漳州市第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次月考數(shù)學(xué)試題

漳州三中2023--2024學(xué)年高三年第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.設(shè)，，，求（）A. B. C. D.2．已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a＝（）A．-3 B． C．3 D．3.甲組有4名護(hù)士，1名醫(yī)生；乙組有6名護(hù)士，2名醫(yī)生.現(xiàn)需緊急組建醫(yī)療小隊(duì)，若從甲?乙兩組中各抽調(diào)2名人員，則選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生的不同選法共有（）A.130種 B.132種 C.315種 D.360種4.已知向量，滿足，且，，則（）A.5 B.3 C.2 D.15．已知，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．36 B．30 C．15 D．106.在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接受信號(hào)為1的概率為（）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.5757.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則使的最小是（）A.5B.6C.7D.88.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，則（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱10.若函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.在點(diǎn)處切線的斜率為D.是偶函數(shù)11.同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“甲骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，“乙骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，“至少出現(xiàn)一個(gè)骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，則下列判斷正確的是（）A．為互斥事件B．互為獨(dú)立事件C．D．12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍蚍謩e是棱和棱的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列結(jié)論成立的有（）A.存在點(diǎn)，使B.對(duì)于任意點(diǎn)平面C.直線的被球截得的弦長(zhǎng)為D.過直線的平面截球所得的所有圓中，半徑最小的圓的面積為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則_____________．x12345y（萬(wàn)人）205010015018014.的展開式中的系數(shù)為_____________．15.網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷?商品種類齊全?性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x為整數(shù)，依次類推；y表示人數(shù)）：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以求出，若預(yù)測(cè)該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過300萬(wàn)人，則的最小值為__________.16．已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是________．四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，；為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)，求的前n項(xiàng)和.0.100.050.0100.00500.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：參考公式：，其中.課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)課余學(xué)習(xí)時(shí)間不超過兩小時(shí)200名以前40200名以后40(1)求的值；(2)依據(jù)上表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生成績(jī)與課余學(xué)習(xí)超過兩個(gè)小時(shí)是否有關(guān)系；(3)學(xué)校在成績(jī)200名以前的學(xué)生中，采用分層抽樣，按課余學(xué)習(xí)時(shí)間是否超過兩小時(shí)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（本小題滿分12分）某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變昰服從正態(tài)分布，則，20.（本小題滿分12分）已知圖1是由等腰直角三角形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中菱形邊長(zhǎng)為4，，．將三角形沿折起，使得平面平面（如圖2）．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．21.（本小題滿分12分）學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4，0.5，0.75，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙獲得冠軍的概率分別記為，.（1）判斷甲、乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別（如果，那么認(rèn)為甲、乙獲得冠軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別）；（2）用X表示教師乙的總得分，求X的分布列與期望.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（1）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.漳州三中2023--2024學(xué)年高三年第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.設(shè)，，，求（）A. B. C. D.【詳解】由已知可得，，所以.故選：B．2．已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a＝（）A．-3 B． C．3 D．【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，即，所以.故選：A.3.甲組有4名護(hù)士，1名醫(yī)生；乙組有6名護(hù)士，2名醫(yī)生.現(xiàn)需緊急組建醫(yī)療小隊(duì)，若從甲?乙兩組中各抽調(diào)2名人員，則選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生的不同選法共有（）A.130種 B.132種 C.315種 D.360種【詳解】由題意，甲?乙兩組中各抽調(diào)2名人員，則選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生，該醫(yī)生可能來自甲組，也可能來自乙組，故不同選法共有種.故選：B4.已知向量，滿足，且，，則（）A.5 B.3 C.2 D.1【詳解】，所以，故選：D5．已知，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．36 B．30 C．15 D．10【詳解】令，則可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為且，解得∵的展開式中的通項(xiàng)∴當(dāng)時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為故選：C．6.在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接受信號(hào)為1的概率為（）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575【詳解】設(shè)A=“發(fā)送的信號(hào)為0”，B=“接收到的信號(hào)為0”，則=“發(fā)送的信號(hào)為1”，=“接收到的信號(hào)為1”，所以，，，，，，所以接收信號(hào)為0的概率為：，所以接收信號(hào)為1的概率為：.故選：B.7.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則使的最小是（）A.5B.6C.7D.8解：由二項(xiàng)式定理，an=2+1n=3n，Sn=38.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【詳解】由雙曲線得出.因?yàn)?，所?作于C，則C是AB的中點(diǎn).