(chǔ)小題——做到保溫訓(xùn)練

手不涼，每天溫故一組基礎(chǔ)知識(shí)——做到胸中有糧心不慌.

一集合與常用邏輯用語(yǔ)

「必記知識(shí)」

I集合

(1)集合的運(yùn)算性質(zhì)

(2)子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式

對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為

2",2"-1,2"—1,2"—2.

(3)集合運(yùn)算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；

若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解.

2.含有一個(gè)量詞的命題的否定

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，如下所述：

命題命題的否定

PxGM,p(x)->p(x)

p(x)YXRM,->/?(%)

I提醒I由于全稱量詞命題經(jīng)常省略量詞，因此，在寫這類命題的否定時(shí)，應(yīng)先確定其中

的全稱量詞，再改寫量詞和否定結(jié)論.

3.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法

命題

真假判斷方法一判斷方法二

名稱

全稱量真所有對(duì)象使命題真否定命題為假

詞命題假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定命題為真

存在量真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定命題為假

詞命題假所有對(duì)象使命題假否定命題為真

「必會(huì)結(jié)論」

1.集合運(yùn)算的重要結(jié)論

(DAABUA,AABUB；AU(AUB)；ALM=A,AU0=A,AUB=BUA；APIA

=A,AC\e=0,AClB=BnA.

(2)若AUB,則AAB=4；反之，若AAB=A,則AUB.若AUB,貝l]AUB=B；反之，若AUB

=B,則AU8.

⑶An((M)=0,AU([uA)=U,Cu(CuA)=A.

(4)0^^15)=([^)0([^),CMAU8)=(CuA)n((uB).

2.一些常見詞語(yǔ)的否定

正面正面

否定正面詞語(yǔ)否定否定

詞語(yǔ)詞語(yǔ)

等于不等于

是不是任意的存在一個(gè)

(=)(W)

不大于(小不都是(至

大于

于或等于，都是少有一個(gè)所有的存在一個(gè)

(>)

即"W”)不是)

不小于(大

小于至多有至少有

于或等于，且或

(<)一個(gè)兩個(gè)

即“》”)

至少有一個(gè)也沒(méi)

全為不全為或且

一個(gè)有

3.充分條作卜與必要條件的三種卜判定方法

⑴定義法：正、反方向推理，若p=q,則夕是q的充分條件(或q是p的必要條件)：若p=q,

且qNp,則。是4的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件).

(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，若AU8,則A是8的充分條件(B是A的必要

條件)；若4=B,則4是8的充要條件.

(3)等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題.

「易錯(cuò)剖析」

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視集合中元素的互異性

【突破點(diǎn)】求解集合中元素含有參數(shù)的問(wèn)題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值后，再根

據(jù)其互異性檢驗(yàn).

易錯(cuò)點(diǎn)2未弄清集合的代表元素

【突破點(diǎn)】集合的特性由元素體現(xiàn)，在解決集合的關(guān)系及運(yùn)算時(shí)，要弄清集合的代表元

素是什么.

易錯(cuò)點(diǎn)3遺忘空集

【突破點(diǎn)】空集是一個(gè)特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的原

因，在解題中常遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不全面.

易錯(cuò)點(diǎn)4忽視不等式解集的端點(diǎn)值

【突破點(diǎn)】進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，可以借助數(shù)軸，要注意集合中的“端點(diǎn)元素”在運(yùn)算時(shí)的

“取”與“舍”.

易錯(cuò)點(diǎn)5對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)

【突破點(diǎn)】由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進(jìn)行命題否定時(shí)易只否

定全稱量詞命題的判斷詞，而不否定被省略的全稱量詞.

「易錯(cuò)快攻」

易錯(cuò)快攻一遺忘空集

［典例1］設(shè)集合A={x|2WxW6},B={x|2mWxW〃?+3},若8UA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

［聽課筆記］

,一固易錯(cuò)快攻■■■■國(guó)，

注意空集的特殊性.由于空集是任何集合的子集，因此，本題中8=0時(shí)也滿足BU4.解含

有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意含參數(shù)的所給集合可能是空集的情況.空集是一個(gè)特殊的集合，

由于受思維定式影響，同學(xué)們往往在解題中易遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不全面.

易錯(cuò)快攻二對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)

［典例2］設(shè)命題p：3^<0,則10為（）

A.VxNO,9<1B.Vx<0,/<1

C.3x>0,x2<lD.3x<0,/<1

［聽課筆記1

,一⑹易錯(cuò)快攻■■■■---------------------------

本題易忽視對(duì)量詞的否定致錯(cuò).在對(duì)含有全稱量詞或存在量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，要先對(duì)

全稱量詞或存在量詞進(jìn)行否定：全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，

然后對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定.簡(jiǎn)記為：改量詞，否結(jié)論.

