電大作業(yè)答案

《數(shù)學(xué)思想與方法》形成性考核冊(cè)作業(yè)1答案作業(yè)1一、簡(jiǎn)答題1、分別簡(jiǎn)單敘說(shuō)算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本思想，并且比較它們的區(qū)別。答：算術(shù)解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量，收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問(wèn)題的條件列出關(guān)于這些具體數(shù)據(jù)的算式，然后通過(guò)四則運(yùn)算求得算式的結(jié)果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問(wèn)題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程，然后通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行恒等變換求出未知數(shù)的值。它們的區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量，而代數(shù)解題允許未知的量參與運(yùn)算；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式，而代數(shù)方法的關(guān)鍵之處是列方程。2、比較決定性現(xiàn)象和隨機(jī)性現(xiàn)象的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單敘說(shuō)確定數(shù)學(xué)的局限。答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性現(xiàn)象，另一類是隨機(jī)現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，其結(jié)果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結(jié)果之間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預(yù)知結(jié)果如何。隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。對(duì)于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。用這些的分支來(lái)定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程，從而確定結(jié)果。但是由于隨機(jī)現(xiàn)象條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來(lái)加以定量描述。同時(shí)確定數(shù)學(xué)也無(wú)法定量地揭示大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中所蘊(yùn)涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學(xué)的局限所在。二、論述題1、論述社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因。答：從整個(gè)科學(xué)發(fā)展趨勢(shì)來(lái)看，社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化也是必然的趨勢(shì)，其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個(gè)方面：第一，社會(huì)管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的最根本的因素。第二，社會(huì)科學(xué)的各分支逐步走向成熟，社會(huì)科學(xué)理論體系的發(fā)展也需要精確化。第三，隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會(huì)歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支。第四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用，使非常復(fù)雜社會(huì)現(xiàn)象經(jīng)過(guò)量化后可以進(jìn)行數(shù)值處理。2、論述數(shù)學(xué)的三次危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。答：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和理解無(wú)理數(shù)，導(dǎo)致了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)ド钊胩接憣?shí)數(shù)理論，導(dǎo)致了分析基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們研究和分析數(shù)學(xué)悖論，導(dǎo)致了數(shù)理邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭(zhēng)是事物發(fā)展的歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭(zhēng)的歷史，斗爭(zhēng)的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。三、分析題1、分析《幾何原本》思想方法的特點(diǎn)，為什么？答：（1）封閉的演繹體系因?yàn)樵凇稁缀卧尽分?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過(guò)的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對(duì)概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。另外，《幾何原本》的理論體系回避任何與社會(huì)生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，因此對(duì)于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，它也是封閉的。所以，《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。（2）抽象化的內(nèi)容：《幾何原本》中研究的對(duì)象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，不討論這些概念和命題與社會(huì)生活之間的關(guān)系，也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)原型。因此《幾何原本》的內(nèi)容是抽象的。（3）公理化的方法：《幾何原本》的第一篇中開(kāi)頭5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，是全書(shū)其它命題證明的基本前提，接著給出23個(gè)定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個(gè)定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過(guò)的定理。以后各篇除了不再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識(shí)體系與表述方法就是公理化方法。2、分析《九章算術(shù)》思想方法的特點(diǎn)，為什么？答：（1）開(kāi)放的歸納體系：從《九章算術(shù)》的內(nèi)容可以看出，它是以應(yīng)用問(wèn)題解法集成的體例編纂而成的書(shū)，因此它是一個(gè)與社會(huì)實(shí)踐緊密聯(lián)系的開(kāi)放體系。在《九章算術(shù)》中通常是先舉出一些問(wèn)題，從中歸納出某一類問(wèn)題的一般解法；再把各類算法綜合起來(lái)，得到解決該領(lǐng)域中各種問(wèn)題的方法；最后，把解決各領(lǐng)域中問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法全部綜合起來(lái)，就得到整個(gè)《九章算術(shù)》。另外該書(shū)還按解決問(wèn)題的不同數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納，從這些方法中提煉出數(shù)學(xué)模型，最后再以數(shù)學(xué)模型立章寫(xiě)入《九章算術(shù)》。因此，《九章算術(shù)》是一個(gè)開(kāi)放的歸納體系。（2）算法化的內(nèi)容：《九章算術(shù)》在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并對(duì)每個(gè)問(wèn)題都給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問(wèn)題的共同解法。因此，內(nèi)容的算法化是《九章算術(shù)》思想方法上的特點(diǎn)之一。（3）模型化的方法：《九章算術(shù)》各章都是先從相應(yīng)的社會(huì)實(shí)踐中選擇具有典型意義的現(xiàn)實(shí)原型，并把它們表述成問(wèn)題，然后通過(guò)“術(shù)”使其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然有的章采取的是由數(shù)學(xué)模型到原型的過(guò)程，即先給出數(shù)學(xué)模型，然后再舉出可以應(yīng)用的原型。

