函數(shù)值域或最值的求法解題模板C

函數(shù)值域或最值的求法解題模板C常見函數(shù)值域或最值的求法解題模板C解題方法模板九：利用公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|使用情景：函數(shù)表達(dá)式形如y=|x－a|+|x－b|的類型解題模板：第一步確定所給函數(shù)的形式為y=|x－a|+|x－b|的形式第二步利用絕對(duì)值三角不等式求解函數(shù)的最值或值域.例9求函數(shù)y=|x－1|+|x+5|的值域.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中求解y=|x－a|+|x－b|形式函數(shù)的值域，故選取解題方法模板九利用公式法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定所給函數(shù)的形式為y=|x－a|+|x－b|的形式函數(shù)解析式y(tǒng)=|x－1|+|x+5|中，a=1，b=－5，符合解題模板的樣式.第二步利用絕對(duì)值三角不等式求解函數(shù)的最值或值域.則函數(shù)y=|x－1|+|x+5|≤|a|+|b|=6，其值域?yàn)閇6，+∞).【名師點(diǎn)睛】不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，是求最大、最小值與證明不等式的常用公式之一，如果能靈活應(yīng)用，問題的解答就特別簡(jiǎn)單了.解題方法模板十：利用基本不等式使用情景：函數(shù)的解析式可以整理變形為的形式，一般為分式函數(shù)，且分子或分母部分至少一處含有二次函數(shù)的形式解題模板：第一步觀察函數(shù)解析式的形式，型如或或的函數(shù)；第二步對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.例10已知，求函數(shù)的最小值.【答案】1【解析】解題模板選擇：本題中函數(shù)的解析式為二次函數(shù)與一次函數(shù)比值的形式，故選取解題方法模板十基本不等式法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步，將函數(shù)解析式化成的形式：因?yàn)?，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函?shù)最小值：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)樵诙x域內(nèi)，所以最小值為1.【典型例題】1．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)的最大值是a.若對(duì)于任意的恒成立，則b的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．4．函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．解題方法模板十一：三角換元法使用情景：所給的函數(shù)解析式可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為三角函數(shù)的問題.解題模板：第一步整理函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)將原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題；第二步結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最值或值域.例11求函數(shù)的值域.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中所給的函數(shù)解析式可以通過適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題，故選取解題方法模板十一三角換元法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步整理函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)將原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題；所給函數(shù)可化為，令，則，第二步結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的值域.，即，故函數(shù)的值域?yàn)?【名師點(diǎn)睛】三角換元法是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.一般地，在遇到與圓、橢圓方程或者與之相似的代數(shù)式時(shí)，經(jīng)常使用三角換元法，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，從而使問題變得簡(jiǎn)單明了.掌握了三角代換思想，可以比較順利地解決一些較難的題目，提高學(xué)生的解題效率.一些看似無從下手的題目，巧用三角換元法，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.【典型例題】5．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解題方法模板十二：利用定義域求值域使用情景：函數(shù)的定義域容易確定，且可以通過變形分別將x，y放置在等式的兩邊.解題模板：第一步確定函數(shù)的定義域第二步通過變形把含自變量x的式子移到一邊，把含y的式子移到一邊第三步通過函數(shù)的定義域直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的式子的范圍，進(jìn)一步求出y的取值范圍或最值例12求函數(shù)的值域.【答案】{y|y>1或y<－1}【解析】解題模板選擇：本題中容易反解出的解析式，故選取解題方法模板十二利用函數(shù)的定義域法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定函數(shù)的定義域由函數(shù)得，易得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}.第二步通過變形把含自變量x的式子移到一邊，把含y的式子移到一邊由函數(shù)，解之，得.第三步通過函數(shù)的定義域直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的式子的范圍，進(jìn)一步求出y的取值范圍再由x≠0，得e2x>0且e2x≠1.故有，即y>1或y<－1.因此函數(shù)的值域?yàn)閧y|y>1或y<－1}.【名師點(diǎn)睛】先求出函數(shù)的定義域，再通過變形把含自變量x的式子移到一邊，把含y的式子移到一邊，再通過函數(shù)的定義域直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的式子的范圍，進(jìn)一步求出y的取值范圍，即求出函數(shù)的值域這種方法，理論上是總成立的，它采用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，把函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化到函數(shù)的值域.只不過有的時(shí)候這種轉(zhuǎn)化甚為麻煩，我們根據(jù)實(shí)際情況，合理使用，不要過于死板解題方法模板十三：求導(dǎo)法使用情景：求導(dǎo)法為通用方法，對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的解析式容易確定性質(zhì)的函數(shù)均可利用求導(dǎo)來確定函數(shù)的值域.解題模板：第一步確定函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)的解析式第二步由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性第三步結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)可能取得最值的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求解函數(shù)值即可確定函數(shù)的最值或值域.例13求函數(shù)在[0，3]上的值域.