二不等式

「必記知識(shí)」

I.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步驟：一化（將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)）；二判（判斷A的符號(hào)）；三解（解

對(duì)應(yīng)的一元二次方程）；四寫（大于取兩邊，小于取中間）.

解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①二次項(xiàng)系

數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向：②判別式4,它決定根的情形，一般分4>0,1=0,/<0三

種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小.

2.一元二次不等式的恒成立問(wèn)題

(\)ax2+bx+c>0(a/0)恒成立的條件是｛'a>0/

4Vo.

⑵辦2+bx+c〈0(aW0)恒成立的條件是a<0/

4Vo.

3.分式不等式

黑>0(<0)句(x)g(x)>0(<0)：

儂-°<-0)，

。⑺Ig(x)=0.

I提醒］(1)不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出

錯(cuò).

(2)解形如一元二次不等式ax?+法+c>0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意

分a>0,a<0進(jìn)行討論.

(3)應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把緇<0直接轉(zhuǎn)化為/(x>g(x)W0,而

忽視g(x)#0.

4.利用基本不等式求最值

(1)對(duì)于正數(shù)x,y,若積xy是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2訴.

(2)對(duì)于正數(shù)x,y,若和x+y是定值s,則當(dāng)?時(shí)，積xy有最大值上5

(3)己知a,b,x,j,GRi,若ax+by=\,則有［+；=3+力>(：+；)=“+〃+?+學(xué)》a

2

+b+2\［ab=(<y/a+Vb).

(4)已知小b,x,yWRi,若?+：=1，則有x+y=(x+y),(?+；)=〃+〃+?+￡2〃+/?+

2Vab=(Va+y/b)2.

I提醒］利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等“，即：①所求

式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù)；②求積犯的最大值時(shí)，要看和x+.v是否為定值，求和x+y的最小

值時(shí)，要看積口是否為定值，求解需，常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧；③當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)

項(xiàng)相等時(shí)，才能取等號(hào).以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意，缺一不可.

「必會(huì)結(jié)論」

解不等式恒成立問(wèn)題的常用方法

(1)若所求問(wèn)題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項(xiàng)系數(shù)的

正負(fù)和判別式進(jìn)行求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

(2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問(wèn)題，一般的轉(zhuǎn)化原

理是：在閉區(qū)間。上，大x)》0恒成立=;(x)在區(qū)間。上的圖象在x軸上方或x軸上;五x)WO=;(x)

在區(qū)間。上的圖象在x軸下方或x軸上.

(3)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問(wèn)題，即

或“_/U)Wa”型不等式恒成立問(wèn)題，通常利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其一般的轉(zhuǎn)化原理是：益

在閉區(qū)間D上恒成立e/(x)min》a(xe。)；在閉區(qū)間D上恒成立

(4)分離參數(shù)法:將恒成立的不等式F(X,/M)20(或W0)(機(jī)為參數(shù))中的參數(shù)機(jī)單獨(dú)分離出來(lái)，

不等號(hào)一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，該方法主要適用于參數(shù)與變

量能分離和函數(shù)的最值易于求出的題目，其一般轉(zhuǎn)化原理是：當(dāng)〃？為參數(shù)時(shí)，g(M》./U)(在閉

區(qū)間。上恒成立)<=>g(〃?)宓X)m”(Xe￡));g(Mq(X)(在閉區(qū)間D上恒成立)Og("?)0(X)min(Xe/5).

「易錯(cuò)剖析」

易錯(cuò)點(diǎn)1不能正確應(yīng)用不等式性質(zhì)

【突破點(diǎn)】在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩

端同時(shí)爽以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)〃次方時(shí)，一定要

注意使其能夠這樣做的條件.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽視基本不等式應(yīng)用的條件

【突破點(diǎn)】(1)利用基本不等式a+b22癡以及變式(等了等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)

必注意”，匕為正數(shù)(或。，6非負(fù))，特別要注意等號(hào)成立的條件.

(2)對(duì)形如y=av+*a,b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ar,1同

_號(hào)_

易錯(cuò)點(diǎn)3解不等式時(shí)轉(zhuǎn)化不等價(jià)

【突破點(diǎn)】如求函數(shù)段>Jg(x)如0可轉(zhuǎn)化為Jx>Jg(x)>0或於)VgOLO,否則易出

錯(cuò).

