《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》016-0（曾慧平）課件 07-第七章 多元函數(shù)微積分

高等應(yīng)用數(shù)學(xué)目錄CONTENTS前言0002第2章導(dǎo)數(shù)與微分第4章不定積分04第1章函數(shù)與極限01第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函數(shù)微積分07多元函數(shù)微積分第7章7.1多元函數(shù)的基本概念7.2多元函數(shù)的微分學(xué)7.3多元函數(shù)的積分學(xué)導(dǎo)學(xué)4本章將在一元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)微積分的相關(guān)知識。在討論中我們以二元函數(shù)為主，因為從一元函數(shù)到二元函數(shù)會產(chǎn)生新的問題，而從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù)則可以類推。導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)51．理解多元函數(shù)的定義和圖形，理解二元函數(shù)的極限并掌握其運算法則，理解二元函數(shù)的連續(xù)性。2．理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握一元函數(shù)及二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，理解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義并掌握其求法。學(xué)習(xí)目標(biāo)63．理解全微分的概念并掌握其求法，掌握全微分在近似計算中的應(yīng)用，掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，會求多元函數(shù)的極值和最值。4．理解二重積分的概念，了解二重積分的性質(zhì)，掌握在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中二重積分的計算方法，能夠利用二重積分計算立體體積和曲面面積。素質(zhì)目標(biāo)71．培養(yǎng)大局觀，提升社會責(zé)任感和使命感。2．培養(yǎng)科學(xué)精神和理性思維，提升科學(xué)素養(yǎng)。3．養(yǎng)成踏實細致、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、執(zhí)著專注的學(xué)習(xí)態(tài)度。多元函數(shù)的基本概念7.17.1.1多元函數(shù)的概念9引例11.多元函數(shù)的定義解：一定量理想氣體的體積V、壓強P與絕對溫度T之間具有關(guān)系

（R是常數(shù)），這里有三個變量P,V,T，當(dāng)V,T在集合{(V,T)|V>0，T>T0}內(nèi)取定一對值(V,T)時，就有唯一確定的壓強值P與之對應(yīng)。7.1.1多元函數(shù)的概念10引例21.多元函數(shù)的定義解:設(shè)某直角三角形的底邊長為x，高為y則該直角三角形的面積s為，

這里有三個變量S,x,y，當(dāng)x，y在集合{(x，y)x>0,y>0}內(nèi)取定一對值(x，y)時，就有唯一確定的面積s與之對應(yīng)。7.1.1多元函數(shù)的概念11定義1設(shè)有三個變量x,y,z，當(dāng)變量x，y在某一范圍D內(nèi)任取一對值(x，y)時，按照一定的對應(yīng)法則f，變量z總有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱變量z是變量x,y的二元函數(shù)記作z=f(x,y)。其中，x,y稱為自變量，z稱為因變量，自變量x,y的取值范圍D稱為該函數(shù)的定義域。7.1.1多元函數(shù)的概念12二元函數(shù)的定義域D是xOy面上的平面區(qū)域。圍成平面區(qū)域的直線或曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點稱為邊界點，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開區(qū)域。如果一個區(qū)域D內(nèi)任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱D為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域。7.1.1多元函數(shù)的概念13無界開區(qū)域有界閉區(qū)域7.1.1多元函數(shù)的概念14例1

解

由題意可知，該函數(shù)的定義域應(yīng)滿足

所以，所求定義域為

函數(shù)定義域的圖形是以原點為圓心、半徑為1的圓內(nèi)及圓周上點的全體，如圖所示。7.1.1多元函數(shù)的概念152.多元函數(shù)的圖形設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D，對于D中任一點P(x,y)，對應(yīng)的函數(shù)值為z=f(x,y)。這樣，以x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)和z=f(x,y)為豎坐標(biāo)在空間就確定一點M(x,y,z)。當(dāng)(x,y)取遍D上的一切點時，得到一個空間點集

