初中數學函數總結

函數知識點及常見題型總結函數在初中數學中考中分值大約有20~25分，一次函數、二次函數和反比例函數都會考查，其中一次函數和反比例函數分值共約占其中的50%，二次函數約占另一半。函數的題型以下歸納總結了11種，當然這并不包括所有可能出現的情況，僅僅只是較為常見的。函數有時是以下題型組合起來構成的較為復雜的題型，因此，我們必須掌握住以下題型才能尋求突破。換句話說，我們掌握住以下題型，復雜的題型分解開來，我們也能各個突破，最終解決掉。一、核心知識點總結1、函數的表達式1）一次函數：y=kx+b(是常數，)2）反比例函數：函數（是常數，）叫做反比例函數。注意：3）二次函數：，2、點的坐標與函數的關系1）點的坐標用表示，橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開。平面內點的坐標是有序實數對，當時，和是兩個不同點的坐標。2）點的坐標：從點向x軸和y軸引垂線，橫縱坐標的絕對值對應相對應線段的長度。3）若某一點在某一函數圖像上，則該點的坐標可代入函數的表達式中，要將函數圖像上的點與坐標一一聯系起來。3、函數的圖像1）一次函數一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數圖像圖像特征k>0b>0y0x圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0x圖像經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。k<0k<0b>0y0x圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0圖像經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，一次函數變?yōu)檎壤瘮?，正比例函數是一次函數的特例?）反比例函數反比例函數k的符號k>0k<0圖像yOxyOx性質①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，y隨x的增大而增大。3）二次函數函數二次函數圖像a>0a<0y0xy0x性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，4、函數圖像的平移①將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；②保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：③平移規(guī)律在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．二、常見題型：求函數的表達式常見求函數表達式的方法是待定系數法，假設出函數解析式，將函數上的點的坐標代入函數，求出未知系數。在函數大題中，第一小問基本都是采用待定系數法求函數的表達式。注意：二次函數的解析式常根據具體情況選擇采用以下方式求解：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩點式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．【例1】（2015?武漢）已知一次函數y=kx+3的圖象經過點（1，4）．（1）求這個一次函數的解析式；（2）求關于x的不等式kx+3≤6的解集．【例2】（2015?海南）如圖，二次函數y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點C，點G是二次函數圖象的頂點，直線GC交x軸于點H（3，0），AD平行GC交y軸于點D．求該二次函數的表達式。2、將函數的知識與幾何知識聯系起來的復合題此類題目是在函數圖像中有幾何圖形，一般情況是通過點的坐標可得出相對應的線段的長度，最終求得線段的長度或是圖形的面積與周長等。【例3】（2015?黃岡中學自主招生）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點，A（0，0），在△ABC內依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3B3，…則第n個等邊三角形的邊長等于（）A． B． C． D．【例4】（2015?德陽）如圖，在一次函數y=﹣x+6的圖象上取一點P，作PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，且矩形PBOA的面積為5，則在x軸的上方滿足上述條件的點P的個數共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3、根據函數圖像判定系數的正負性或取值范圍【例5】（2015?魏縣二模）若直線y=mx+2m﹣3經過二、三、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＜ B．m＞0 C．m＞ D．m＜0【例6】（2015?咸寧）如圖是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，下列結論：①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4、根據系數的范圍判定函數圖像在坐標系中的位置【例7】（2015?棗莊）已知直線y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那該直線不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例8】（2015?杭州模擬）已知直線y=kx+b，若k+b＜0，kb＞0，那么該直線不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、函數值域【例8】（2015?天津）己知反比例函數y=，當1＜x＜3時，y的取值范圍是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞66、函數圖像單調性的判定【例9】（2015?營口）如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣3，1），以點O為頂點作等腰直角三角形AOB，雙曲線y1=在第一象限內的圖象經過點B．設直線AB的解析式為y2=k2x+b，當y1＞y2時，x的取值范圍是（）A．﹣5＜x＜1 B．0＜x＜1或x＜﹣5 C．﹣6＜x＜1 D．0＜x＜1或x＜﹣6【例10】（2015?上海模擬）已知正比例函數y=kx（k≠0）的圖象經過點（﹣4，2），那么函數值y隨自變量x的值的增大而．（填“增大”或“減小”）【例11】（2015?欽州）對于函數y=，下列說法錯誤的是（）A．這個函數的圖象位于第一、第三象限B．這個函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．當x＞0時，y隨x的增大而增大D．當x＜0時，y隨x的增大而減小7、點的縱坐標大小比較與最值【例12】（2015?富順縣一模）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三點都在y=﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是．【例13】（2015?湖北校級自主招生）已知a≥4，當1≤x≤3時，函數y=2x2﹣3ax+4的最小值是﹣23，則a=．8、函數圖像的平移在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”【例14】（2015?閘北區(qū)模擬）將一次函數y=x+3的圖象沿著y軸向下平移5個單位，那么平移后所得圖象的函數解析式為．9、利用函數解實際問題很據實際問題建立函數模型，最終求解?！纠?5】（2015?武漢校級模擬）甲、乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應關系如圖所示，則當乙車到達B城時，甲車離B城的距離為km．【例16】（2015?盤錦）盤錦紅海灘景區(qū)門票價格80元/人，景區(qū)為吸引游客，對門票價格進行動態(tài)管理，非節(jié)假日打a折，節(jié)假日期間，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超過10人的部分打b折，設游客為x人，門票費用為y元，非節(jié)假日門票費用y1（元）及節(jié)假日門票費用y2（元）與游客x（人）之間的函數關系如圖所示．（1）a=，b=；（2）直接寫出y1、y2與x之間的函數關系式；（3）導游小王6月10日（非節(jié)假日）帶A旅游團，6月20日（端午節(jié)）帶B旅游團到紅海灘景區(qū)旅游，兩團共計50人，兩次共付門票費用3040元，求A、B兩個旅游團各多少人？10、函數與幾何綜合題此類題型一般是利用函數圖像上點的坐標，確定線段的長度，最后再利用幾何知識解題，這類題有一定難度。做這類題的關鍵是將函數的知識與幾何知識聯系起來?！纠?7】（2015?錦州）如圖，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數y=x的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為（6，2），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則第4個正方形的邊長是，S3的值為．【例18】（2015?麗水）如圖，反比例函數y=的圖象經過點（﹣1，﹣2），點A是該圖象第一象限分支上的動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，頂點C在第四象限，AC與x軸交于點P，連結BP．（1）k的值為．（2）在點A運動過程中，當BP平分∠ABC時，點C的坐標是．11、壓軸題中的二次函數題此類題一般第一問是求函數的解析式，第二、三問是與幾何知識聯系起來的求兩個量之間的函數關系，求最值，求特殊點等題型。常用公式有：兩點間距離公式點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為2）勾股定理在直角三角形中，斜邊長的平方等與兩直角邊的平方和?！纠?9】（2015?威海）已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點A，B