易錯(cuò)點(diǎn)4解含參數(shù)的不等式時(shí)分類討論不當(dāng)

【突破點(diǎn)】解形如*+云+00的不等式時(shí)，首先要考慮對(duì)％2的系數(shù)進(jìn)行分類討論.當(dāng)

a=0時(shí)是一次不等式，解的時(shí)候還要對(duì)6?進(jìn)一步分類討論；當(dāng)a#0且/>0時(shí)，不等式可化

為a(x—xi)(%—%2)>0,再求解集.

易錯(cuò)點(diǎn)5不等式恒成立問(wèn)題處理不當(dāng)

【突破點(diǎn)】應(yīng)注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別，如對(duì)任意xe[a,勿都有./U)Wg(x)成立，

即火X)—g(x)W0的恒成立問(wèn)題，但對(duì)存在xG[a,b],使H》)Wg(x)成立，則為存在性問(wèn)題，可化

為./U)minWg(X)max,應(yīng)特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關(guān)系.

「易錯(cuò)快攻」

易錯(cuò)快攻一忽視基本不等式的應(yīng)用條件

[典例1]函數(shù)y=axl—3(a>0,aWl)過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線〃優(yōu)+町=—2(加>0,〃>0)

上，則三+三的最小值為()

tnn

A.3B.2V2

3+2-口3-2鼻

?2.2

I聽課筆記I

,一⑻易錯(cuò)快攻■■■■------)

應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)必須遵循“一正、二定、三相等”的順序.本題中求出T+〃=l

后，若采用兩次基本不等式，有如下錯(cuò)解：

三+〃=132欄,所以后S苧,高二傳①

又工+222,②

mnymn

所以上+三22注.選B.

mn

此錯(cuò)解中，①式取等號(hào)的條件是巴=”，②式取等號(hào)的條件是三=2即〃?=〃，兩式的等號(hào)不可

2mn

能同時(shí)取得，所以2夜不是三+三的最小值.

mn

【方法點(diǎn)津】

a2+b2a+bi-r2,

基本不等式加以引申，可得到如下結(jié)論：當(dāng)a^b>0時(shí)，>—>7ab>率

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)等號(hào)成立.其中稱絲為平方平均數(shù)、稱學(xué)為算術(shù)平均數(shù)、稱屬為幾何

平均數(shù)、稱匕為調(diào)和平均數(shù)，它們分別包含了兩個(gè)正數(shù)的平方之和a2+h\兩個(gè)正數(shù)之和a+h,

a+b

兩個(gè)正數(shù)之積。氏兩個(gè)正數(shù)的倒數(shù)之和工+:,只要已知這四個(gè)代數(shù)式的其中一個(gè)為定值，就可

ab

以求解另外三式的最值，應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)加以重視.

易錯(cuò)快攻二解含參數(shù)的不等式時(shí)分類不當(dāng)致誤

I典例2］己知函數(shù)公尸加2—x+a.

（1）若Vx>0,大x）20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

（2）己知實(shí)數(shù)aGR,解關(guān)于x的不等式

I聽課筆記］

（一⑹易錯(cuò)快攻■■■■，-----，

解含參數(shù)的不等式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：（1）二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式

的解集，不要忽略二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況；（2）解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分

解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論，若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要

做到不重不漏；（3）不同參數(shù)范圍的解集不能取并集，應(yīng)分類表述.

三函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

「必記知識(shí)」

1.函數(shù)的定義域和值域

(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法

①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍.

②若已知的定義域?yàn)椋踑,b］,則負(fù)g(x))的定義域?yàn)椴坏仁降慕饧?；反之，?/p>

知y(ga))的定義域?yàn)椋邸?，旬，則火工)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y=ga)ae［a，句)的值域.

(2)常見函數(shù)的值域

①一次函數(shù)y=Ax+b伏W0)的值域?yàn)镽.

②二次函數(shù)片0)：當(dāng)G>0時(shí)，值域?yàn)椋垠妙?8),當(dāng)。<0時(shí)，值域?yàn)?/p>

S.守a

③反比例函數(shù)y=%&W0)的值域?yàn)閧yGR|yW0}.

I提醒］(1)解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則.

(2)解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意與解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍.

2.函數(shù)的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，

都有人-x)=-Ax)成立，則7U)為奇函數(shù)(都有逐一x)=y(x)成立，則7U)為偶函數(shù)).

(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)犬x),如果對(duì)于定義域內(nèi)的

任意一個(gè)x的值，若4x+7)=/(x)(M0),則大x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.

