2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)選修4-1（人教版）練習(xí)：第二講2.5與圓有關(guān)的比例線段 Word版含解析

第二講直線與圓的位置關(guān)系2.5與圓有關(guān)的比例線段A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.如圖所示，在⊙O中，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，則OC＝()A．2eq\r(6) B.eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(2)解析：延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D(如圖)，則DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB所以1.5×4＝3CM2CM＝eq\r(2)，OC＝2eq\r(2).答案：D2．自圓外一點(diǎn)作過(guò)圓心的割線長(zhǎng)是12cm，圓的半徑為4cm，A．16cm B．4eq\r(3)cmC．4eq\r(2)cm D．以上選項(xiàng)都不對(duì)解析：設(shè)所求切線長(zhǎng)為xcm，則x2＝12×(12－8)，所以x＝4eq\r答案：B3.如圖所示，PA切⊙O于點(diǎn)A，PBC是⊙O的割線，且PB＝BC，PA＝3eq\r(2)，那么BC的長(zhǎng)為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3 D．3eq\r(3)解析：由切割線定理得PA2＝PB·PC，因?yàn)镻B＝BC，PA＝3eq\r(2)，所以(3eq\r(2))2＝2·BC2.所以BC＝3.答案：C4．如圖所示，PA，PB分別為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，∠P＝80°，則∠C等于()A．50° B．60°C．100° D．80°解析：因?yàn)镻A，PB分別為⊙O的切線，所以PA＝PB.所以∠PAB＝∠PBA＝50°.所以∠ACB＝∠PAB＝50°.答案：A5．如圖所示，⊙O的兩條弦AD和CB相交于點(diǎn)E，AC的延長(zhǎng)線和BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，給出下列結(jié)論：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PD·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB其中正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：根據(jù)割線定理可知①式正確；連接AB，CD(如圖)，則四邊形ABDC為⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠PCD＝∠PBA.因?yàn)椤螾＝∠P，所以△PCD∽△PBA.所以eq\f(CD,AB)＝eq\f(PD,PA).所以PA·CD＝PD·AB，所以④式正確．答案：B二、填空題6.如圖所示，PA，PB分別為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，PA＝7，在劣弧eq\o(AB,\s\up10(︵))上任取一點(diǎn)C，過(guò)C作⊙O的切線，分別交PA，PB于D，E，則△PDE的周長(zhǎng)是________．解析：因?yàn)镈A，DC為⊙O的切線，所以DA＝DC.同理EB＝EC.所以△PDE的周長(zhǎng)＝PD＋PE＋DE＝(PD＋DC)＋(PE＋CE)＝(PD＋DA)＋(PE＋EB)＝PA＋PB＝7＋7＝14.答案：147.如圖所示，圓O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD＝2eq\r(7)，AB＝BC＝3，則AC的長(zhǎng)為______．解析：依題意得，DA·DB＝DC2，即(DB＋3)·DB＝(2eq\r(7))2，解得DB＝4，所以AD＝7.由△ACD∽△CBD，得eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD,CD)，即eq\f(AC,3)＝eq\f(7,2\r(7)).所以AC＝eq\f(3\r(7),2).答案：eq\f(3\r(7),2)8.如圖所示，AB為⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，且AC＝2eq\r(2)cm，過(guò)C的割線CMN交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CM＝MN＝ND，解析：由切割線定理知CA2＝|CM|·|CN|＝2|CM|2，因?yàn)閨CA|＝2eq\r(2)，所以|CM|＝2，|CD|＝6，所以|AD|＝eq\r(|CD|2－|CA|2)＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)三、解答題9.如圖所示，AB是⊙O的直徑，過(guò)A、B引兩條弦AD和BE，相交于點(diǎn)C.求證：AC·AD＋BC·BE＝AB2.證明：如圖所示，連接AE，BD，過(guò)C作CF⊥AB，與AB交于點(diǎn)F.因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠AEB＝∠ADB＝90°.因?yàn)椤螦FC＝90°，所以A，F(xiàn)，C，E四點(diǎn)共圓．所以BC·BE＝BF·BA.①同理可證F，B，D，C四點(diǎn)共圓．所以AC·AD＝AF·AB.②①＋②，得AC·AD＋BC·BE＝AB(AF＋BF)＝AB2.10.如圖所示，以O(shè)為圓心的圓與△AOB的邊AB相切于點(diǎn)C，與OB相交于點(diǎn)D，且OD＝BD，已知sinA＝eq\f(2,5)，AC＝eq\r(21).(1)求⊙O的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積．解：(1)連接OC，CD(如圖)，因?yàn)橐設(shè)為圓心的圓與△AOB的邊AB相切于點(diǎn)C，所以CO⊥AB.因?yàn)閟inA＝eq\f(2,5)＝eq\f(CO,AO)，AC＝eq\r(21)，所以假設(shè)CO＝2x，AO＝5x，4x2＋21＝25x2，解得x＝1，所以CO＝2，所以⊙O的半徑為2.(2)因?yàn)椤袿的半徑為2，所以DO＝2.因?yàn)镈O＝DB，所以BO＝4，所以BC＝2eq\r(3)，所以2CO＝BO.因?yàn)镺C⊥BC，所以∠CBO＝30°，∠COD＝60°，圖中陰影部分的面積為：S△OCB－S扇形COD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2－eq\f(6π×22,360)＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π.B級(jí)能力提升1.如圖所示，PAB，PCD為⊙O的兩條割線，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，則AC∶BD為()A．1∶3 B．5∶12C．5∶7 D．5∶11解析：由割線定理得PA·PB＝PC·PD＝PC·(PC＋CD)，所以5×(5＋7)＝PC·(PC＋11)．所以PC＝4(負(fù)值舍去)．所以PD＝15.又因?yàn)椤螾AC＝∠D，∠APC＝∠DPB，所以△PAC∽△PDB.所以eq\f(PA,PD)＝eq\f(AC,BD)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).答案：A2.如圖所示，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PB交于⊙O于D、B兩點(diǎn)，交弦AC于E點(diǎn)，且AE＝4，EC＝3，BE＝6，PE＝6，則AP＝________．解析：由相交弦定理，得DE·BE＝AE·EC即得DE＝2，則PD＝PE－DE＝4，又PB＝PE＋BE＝12，所以AP2＝PD·PB＝48，AP＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)3.如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC＝∠BAC.(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)求證：AC2＝AD·AB；(3)若⊙O的半徑為2，∠ACD＝30°，求圖中陰影部分的面積．(1)證明：連接OC，因?yàn)镺A＝OC，所以∠BAC＝∠OCA，因?yàn)椤螪AC＝∠BAC，所以∠OCA＝∠DAC，所以O(shè)C∥AD，因?yàn)锳D⊥EF，所以O(shè)C⊥EF，因?yàn)镺C為半徑，所以EF是⊙O的切線．(2)證明：連接BC，因?yàn)锳B為⊙O直徑，AD⊥EF，所以∠BCA＝∠ADC＝90°，因?yàn)椤螪AC＝∠BAC，所以△ACB∽△ADC，所以eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，所以AC2＝AD·AB.(3)解：因?yàn)椤螦CD＝30°，∠OCD＝90°，所以∠OCA＝60°，因?yàn)椤鱋C＝OA，所以△OAC是等邊三角形，所以AC＝OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，因