這個點集稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形，該圖形通常是一張曲面，定義域D就是此曲面在平面xOv上的投影，如圖所示。7.1.2多元函數(shù)的極限16設(shè)P0(x0，y0）是xOy平面上的一個點，δ是某一正數(shù)，與點P0(x0，y0）距離小于δ的點P(x，y)的全體，稱為點P0(x0，y0）的δ鄰域，記作U(P0，δ)，即口

。

。177.1.2多元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點P0(x0，y0）的某去心鄰域內(nèi)有定義，點P(x，y)是該鄰域內(nèi)異于P0(x0，y0）任意一點，如果當(dāng)點P(x,y)以任意方式無限地趨于P0(x0，y0）時，函數(shù)f(x，y)總趨于一個確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)→(x0，y0)時的極限,記作

或

也記作

或

18例27.1.2多元函數(shù)的極限

解：當(dāng)點P(x，y)沿x軸趨于點(0,0)，即當(dāng)y=0而x→0時，有

當(dāng)點P(x，y)沿y軸趨于點(0,0)，即當(dāng)x=0而y→0時，有

當(dāng)點P(x，y)沿直線y=kx(k≠0)，即當(dāng)y=kx而x→0時，有

197.1.2多元函數(shù)的極限例3求極限

解：

207.1.3多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在P0(x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義，如果定義3

217.1.3多元函數(shù)的連續(xù)性定義3如果函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每一點處都連續(xù)，則稱z=f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù),或稱z=f(x，y)是D上的連續(xù)函數(shù)。（1）多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。（2）多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)。所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的開區(qū)域或閉區(qū)域。（3）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。（4）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值。多元連續(xù)函數(shù)有如下特點：227.1.3多元函數(shù)的連續(xù)性例4求極限

因為點(1,2)為定義域D內(nèi)的一點，所以

課堂小結(jié)23多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的微分學(xué)7.27.2.1偏導(dǎo)數(shù)251.偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算法設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0，而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)的函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0，y0)，如果

定義1

，，或

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)261.偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算法

，，或

記作7.2.1偏導(dǎo)數(shù)271.偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算法

，，或

如果函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x，y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則這個偏導(dǎo)數(shù)就是x,y的函數(shù)，稱它為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作

，，或

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)281.偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算法偏導(dǎo)數(shù)的定義可以推廣到二元以上的函數(shù)。求多元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時，只需要把其他自變量看作常量，按照一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)即可。7.2.1偏導(dǎo)數(shù)29

例1

，，和

解:

把y看作常量，得

把x看作常量，得

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)30

例2

，

解:

，

例3

，

解:，

例4

，解:

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)31，

例5

，

解:把y,z都看作常量，得

把x,z都看作常量，得

把x,y都看作常量，得

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)322.高階偏導(dǎo)數(shù)定義2設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

或

。則在D內(nèi)fx(x,y)，fy(x,y)都是x,y的函數(shù)。如這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則稱它們?yōu)楹瘮?shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，按照對變量求導(dǎo)次序的不同，有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)。

其中第二、三個偏導(dǎo)數(shù)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。7.2.1偏導(dǎo)數(shù)33

例6

，

，，

解:因為，

，所以

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)34定理1

。7.2.2全微分351.全微分的概念由偏導(dǎo)數(shù)的定義知道，二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率。根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可知

以上兩式的左邊分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏增量，右邊分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏微分7.2.2全微分361.全微分的概念

7.2.2全微分37定義3

全微分7.2.2全微分38定理2可微的必要條件

7.2.2全微分39定理3可微的充分條件

類似地，以上二元函數(shù)全微分的定義及可微的必要條件、充分條件，可以推廣到三元及三元以上的函數(shù)．例如，若三元函數(shù)u=f(x,y,z)可微，則其全微分可寫為