I提醒1判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整

理，但必須注意使定義域不受影響.

3.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì).

①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)X”X2G［a,b］,

那么(加一足)［/UD-AX2)］>O"W3.)>O/X)在［a,b］上是增函數(shù)；

xl~x2

(X1-X2)［危|)一外2)］<()0色止g<0Q/(X)在⑷回上是減函數(shù).

X1~X2

②若函數(shù)/U)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，y(x)+g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)/(X)和g(x)

都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，7U)+g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的

單調(diào)性.

［提醒］求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“U”和“或”連接，可用“與”

連接或用“，”隔開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替.

4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)定點(diǎn)：y=〃(a>0,且a#l)恒過(guò)(0,1)點(diǎn)；

y=log“x(a>0,且aWl)恒過(guò)(1,0)點(diǎn).

(2)單調(diào)性：當(dāng)”>1時(shí)，丫="在口上單調(diào)遞增；y=log"X在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<“<1時(shí)，在R上單調(diào)遞減；y=log“x在(0,+8)上單調(diào)遞減.

5.導(dǎo)數(shù)的幾面意義

(1?(前的幾何意義：曲線y=/(x)在點(diǎn)(乃，加。))處的切線的斜率，該切線的方程為y-fi.xo)

=f(xo)(x-xo).

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y=/(x)上；②在切線上.

6.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①求函數(shù)凡T)的定義域；

②求導(dǎo)函數(shù)/(X);

③由/(x)>0的解集確定函數(shù)7U)的單調(diào)增區(qū)間，由r(x)<0的解集確定函數(shù)/U)的單調(diào)減區(qū)間.

(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

①若可導(dǎo)函數(shù)/U)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則/(x)》()(xGM)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)1x)在區(qū)間

M上單調(diào)遞減，則了(x)WO(xWM)恒成立(注意：等號(hào)不恒成立)；

②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，了(x)>0(或/(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；

③若已知火x)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出/U)的單調(diào)區(qū)間，則/

是其單調(diào)區(qū)間的子集.

I提醒］已知可導(dǎo)函數(shù)犬犬)在(。，加上單調(diào)遞增(減)，則/(x)》O(WO)對(duì)力恒成立，

不能漏掉“="，且需驗(yàn)證“=”不能恒成立；已知可導(dǎo)函數(shù)/U)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a,b),

則了(x)>0(<0)的解集為(a,b).

7.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

(1)求函數(shù)的極值的一般步驟

①確定函數(shù)的定義域；

②解方程/(x)=O；

③判斷了(x)在方程/(x)=O的根向兩側(cè)的符號(hào)變化；

若左正右負(fù)，則助為極大值點(diǎn)：

若左負(fù)右正，則xo為極小值點(diǎn)；

若不變號(hào)，則xo不是極值點(diǎn).

(2)求函數(shù)人力在區(qū)間［a,句上的最值的一般步驟

①求函數(shù)y=/U)在口，切內(nèi)的極值；

②比較函數(shù)y=/U)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值_/(〃)，區(qū)份的大小，最大的一個(gè)是最大值，最

小的一個(gè)是最小值.

［提醒I/(x)=O的解不一定是函數(shù),/(x)的極值點(diǎn).一定要檢驗(yàn)在x=xo的兩側(cè)/(x)的符號(hào)是

否發(fā)生變化，若變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn).

「必會(huì)結(jié)論」

1.函數(shù)周期性的常見結(jié)論

(1)若4v+a)=/(x—a)(a#O),則函數(shù)負(fù)x)的周期為2⑷；若兀v+a)=—兀0(〃力0),則函數(shù)人x)

的周期為21al.

(2)若4x+〃)=一卷(a#O,加)#0),則函數(shù)_/(x)的周期為2同；若兀v+a)=/y(aKO,

WO),則函數(shù)人。的周期為21al.

(3)若於+“)=犬x+6)(aKb),則函數(shù)/)的周期為|a一夙

(4)若函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=a與x=b("#份對(duì)稱，則函數(shù)7U)的周期為2|〃一批

(5)若函數(shù)人x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a(a#O)對(duì)稱，則函數(shù)<x)的周期為21al.

(6)若函數(shù)_/(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a(aKO)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為41al.

2.函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/a)滿足_Aa+x)=A“一X)，即火》)=火2“一X),則大x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

(2)若函數(shù)y=?￥)滿足,?Q+X)=—/(a—x),即,外外=一八2〃-x),則?穴無(wú))的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)

對(duì)稱；

(3)若函數(shù)y=/(x)滿足式a+x)=A〃-x),則函數(shù)_/(x)的圖象關(guān)于直線*=等對(duì)稱.