《數(shù)學(xué)思想與方法》形成性考核冊(cè)作業(yè)2答案數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)2一、簡(jiǎn)答題1、敘述抽象的含義及其過(guò)程。答：抽象是指在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，舍棄那些個(gè)別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維過(guò)程。人們?cè)谒季S中對(duì)對(duì)象的抽象是從對(duì)對(duì)象的比較和區(qū)分開(kāi)始的。所謂比較，就是在思維中確定對(duì)象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；而所謂區(qū)分，則是把比較得到的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)在思維中固定下來(lái)，利用它們把對(duì)象分為不同的類。然后再進(jìn)行舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考慮對(duì)象的某些性質(zhì)，收括則是指把對(duì)象的我們所需要的性質(zhì)固定下來(lái)，并用詞表達(dá)出來(lái)。這就形成了抽象的概念，同時(shí)也就形成了表示這個(gè)概念的詞，于是完成了一個(gè)抽象過(guò)程。2、敘述概括的含義及其過(guò)程。答：概括是指在認(rèn)識(shí)事物屬性的過(guò)程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質(zhì)的屬性聯(lián)系起來(lái)，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過(guò)程。概括通?？煞譃榻?jīng)驗(yàn)概括和理論概括兩種。經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對(duì)個(gè)別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識(shí)——由對(duì)個(gè)體特性的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)個(gè)體所屬的種的特性的認(rèn)識(shí)。理論概括則是指在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上，由對(duì)種的特性的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)種所屬的屬的特性的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的是理論概括。一個(gè)概括過(guò)程包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。3、簡(jiǎn)述公理方法歷史發(fā)展的各個(gè)階段答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個(gè)階段。第一個(gè)具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》開(kāi)創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來(lái)的，現(xiàn)代科學(xué)也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4、簡(jiǎn)述化歸方法并舉例說(shuō)明。答：所謂“化歸”，從字面上看，應(yīng)可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學(xué)家們把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，最終求獲原問(wèn)題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程

可以令

，將原方程化為師：數(shù)完邊點(diǎn)數(shù)，我們?cè)賮?lái)計(jì)算每個(gè)圖的面積。結(jié)果也填入表中。（師生一起計(jì)算面積，過(guò)程略）圖形邊上點(diǎn)數(shù)內(nèi)部點(diǎn)數(shù)面積⑴401(2)602(3)803(4)1406(5)412(6)613(7)814(8)1417(9)423(10)624(11)825(12)1428四、尋找每一列三個(gè)數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個(gè)表，找一找每列三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。告訴同學(xué)們，希望找到相同的規(guī)律。生：第一列，邊點(diǎn)數(shù)等于面積乘以4。師：這個(gè)規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能，因?yàn)?不等于2乘以4。生2：第一列，邊點(diǎn)數(shù)除以2，減去面積等于1。師：好！看看這個(gè)規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師，這個(gè)規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個(gè)規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點(diǎn)數(shù)除以2，加上內(nèi)點(diǎn)數(shù)，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個(gè)規(guī)律。五、總結(jié)師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)成公式：邊點(diǎn)數(shù)/2＋內(nèi)點(diǎn)數(shù)－面積＝1也可以寫(xiě)為：邊點(diǎn)數(shù)/2＋內(nèi)點(diǎn)數(shù)－1＝面積2、假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)孕育“類比法”教學(xué)片斷。提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1)以小組合作探究的形式，讓學(xué)生舉例說(shuō)明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母之間存在什么樣的關(guān)系(相似關(guān)系)？商與分?jǐn)?shù)又有什么關(guān)系(相似關(guān)系)？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結(jié)論又是什么呢？通過(guò)一系列層層遞進(jìn)式的問(wèn)題情境，把學(xué)生的思維導(dǎo)向分?jǐn)?shù)與商相似的特征上來(lái)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的全過(guò)程；(2)教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分?jǐn)?shù)的性質(zhì)”的過(guò)程，并重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，使學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用“類比法”獲取新知識(shí)的策略。教學(xué)片斷設(shè)計(jì)如下：一、回憶除法和分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念師：同學(xué)們還記得除法的哪些概念和記號(hào)？生：被除數(shù)÷除數(shù)＝商師：對(duì)。我們?cè)倩貞浄謹(jǐn)?shù)的概念和記號(hào)。師：好。大家一起來(lái)比較這兩個(gè)概念的相似性。生：商好比分?jǐn)?shù)，被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大，商不變。生2：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)縮小，商也不變。三、類比出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)師：對(duì)。剛才我們知道商好比分?jǐn)?shù)，因此我們可以問(wèn)：除法的這些性質(zhì)是否可以類比到分?jǐn)?shù)上來(lái)呀？生：可以。師：應(yīng)該怎樣類比呢？生：分子與分母同時(shí)擴(kuò)大，分?jǐn)?shù)不變。生2：分子與分母同時(shí)縮小，分?jǐn)?shù)不