7.2.2全微分40

例7

解:因為，，所以

求z=x2y2在點(2,-1)處的全微分例8解:因為

所以

7.2.2全微分412.全微分在近似計算中的應(yīng)用由二元函數(shù)全微分的定義及全微分存在的充分條件可知，當(dāng)二元函數(shù)z=f(x，y)在點(x,y)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x，y)，fy(x，y)連續(xù)，且|Δx|和|Δy|都較小時，有近似公式Δz≈dz=fx(x，y)Δx+fy(x，y)Δy（7-1）上式也可以寫成f

(x+Δx，y+Δy)≈

f(x，y)+fx(x，y)Δx+fy(x，y)Δy（7-2）7.2.2全微分42

例9解：設(shè)函數(shù)f(x,y)=xy。顯然，要計算的值就是函數(shù)在點x=1.04，y=2.02時的函數(shù)值f(1.04,2.02)。取x=1，y=2，Δx=0.04，Δy=0.02，由于fx(x，y)=yxy-1fy(x，y)=xylnxf

(1，2)=1fx(1，2)=2fy(1，2)=0所以，應(yīng)用式（7-2）便有

7.2.3多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則431.一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形定理4如果函數(shù)u=φ(t)及v=ψ(t)都在點t處可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u，v)在對應(yīng)點(u，v)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(t),ψ(t)]在點t處可導(dǎo)，且有

(7-3)7.2.3多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則441.一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形定理4式（7-3）可用圖所示來表達，z到t有兩條路徑，每條路徑中的箭頭表示前一個變量對后一個變量的導(dǎo)數(shù)（此處的導(dǎo)數(shù)包含偏導(dǎo)數(shù))，兩個箭頭相連表示兩個導(dǎo)數(shù)相乘,z對t求導(dǎo)就是兩條路徑之和。45

例107.2.3多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解：

467.2.3多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形定理5設(shè)u=φ(x，y)，v=ψ(x,y)都在點(x,y)處具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u，v)處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(x，y),ψ(x，y]，在點(x,y)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，且有

(7-5)(7-6)477.2.3多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

例11解：

487.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)方程F(x，y)=0確定了一元隱函數(shù)y=f(X)，將y=f(x)代入方程，得F[x,f(x)]=0上式左邊可看成x的一個復(fù)合函數(shù)，根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩邊對x求導(dǎo)，得

若Fy≠0則有

式（7-9）就是一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式497.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)公式類似地，設(shè)方程F(x，y，z)=0確定了二元隱函數(shù)z=f(x，y)，將z=f(x,y)代入方程得F[x,y,f(x,y)]=0根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，上式兩邊分別對x,y求導(dǎo)得

若Fz≠0則有

式（7-10）就是二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式507.2.4隱函數(shù)的求導(dǎo)公式例12

解：設(shè)F(x,y)=(x2+y2)2-2(x2

–y2)，因為

所以

例13設(shè)方程xy+sinz+y=2z確定了隱函數(shù)z=f(x,y),求

解：設(shè)F(x,y,z)=

xy+sinz+y-2z，因為

所以

517.2.5多元函數(shù)的極值及最值1.多元函數(shù)的極值定義4設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于(x0，y0)任一點(x，y)，都有f(x，y)<f(x0，y0)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x0，y0)處有極大值f(x0，y0)，點(x0，y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的極大值點；若對于該鄰域內(nèi)異于(x0，y0)的任一點(x，y)，都有f(x，y)>f(x0，y0)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x0，y0)處有極小值f(x0，y0)，點(x0，y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的極小值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。527.2.5多元函數(shù)的極值及最值例14函數(shù)z=2x2+3y2在點(0，0)處有極小值0,因為對于點(0，0)的任一鄰域內(nèi)異于(0,0)的點，其函數(shù)值都為正，而在點(0,0)處的函數(shù)值為0。從幾何上看，這是顯然的，因為點(0，0，0)是開口向上的橢圓拋物面z=2x2+3y2的頂點，如圖所示。解：537.2.5多元函數(shù)的極值及最值例15解：