3.三次函數(shù)的相關(guān)結(jié)論

給定三次函數(shù)人用二依③+加+5+44#。)，求導(dǎo)得/(x)=3ax2+24r+c(a#0),貝(]

(1)當(dāng)4s2—3ac)>0時(shí)，/(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即大x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)4s2—3℃)W0時(shí),

/U)無(wú)極值點(diǎn).

(2)若函數(shù)以x)的圖象存在水平切線，則/(x)=0有實(shí)數(shù)解，從而4s2—3改)》0.

(3)若函數(shù)#x)在R上單調(diào)遞增，則?>0且4s2-3ac)W0.

「易錯(cuò)剖析」

易錯(cuò)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準(zhǔn)確

【突破點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個(gè)

區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可.

易錯(cuò)點(diǎn)2判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略定義域

【突破點(diǎn)】一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不

具備這個(gè)條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).

易錯(cuò)點(diǎn)3用判別式求函數(shù)值域，忽視判別式存在的前提

【突破點(diǎn)】(1)確保二次項(xiàng)前的系數(shù)不等于零.

(2)確認(rèn)函數(shù)的定義域沒(méi)有其他限制.

(3)注意檢驗(yàn)答案區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求.

易錯(cuò)點(diǎn)4函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)

【突破點(diǎn)】只有函數(shù)_/(x)在區(qū)間[a,句上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有1a加力<0時(shí)，函

數(shù)y=/(x)在區(qū)間3,份內(nèi)才有零點(diǎn),但兒張。)>0時(shí),不能否定函數(shù)y=/(x)在(a,3內(nèi)有零點(diǎn).

易錯(cuò)點(diǎn)5不清楚導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系

【突破點(diǎn)】(1?3))=0只是可導(dǎo)函數(shù)/U)在xo處取得極值的必要條件，即必須有這個(gè)條

件，但只有這個(gè)條件還不夠，還要考慮了(X)在X0兩側(cè)是否異號(hào).

(2)已知極值點(diǎn)求參數(shù)要進(jìn)行檢驗(yàn).

易錯(cuò)點(diǎn)6混淆“切點(diǎn)”致誤

【突破點(diǎn)】注意區(qū)分“過(guò)點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同.“在”

說(shuō)明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過(guò)”只說(shuō)明切線過(guò)這個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)不一定是切點(diǎn).

易錯(cuò)點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準(zhǔn)確

【突破點(diǎn)】(1獷(x)>0(<0)(xd(a,力)是<x)在(a,6)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件.

(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)兀r)在(。，6)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對(duì)于任意b),有

/U)>0(W0)且/(x)在(a,力內(nèi)的任何子區(qū)間上都不恒為零.若求單調(diào)區(qū)間，可用充分條件.若由

單調(diào)性求參數(shù)，可用充要條件.即/(x)》0(或否則容易漏解.

「易錯(cuò)快攻」

易錯(cuò)快攻一函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)

［典例1］設(shè)函數(shù)+若關(guān)于'的方程產(chǎn)a)—(a+2)/(x)+3=0恰好有六

(|，。。4淚(刀>0)，

個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-2V3-2,2V3-2)B.(2V3-2,1］

C.［|,+8)D.(2V3-2,+8)

［聽課筆記］

,一⑹易錯(cuò)快攻■■■?J?

(l)F(g(x))=0的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化所給條件，其轉(zhuǎn)化思路為：先進(jìn)行整

體換元，將F(g(x))=0轉(zhuǎn)化為方程F(r)=0(f=g(x))的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后轉(zhuǎn)化為f=g(x)的根

的個(gè)數(shù)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為y=t與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

(2)“以形助數(shù)”是研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)常采用的策略，本題在作函數(shù)./(X)的圖象時(shí)，要注意指數(shù)

函數(shù)3v>0.

(3)由關(guān)于，的一元二次方程的實(shí)根分布情況得到關(guān)于a的不等式組是求解本題的一個(gè)關(guān)鍵

點(diǎn)，注意一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題一般需要從一元二次方程根的判別式，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)

在區(qū)間端點(diǎn)所取值的正負(fù)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系三方面考慮.

易錯(cuò)快攻二混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”

I典例2］設(shè)函數(shù)段)=寫絲(aCR).

(1)若外)在x=O處取得點(diǎn)值，確定〃的值，并求此時(shí)曲線尸危)在點(diǎn)(1,尺))處的切線方

程；

(2)若本)在［3,+8)上為減函數(shù)，求”的取值范圍.