設(shè)，則由雙曲線的定義，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，則（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【詳解】因?yàn)?，向右平移個(gè)單位得，則最小正周期為，故A選項(xiàng)正確；令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令解得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令解得所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，故D選項(xiàng)正確.故選：AD10.若函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.在點(diǎn)處切線的斜率為D.是偶函數(shù)【詳解】，對(duì)于A：時(shí)，，故在遞增，故A正確；對(duì)于B：令，解得：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：斜率，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“甲骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，“乙骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，“至少出現(xiàn)一個(gè)骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，則下列判斷正確的是（）A．為互斥事件B．互為獨(dú)立事件C．D．【詳解】，可以同時(shí)發(fā)生，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，從而，互為獨(dú)立事件，B正確；，C正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍蚍謩e是棱和棱的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列結(jié)論成立的有（）A.存在點(diǎn)，使B.對(duì)于任意點(diǎn)平面C.直線的被球截得的弦長(zhǎng)為D.過直線的平面截球所得的所有圓中，半徑最小的圓的面積為【詳解】A選項(xiàng)，連接,則，連接，如下圖所示，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，由于是的中點(diǎn)，所以，由于，所以，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，所以平面，由于平面，所以，故正確；B選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，連接，則，連接，如下圖所示，由圖可知：在平面上，在平面外，故B不正確；C選項(xiàng)，如下圖，連接，則是的中點(diǎn)，內(nèi)切球的半徑為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，由勾股定理可知易知，球心到距離為，則被球截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如上圖所示，結(jié)合C選項(xiàng)的分析可知：當(dāng)垂直于過的平面，此時(shí)截面圓的面積最小，此時(shí)圓的半徑就是，面積為，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.若，則_____________．【詳解】由于，故令，可得，x12345y（萬(wàn)人）205010015018014.的展開式中的系數(shù)為_____________．【詳解】，其中的展開式通項(xiàng)為，，故時(shí)，得含的項(xiàng)為；的展開式通項(xiàng)為，，故時(shí)，得含的項(xiàng)為.因此，式子的展開式中，含的項(xiàng)為，即系數(shù)為5.故答案為：5.15.網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷?商品種類齊全?性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x為整數(shù)，依次類推；y表示人數(shù)）：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以求出，若預(yù)測(cè)該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過300萬(wàn)人，則的最小值為__________.【詳解】由題設(shè)，，所以，即，則，令，可得，又x為整數(shù)，所以的最小值為8.故答案為：816．已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是________．【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線為，，設(shè)切點(diǎn)為，則，得有三個(gè)解，令，，當(dāng)，得或，，得，所以在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，，有三個(gè)解，得，即.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，；為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)，求的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為則解得，，（），（）滿足，（2）因?yàn)?，所?0.100.050.0100.00500.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：參考公式：，其中.課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)課余學(xué)習(xí)時(shí)間不超過兩小時(shí)200名以前40200名以后40(1)求的值；(2)依據(jù)上表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生成績(jī)與課余學(xué)習(xí)超過兩個(gè)小時(shí)是否有關(guān)系；(3)學(xué)校在成績(jī)200名以前的學(xué)生中，采用分層抽樣，按課余學(xué)習(xí)時(shí)間是否超過兩小時(shí)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）依題意，高三12個(gè)班級(jí)共抽取120名，則，解得，所以的值為10.（2）由（1）得列聯(lián)表：課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)課余學(xué)習(xí)時(shí)間不超過兩小時(shí)總計(jì)200名以前402060200名以后204060總計(jì)6060120則的觀測(cè)值，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為學(xué)生課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)跟學(xué)生成績(jī)有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.001.（3）這6人中課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過兩小時(shí)的人數(shù)為，課余學(xué)習(xí)時(shí)間不超過兩小時(shí)的人數(shù)為2，則的取值為，有，，，所以的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.19．（本小題滿分12分）某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變昰服從正態(tài)分布，則，【詳解】（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為則．解得．所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62．（2）因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中．所以．所以．所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為．（3）由該學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為可知：．則．令．．當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以．所以的最小值為．20.（本小題滿分12分）已知圖1是由等腰直角三角形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中菱形邊長(zhǎng)為4，，．將三角形沿折起，使得平面平面（如圖2）．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，．∵，∴．又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴．∵在菱形中，，∴為等邊三角形，∵的中點(diǎn)為，∴，∵∥，∴∵，平面，∴平面，∵平面，∴．【小問2詳解】由（1）平面，∵平面，∴，∵，∴如圖,以，，所在的直線分別為軸