547.2.5多元函數(shù)的極值及最值例16解：函數(shù)z=y2

–x2在點0,0)處既不取得極大值也不取得極小值。因為在點(0,0)處的函數(shù)值為0，而在點(0,0)的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點，也有使函數(shù)值為負(fù)的點。從幾何上看，函數(shù)z=y2-x2表示的是雙曲拋物面（馬鞍面)，如圖所示。557.2.5多元函數(shù)的極值及最值二元函數(shù)的極值概念可以推廣到n元函數(shù)。設(shè)n元函數(shù)u=f(P)在點P0的某一鄰域有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于P0的點P，都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P0))則稱函數(shù)f(P)在點P0處有極大值（或極小值）f(P0）在一元函數(shù)中，一般利用導(dǎo)數(shù)來解決極值問題；在二元函數(shù)中，可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決極值問題。567.2.5多元函數(shù)的極值及最值定理6極值存在的必要條件設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0，y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在該點處有極值，則有

以上定理可以推廣到三元及三元以上的函數(shù)。與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為0的點稱為函數(shù)駐點。577.2.5多元函數(shù)的極值及最值定理7極值存在的充分條件設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fx(x0，y0)=0,fy(x0，y0)=0，令

587.2.5多元函數(shù)的極值及最值例17求函數(shù)f(x,y)=x3+y3-3xy的極值解：

（1）先求一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，即f(x,y)=3x2-3yf(x,y)=3y2-3x

（2）解方程組

求得駐點為(0,0)和(1,1)

597.2.5多元函數(shù)的極值及最值2.多元函數(shù)的最值在實際可題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)在D上連續(xù)，其最大值（或最小值）一定在D內(nèi)取得，并知道函數(shù)在D內(nèi)可微，且只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)在D上的最大值（或最小值)。607.2.5多元函數(shù)的極值及最值例18某廠要用鐵板做成一個體積為2m3的有蓋長方體水箱。問當(dāng)長、寬和高各為多少時，才能使用料最省？

即可見材料面積A=A(x,y)是x和y的二元函數(shù)，這就是目標(biāo)函數(shù)，下面求使該函數(shù)取得最小值的點(x,y)。令

解上述方程組，得

617.2.5多元函數(shù)的極值及最值例18

627.2.5多元函數(shù)的極值及最值3.條件極值拉格朗日乘數(shù)法不用將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值，就可以直接求解設(shè)函數(shù)f(x,y)和φ(x，y)在所考慮的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且φx(x,y)不同時為0，求函數(shù)z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點，可通過以下步驟來求解。637.2.5多元函數(shù)的極值及最值3.條件極值拉格朗日乘數(shù)法(1）構(gòu)造輔助函數(shù)L(x，y)=f(x,y)+λφ(x，y)，其中λ為參數(shù)。(2）求輔助函數(shù)L(x，y)對x，y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為0，與方程φ(x,y)=0聯(lián)立起來，組成方程組：

647.2.5多元函數(shù)的極值及最值例19設(shè)某公司下屬的甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，當(dāng)甲、乙兩廠的產(chǎn)量分別為x件和y件時，總成本為C(x,y)=3x2+xy+y2+200000（元）?，F(xiàn)有總成本530000元，該如何分配中、乙兩廠的生產(chǎn)指標(biāo)，才能使甲、乙兩廠的產(chǎn)量之和為最大？解：