I聽課筆記I

，一⑻易錯(cuò)快攻■■■■■------，

(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的常用解法有兩種：一種是子區(qū)間法，即利用

集合思想求解；另一種是恒成立法，即若函數(shù)./U)在區(qū)間。上單調(diào)遞減，則［(x)W0在區(qū)間。

上恒成立（且不恒等于O）.若函數(shù)y（x）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，則,（x）2o在區(qū)間。上恒成立（且

不恒等于0）.

（2）求函數(shù)＜x）的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式/（x）＜0,求函數(shù)式》）的單調(diào)遞增區(qū)間的方法是

解不等式/（x）＞0.解題時(shí)極易混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)"，一定要弄

清題意，勿因“=”出錯(cuò).

四三角函數(shù)與平面向量

「必記知識(shí)」

1.誘導(dǎo)公式

公式一二三四五

2E+n

角7t+a—a7t—aa2+a

a（A：ez）2

正弦sina-sina一sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana-tana一tana

函數(shù)名改變，

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

符號(hào)看象限

［提醒］奇變偶不變，符號(hào)看象限

“奇、偶”指的是三的倍數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)，“變與不變”指的是三角函數(shù)名稱的變化,

變”是指正弦變余弦（或余弦變正弦）.“符號(hào)看象限”的含義是：把角a看作銳角，看

"?］±a（"￡Z）是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào).

22.三種三角函數(shù)的性質(zhì)

函

y=sinxy=cosxy=tanx

數(shù)

圖

象3巧1I

A7T

在［——+2kn，

在［-兀+2左兀,

］+2/OT］（ZG

單2E］（kGZ）上在（-］+kn,

z.單調(diào)遞增；

調(diào)單調(diào)遞增；在

尹咐（40

性在1+2/OT,\2kii,兀+2E］

上單調(diào)遞增

票+2對(duì)心（&GZ）上單調(diào)

遞減

Z）上單調(diào)遞減

對(duì)對(duì)稱中心：（E,對(duì)稱中心：Q+

稱對(duì)稱中心：

0）（&eZ）；對(duì)稱kn,0）（kdZ）；對(duì)稱軸：

性償，。）（舊）

軸；伏GZ）

x=kii（keZ）

［提醒］求函數(shù)火x)=4sin(3x+p)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意4與。的符號(hào)，當(dāng)。＜0時(shí)，需把

。的符號(hào)化為正值后求解.

3.三角函數(shù)圖象的變換

由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(“x+1)(A＞0,亦＞0)的圖象的兩種方法

國(guó)

［提醒I圖象變換的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)的坐標(biāo)的變換，所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利

用兩個(gè)函數(shù)圖象上的特征點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點(diǎn)或最低

點(diǎn)，當(dāng)然也可以選取在原點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定變換

的方式、平移的單位與方向等.

4.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

sin(a±6)=sinacos片tcosasin/?.

cos(a耶=cosacos^+sinasin8.

tan(a±￡)=署學(xué)吟.

1+tanatanp

sin(a+夕)sin(a一夕)=sin2a—siM以平方正弦公式).

cos(a+/?)cos(a—fi)=cos2a-sin2)ff.

5.二倍角、輔助角及半角公式

(1)二倍角公式

sin2a=2sinacosa.

cos2a=cos2(z—sin2?=2cos2a—1=1—2sin2a.

c2tana

tan2a=-------.

l-tan2a

①1+sin2a=(sin?+cosa)2.

(2)1—sin2a=(sina—cosa)2.

(2)輔助角公式______________

y=asinx+bcosx=y/a24-b2(sinxcose+cosxsin(p)=y/a2+b2sin(x+p),其中角(p的終

邊所在象限由a,b的符號(hào)確定，角(p的值由tan°=，3/0)確定.

6.正、余弦定理及其變形

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

a_b_c_2H

內(nèi)容222；

sinAsinBsinCb=a+c-2accosB

c2=6r2+Z?2-cosC

(})a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

b2+c2-a2

(2)sinA=—,sinB=—,sinC=-；cosA=-----------；

2bc

(3)。：b：c=sinA：sin8：sinC；c2+a2-b2

變形cosBn=----------；

(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asin2ac

「a2+b2-c2

；cosC=----------

C=csinA2ab

(5)___a+b+c_____a=2R

\inA+sinB+sinCsinA

［提醒］在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，要注意檢臉解是否滿足“大邊對(duì)大角”，避免

增解.