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，容易討論其性質(zhì)，故選取解題方法模板十三求導(dǎo)法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)的解析式函數(shù)的定義域?yàn)閇0，3]，且由，得f'(x)=x2－4=(x－2)(x+2).第二步由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性(1)當(dāng)f'(x)=0，得x=2；(2)當(dāng)f'(x)>0，得2<x≤3，函數(shù)單調(diào)遞增；(3)當(dāng)f'(x)<0，得0≤x<2，函數(shù)單調(diào)遞減.第三步結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)可能取得最值的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求解函數(shù)值即可確定函數(shù)的值域.故，又f(0)=4，f(3)=1，得.因此函數(shù)在[0，3]上的值域?yàn)?【名師點(diǎn)睛】通過求導(dǎo)是求函數(shù)值域(最大值與最小值)的通用方法，從理論而言，一般函數(shù)的值域都可以用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解答，不過有時(shí)求導(dǎo)去解答比較麻煩，用上面的一些方法更為簡(jiǎn)單.【典型例題】6．已知函數(shù)，若函數(shù)與相同的值域，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx(0≤x≤π)值域是.8．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?9．函數(shù)，若與有相同值域，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋忸}方法模板十四：反函數(shù)法使用情景：函數(shù)具有單調(diào)性，且反函數(shù)的解析式容易確定解題模板：第一步求已知函數(shù)的反函數(shù)；第二步求反函數(shù)的定義域；第三步利用反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域的關(guān)系即可求出原函數(shù)的值域例14求函數(shù)的值域.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中反函數(shù)的解析式容易確定，故選取解題方法模板十四反函數(shù)法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步求已知函數(shù)的反函數(shù)；由原函數(shù)式可得：，則其反函數(shù)為，第二步求反函數(shù)的定義域；函數(shù)有意義，則，故反函數(shù)的定義城為，第三步利用反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域的關(guān)系即可求出原函數(shù)的值域：由反函數(shù)的解析式可知所求函數(shù)的值域?yàn)?參考答案：1．D【解析】當(dāng)時(shí)，，再利用為奇函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)的取值范圍，從而可得答案．【詳解】令，，為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．的值域?yàn)?，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，著重考查雙鉤函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．C【解析】由分式函數(shù)值域的求法可得，再結(jié)合不等式恒成立問題求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上可得，即.由題意知在上恒成立，即在上恒成立.令，，則，則即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式函數(shù)值域的求法，重點(diǎn)考查了不等式恒成立問題，屬中檔題.3．A【分析】先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)得，再通過基本不等式求出的范圍，即可得出的值域.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，反之當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，有意義，取并集得：，即，所以的值域?yàn)?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查分式函數(shù)的值域，運(yùn)用到基本不等式求得最大最小值和倒數(shù)的方法，屬于中檔題.4．C【分析】令，把已知函數(shù)解析式變形，令變形，再由“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求解.【詳解】解：令，，令，則，原函數(shù)化為，該函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法及“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求函數(shù)值域，是中檔題.5．C【解析】由，得，利用三角換元設(shè)，，其中，再由，再進(jìn)行換元，令，則，，由新函數(shù)的單調(diào)性及定義域可求得值域.【詳解】由，得，不妨設(shè)，，其中，則，令，則,因?yàn)椋瑒t，所以，即，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域求解，利用三角函數(shù)換元將原問題轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行換元及函數(shù)單調(diào)性可得值域，屬于較難題.6．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的值域，結(jié)合的圖象可得的值域，從而得出結(jié)論．【詳解】解：在上是減函數(shù)，時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，可知在遞減，遞增，又函數(shù)是連續(xù)的．∴在遞減，遞增，所以值域?yàn)?，若函?shù)與有相同的值域，即需滿足即可，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，才能通過的值域得出不等關(guān)系．7．【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得f(x)最大＝f(x)極大＝，再比較f(0)，f(π)的大小，即得函數(shù)的最小值,即得函數(shù)的值域.【詳解】由題得f′(x)＝xcosx(0＜x＜π)，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，f(x)遞增；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0，f(x)遞減．∴f(x)最大＝f(x)極大＝，又f(0)＝1，f(π)＝－1，∴f(x)最小＝－1，故f(x)在[0，π]上的值域?yàn)?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.8．【分析】計(jì)算f′（x）=excosx，當(dāng)0≤x≤時(shí)，f′（x）≥0，f（x）是[0，]上的增函數(shù)．分別計(jì)算f（0），f（）即得解.【詳解】f′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=excosx，當(dāng)0≤x≤時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）是[0，]上的增函數(shù)．∴f（x）的最大值在x=處取得，f（）=,f（x）的最小值在x=0處取得，f（0）=．∴函數(shù)值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.9．D【解析】計(jì)算以及，構(gòu)造函數(shù)并求得導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而判斷，可得單調(diào)遞增，然后計(jì)算，可知函數(shù)的單調(diào)