所求問題是在附加條件

下，求函數(shù)z=x+y的最大值。（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

657.2.5多元函數(shù)的極值及最值例19(3)因為x≥0，y≥0，所以由以上方程組可解得

所以(100,500)為可能極值點。根據(jù)題意可知，最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點處取得，也就是說當(dāng)x=100，y=500時，兩廠的產(chǎn)量之和最大，最大為100+500=600（件)。課堂小結(jié)66偏導(dǎo)數(shù)全微分多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)公式多元函數(shù)的極值及最值多元函數(shù)的積分學(xué)7.37.3.1多元函數(shù)的概念68引例1曲頂柱體的體積設(shè)有一個立體，它的底是xOy平面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線，而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，這里f(x，y)≥0且在D上連續(xù)。這種立體稱為曲頂柱體，如圖所示·現(xiàn)在來討論如何定義和計算該曲頂柱體的體積V。7.3.1多元函數(shù)的概念69引例1（1）分割把D任意分成n個小閉區(qū)域Δσ1,Δσ2,…,Δσn，分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面，這些柱面把原來的曲頂柱體分成n個細曲頂柱體。7.3.1多元函數(shù)的概念70引例1（2）近似代替我們在每個小閉區(qū)域Δσ1,（這個小閉區(qū)域的面積也記作Δσ1）中任取一點f(ξ，ηi)，則細曲頂柱體的體積ΔVi就近似為以Δσ1為底、f(ξ，ηi)為高的細平頂柱體的體積（見圖)，即

7.3.1多元函數(shù)的概念71引例1（3）求和n個細平頂柱體的體積相加，便得到整個曲頂柱體體積的近似值，即

當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大者（記作λ）趨于0時，如果上述和的極限存在，則此極就是所求曲頂柱體的體積，即

（4）取極限7.3.1多元函數(shù)的概念72引例2平面薄板的質(zhì)量如圖所示，設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(x，y)處的面密度為ρ(x，y)，這里ρ(x，y)>0且在D上連續(xù)，現(xiàn)在計算該薄片的質(zhì)量m。7.3.1多元函數(shù)的概念73引例2（1）分割把D任意分成n個小閉區(qū)域Δσi(i=1,2,…,n)（2）近似代替

在Δσi上任取一點f(ξi

,ηi)，則該小閉區(qū)域上的薄板質(zhì)量Δmi就近似為，即

7.3.1多元函數(shù)的概念74引例2（3）求和n個小閉區(qū)域上薄板質(zhì)量近似值相加，便得到整個平面薄板質(zhì)量的近似值，即（4）取極限當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大者（記作λ）趨于0時，如果上述和的極限存在，則此極限就是所求平面薄板的質(zhì)量，即

7.3.1多元函數(shù)的概念75定義設(shè)z=f(x,y)為有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).把閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域

7.3.2二重積分的性質(zhì)76性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可提到積分號外面，即

（k為常數(shù)）性質(zhì)2函數(shù)和與差的積分等于各函數(shù)積分的和與差，即

被積函數(shù)的可加性7.3.2二重積分的性質(zhì)77性質(zhì)3積分區(qū)域的可加性

若閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如，若D分為兩個部分閉區(qū)域D1，D2，則

性質(zhì)4

7.3.2二重積分的性質(zhì)78性質(zhì)5保序性若在D上，f(x，y)≤φ(x，y)，則有

推論由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|，所以

7.3.2二重積分的性質(zhì)79性質(zhì)6

性質(zhì)7二重積分的中值定理

7.3.3二重積分的計算801.在直角坐標(biāo)系中計算二重積分(1)如果積分區(qū)域D可用不等式φ1(x)≤y≤φ2(x)，a≤x≤b表示，即D={(x,y)|φ1(x)≤y≤φ2(x)，a≤x≤b}則稱D為X型區(qū)域，其中函數(shù)φ1(x)，φ2(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)。X型區(qū)域的特點是穿過D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點，如圖所示。直角坐標(biāo)系下二重積分的計算7.3.3二重積分的計算811.在直角坐標(biāo)系中計算二重積分(2)如果積分區(qū)域D可用不等式ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，c≤y≤d表示，即D={(x,y)|

ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，c≤y≤d}則稱D為Y型區(qū)域，其中函數(shù)ψ1(y)，ψ2(y)在區(qū)間[c，d]上連續(xù)。Y型區(qū)域的特點是穿過D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點，如圖所示。7.3.3二重積分的計算821.在直角坐標(biāo)系中計算二重積分積分區(qū)域D為X型區(qū)域的二重積分計算例：利用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來計算曲頂柱體的體積先計算平行截面的面積。如圖所示，在區(qū)舊[a,b]上任意取一定點x0，作平行于y0z面的平面x=x0，用這個平面去截曲頂柱體，得到一個以區(qū)間[φ1(x0)，φ2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其面積為