7.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知非零向量a=(x”yi),b=(X2，")，。為向量0，萬(wàn)的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模|a|=—a?a

數(shù)量積ab=\a\\b\cos0ab=x\X2+y\y2

八abcos。=小黨畢紅—

夾角cos

\a\\b\+光.J后+避

a_Lb的

ab=0x\x+y\y2=0

充要條件2

。例網(wǎng)(當(dāng)

|a創(chuàng)與1W|a|\x-jX2+yxy2\<

⑷網(wǎng)且僅當(dāng)Q〃Z?時(shí)等號(hào)J*+資.J舒+光

的關(guān)系成立)

I提醒I(1)要特別注意零向量帶來(lái)的問(wèn)題：0的模是0,方向任意，并不是沒(méi)有方向；0與

任意非零向量平行.

(2)。5>0是〈％b〉為銳角的必要不充分條件；“仍<0是〈a,b〉為鈍角的必要不充分條件.

「必會(huì)結(jié)論」

1.降鬲、升鬲公式

(1)降幕公式

G?l-cos2a

①siira=---;

②8S2Q=號(hào)三

③sinacosa=-sin2a.

⑵升幕公式2

①1+cosa=2cos2^；

(2)1—cosa=2sin2p

(3)l+sina=^sm|+cos；

@1-sina=^sin^—cos?).

2.常見的輔助角尾論2

⑴sin壯cosx=&sin

(2)cosx±sinx=V2cos(%+胃

(3)sinx±V3cosx=2sin(%±果

(4)cosx±V3sinx=2cos(%孑g

(5)V3sinx±cosx=2sin(%±%)

(6)V3cos壯sinx=2cos

「易錯(cuò)剖析」

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視零向量

【突破點(diǎn)】零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長(zhǎng)度為0,其方向是任意的，

零向量與任意向量都共線.

易錯(cuò)點(diǎn)2向量投影理解錯(cuò)誤

【突破點(diǎn)】把向量投影錯(cuò)以為只是正數(shù).事實(shí)上，向量a在向量b上的投影⑷cos。是一

個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零.

易錯(cuò)點(diǎn)3不清楚向量夾角范圍

【突破點(diǎn)】數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時(shí)把這

些因素考慮到，是解題成功的關(guān)鍵，如當(dāng)。協(xié)<0時(shí)，。與b的夾角不一定為鈍角，要注意隱含的

情況.

易錯(cuò)點(diǎn)4忽視正、余弦函數(shù)的有界性

【突破點(diǎn)】許多三角函數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決，在換元時(shí)注意

正、余弦函數(shù)的有界性.

易錯(cuò)點(diǎn)5忽視三角函數(shù)值對(duì)角的范圍的限制

【突破點(diǎn)】在解決三角函數(shù)中的求值問(wèn)題時(shí)，不僅要看已知條件中角的范圍，更重要的

是注意挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)6忽視解三角形中的細(xì)節(jié)問(wèn)題

【突破點(diǎn)】(1)解三角形時(shí)，不要忽視角的取值范圍.

(2)由兩個(gè)角的正弦值相等求兩角關(guān)系時(shí)，注意不要忽視兩角互補(bǔ)的情況.

(3)利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，切忌出現(xiàn)漏解情況.

易錯(cuò)點(diǎn)7三角函數(shù)性質(zhì)理解不透徹

【突破點(diǎn)】(1)研究奇偶性時(shí)，忽視定義域的要求.

(2)研究對(duì)稱性時(shí)，忽視y=Asin(ox+o),y=Acos(tux+o)的對(duì)稱軸有無(wú)窮條、對(duì)稱中心

有無(wú)數(shù)個(gè).

(3)研究周期性時(shí)，錯(cuò)將y=Asin(a>x+夕)，y=Acos(cwx+g)的周期寫成生.

Ci)

易錯(cuò)點(diǎn)8圖象變換方向或變換量把握不準(zhǔn)確

【突破點(diǎn)】圖象變換若先作周期變換，再作相位變換，應(yīng)左(右)平移臀個(gè)單位.另外注

意根據(jù)0的符號(hào)判定平移的方向.

「易錯(cuò)快攻」

易錯(cuò)快攻一忽視向量的夾角范圍致誤

［典例1］已知向量a,均為非零向量，(a-2b)_La,3—2a)，b,則a,占的夾角為()

A.-B.—

63

求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：根據(jù)向量的數(shù)量積定義，得到cos〈a,b〉=霽彳求解時(shí)，要注

\a\\b\

__________________________意兩向量夾角的取值范圍為［0,兀］.__________________________

易錯(cuò)快攻二函數(shù)圖象平移的方向把握不準(zhǔn)

［典例2］將函數(shù)y=sin(2x+a)的圖象沿x軸向左平移J個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的

6

圖象，則。的一個(gè)可能取值為()

A.-B.-

36

C.0D.-

4

［聽課筆記］

⑴函數(shù)y=sinGx,8>0的圖象向左(s>0)或向右”<0)平移凹個(gè)單位長(zhǎng)度(“左加右減”),

3

得到y(tǒng)=sin(ttzx+p)的圖象.

(2)解此類題時(shí)需要特別注意的地方有：①三角函數(shù)圖象變換的口訣為“左加右減，上加下

減”；②自變量的系數(shù)在非"1”狀態(tài)下的“提取”技巧.

五數(shù)列

「必記知識(shí)」

1.等差數(shù)列

設(shè)S“為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，則

+l)d=〃〃+(〃一若p+q=/%+〃，則a/,+aq=am+an.

(2)劭=4，aq=p(p#4)=a〃+q=0;

=

Sm+nS”++mnd.

(3)SA，SZLSHS3LS?k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.

(4*§是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列｛?｝也是等差數(shù)列.

_Ti(a\+an)_7i(a2+a7i-i)_n(a3+J7i_2)_

()〃222?

(6)若等差數(shù)列｛?。捻?xiàng)數(shù)為偶數(shù)2,〃(〃?GN*),公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)

項(xiàng)之和為SM,則所有項(xiàng)之和S2”產(chǎn)皿即+即+1)3”，即+1為中間兩項(xiàng))，sn-s^md,婷=酗1.

,奇%n

(7)若等差數(shù)列｛斯｝的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m—l(m￡N)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和

為S儡，則所有項(xiàng)之和S2〃LI=(2J〃11)即(“”為中間項(xiàng))，S奇=〃心〃”S偶=(〃?-1)?！ā癝奇一S偶=

S奇m

a,n,

s您

(8)右S〃=〃，Sn=n),貝！JS,〃+〃=一+〃).

2.等比數(shù)列

⑴斯=斯"一'",4〃+切〃￡N").

(2)若m+〃=〃+q,貝lj而?〃〃=%?%；反之，不一定成立(如〃，p,qWN*).

(3)?？?。3…即，0”+1即+2…+圖2析+2…。3〃”…成等比數(shù)列(加￡N*).

(4)S〃，Szn-Sn，S3n—S2〃，…，S和一Sg|)〃，…成等比數(shù)列(〃22,且〃￡N*).

(5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為公比為q,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,

⑹但“｝,｛仇｝成等比數(shù)列，則｛〃“｝,痣，｛“,仇｝,怖｝成等比數(shù)列—0,“GN").

(7)通項(xiàng)公式為=0必|=學(xué)口"，從函數(shù)的角度來(lái)看，它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于n

的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn).

(8)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè),

它們互為相反數(shù).

(9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為點(diǎn)x,xq；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這四

個(gè)數(shù)分別為卷，xq,xq\

<73Q

［提醒］(1)如果數(shù)列｛小｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列｛4八Ka_的｝(心”總有意義)必成等比數(shù)

列.

(2)如果數(shù)列｛?。傻缺葦?shù)列，且斯>0,那么數(shù)列｛log?a“｝(a>l且必成等差數(shù)列.

(3)如果數(shù)列｛?。瘸傻炔顢?shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛斯｝是非零常數(shù)列；數(shù)列｛a”｝是常數(shù)

列僅是數(shù)列｛〃“｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件.

(4)如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且

新等差數(shù)列的公差是原來(lái)兩個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù).

(5)如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成一個(gè)新數(shù)列，那么常選用“由特

殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，

從而分析構(gòu)成什么樣的新數(shù)列.

「必會(huì)結(jié)論」

1.判斷數(shù)列單調(diào)性的方法

(1)作差比較法：MH—數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列；如+i—斯<00數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列；a?

+L&=0o數(shù)列｛為｝是常數(shù)列.

(2)作商比較法：①當(dāng)a>Q時(shí)，則皿>1O數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列；()<&乜<10數(shù)列｛6｝是遞

nanan

減數(shù)列；詈=10數(shù)列｛?。浅?shù)列.②當(dāng)??<0時(shí)，則黑>1=數(shù)列伍“｝是遞減數(shù)列；0<^i<l?

數(shù)列｛m｝是遞增數(shù)列；皿=lo