7.3.3二重積分的計算831.在直角坐標(biāo)系中計算二重積分積分區(qū)域D為X型區(qū)域的二重積分計算一般地，過區(qū)間[a，b]上任一點x且平行于面yOz的平面截曲頂柱體，所得截面的面積為

應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，得該曲頂柱體的體積為

7.3.3二重積分的計算841.在直角坐標(biāo)系中計算二重積分積分區(qū)域D為X型區(qū)域的二重積分計算因為

所以

即

（7-11）7.3.3二重積分的計算851.在直角坐標(biāo)系中計算二重積分積分區(qū)域D為Y型區(qū)域的二重積分計算類似地，如圖所示，如果積分區(qū)域D為Y型區(qū)域，用平行于xOz面的平面去截以D為底、以曲面z=f(x，y)為頂?shù)那斨w，則可以得到以下二重積分計算公式

7.3.3二重積分的計算861.在直角坐標(biāo)系中計算二重積分積分區(qū)域D為Y型區(qū)域的二重積分計算上式右邊積分稱為先對x、后對y的二次積分。這個積分也常記作

即

（7-12）7.3.3二重積分的計算87例1

解:因為D是X型區(qū)域，所以利用式（7-11）得

7.3.3二重積分的計算88例2

解:因為D是Y型區(qū)域，所以利用式（7-12）得

7.3.3二重積分的計算89例3計算其中D是由y=1,x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域

解：依據(jù)題意畫出積分區(qū)域D,如圖所示。D既是X型區(qū)域，又是Y型區(qū)域方法1:若D表示為X型區(qū)域，即

則有

方法2:若D表示為Y型區(qū)域，即

則有

7.3.3二重積分的計算90例4計算其中D是由y=x,y=1及y軸所圍成的閉區(qū)域

解：依據(jù)題意畫出積分區(qū)域D,如圖所示。D既是X型區(qū)域，又是Y型區(qū)域方法1:若D表示為Y型區(qū)域，即

則有

方法2:若D表示為X型區(qū)域，即

則有

7.3.3二重積分的計算91例5計算二重積分其中D是由y=2,y=x及雙曲線xy=1所圍成的閉區(qū)域解：依據(jù)題意畫出積分區(qū)域D,如圖所示。D既是X型區(qū)域，又是Y型區(qū)域方法1:若D表示為Y型區(qū)域，即

則有

7.3.3二重積分的計算92例5計算二重積分其中D是由y=2,y=x及雙曲線xy=1所圍成的閉區(qū)域方法2:若D表示為Y型區(qū)域，即

則有

D1和D2都表示成X型區(qū)域有

于是，根據(jù)積分區(qū)域的可加性，有7.3.3二重積分的計算932.在極坐標(biāo)系中計算二重積分積分區(qū)域D為Y型區(qū)域的二重積分計算如圖所示，假定從極點O出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點。我們用以極點為中心的一族同心圓（ρ=常數(shù))；以及從極點出發(fā)的一族射線(θ=常數(shù))，把D分成n個小閉區(qū)域。7.3.3二重積分的計算942.在極坐標(biāo)系中計算二重積分除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積Δσi可按下式計算

-

-------

-----即7.3.3二重積分的計算952.在極坐標(biāo)系中計算二重積分這里我們把點(ρ,θ)看成是在同一平面上的點(x，y)的極坐標(biāo)表示，所以上式右邊的積分區(qū)域仍然記作D。因為在直角坐標(biāo)系中也常記作，所以上式又可寫成

（7-13）7.3.3二重積分的計算962.在極坐標(biāo)系中計算二重積分極點在積分區(qū)域D的外部

7.3.3二重積分的計算972.在極坐標(biāo)系中計算二重積分極點在積分區(qū)域D的外部極坐標(biāo)系中二重積分化為二次積分的計算公式為

上式也寫成

（7-14）7.3