2023屆河南省(菁師聯(lián)盟)高三上學(xué)期12月質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

2023屆河南?。ㄝ紟熉?lián)盟）高三上學(xué)期12月質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題Bxx2x0，則AB（）xx1．已知全集UR，集合AUUA．0,2B．,02,C．0,2D．,02,【答案】B【分析】解不等式確定集合A,B，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．AB0,2，【詳解】因?yàn)榧螦xx110,2，Bxxx0,10,，2ABAB,02,.UUU故選：B．2．已知復(fù)數(shù)z滿足z(32i)13i，則z的虛部為（）A．1311B．133C．3D．111313【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和四則運(yùn)算即可求解【詳解】因?yàn)閦(32i)13i，所以z13i(13i)(32i)311i，則z的虛部為1311.32i(32i)(32i)1313故選：A.3．2021年，我國(guó)全年貨物進(jìn)出口總額391009億元，比上年增長(zhǎng)21.4%.其中，出口217348億元，增長(zhǎng)21.2%；進(jìn)口173661億元，增長(zhǎng)21.5%.貨物進(jìn)出口順差43687億元，比上年增加7344億元.如圖是我國(guó)2017—2021年貨物進(jìn)出口總額統(tǒng)計(jì)圖，則下面結(jié)論中不正確的是（）A．2020年的貨物進(jìn)出口總額322215億元B．2020年的貨物進(jìn)出口順差36343億元第1頁(yè)共18頁(yè)C．2017—2021年，貨物進(jìn)口總額逐年上升D．2017—2021年，貨物出口總額逐年上升【答案】C【分析】根據(jù)2017—2021年貨物進(jìn)出口總額統(tǒng)計(jì)圖，依次分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，2020年的貨物進(jìn)出口總額為142936179279322215億元，故A正確；對(duì)于B，2020年的貨物進(jìn)出口順差為17927914293636343億元，故B正確；對(duì)于C，2020年的貨物進(jìn)口總額為142936億元，相對(duì)于2019的貨物進(jìn)口總額143254億元下降了，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2017—2021年，貨物出口總額逐年上升，故D正確.故選：C4．丹麥化學(xué)家索倫森是首位建立PH值概念的生化學(xué)家，他把PH值定義為PHlgH，式子中指的是溶液中的氫離子的濃度，單位為摩爾/升（），若某種溶液中的氫離子的濃度為H的mol/L6108mol/L，則該溶液的PH值約為（ln60.78）（）A．8【答案】CB．7.78C．7.22D．6【分析】代入公式計(jì)算即可.8lg680.787.22.8【詳解】PHlgHlg610故選：C5．已知直線l：2xy20與拋物線C：y4x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B到x軸的距離分別為211，，則（）mnmn6666A．B．C．D．2346【答案】A線方程，求出點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到m，，n求出的值11.【分析】聯(lián)立直線方程與拋物mn【詳解】聯(lián)立2xy20與y4x得：y22y40，22解得：y126,y226，不妨令m26，則n62，11mn116.2所以2662故選：A第2頁(yè)共18頁(yè)12123D．或231113122【答案】Acoscos【分析】利用題給條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?，的夾角為，且向量120eeee2與3的夾角為，ee1212122eee3e15cos12，所以cos12054cos106cos12122eee3e1212則62cos215cos230，(2cos1)(31cos23)0即123cos31cos解之得或（舍）21cos則，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．2故選：A7．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a，b4，c13，點(diǎn)D，E分別是邊BC，ABC3的中點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則四邊形BDOE的面積為（）ADCEOBA23A．34353B．C．3D．54【答案】Cπ1SACB【分析】利用余弦定理求出，連接，利用重心性質(zhì)得到S△EOBS，從而△ACBBO36△DOB1求出四邊形的面積為，得到答案.BDOES3△ACB【詳解】如圖，連接BO，∵a3，4，c13，b第3頁(yè)共18頁(yè)22∵ACB0,π，π∴ACB3，因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別是邊BC，BA的中點(diǎn)，且AD，CE交于點(diǎn)O，13，OE1S所以O(shè)為的重心，則ABC，則△AOBCE3S△ACBS△EOB1S1S61S又因?yàn)?，所以S△EOB，同理，S△DOB，△ACB6△ACB△AOB設(shè)四邊形BDOE的面積為S，1S1S1S則S，△ACB663△ACB△ACB其中S134333，故S223.△ACB即四邊形BDOE的面積為3.故選：C8．如圖為某四面體的三視圖，則該幾何體的體積為（）3233433A．B．C．D．33【答案】B【分析】先求得該四面體的直觀圖，再利用割補(bǔ)法即可求得該四面體的體積【詳解】由題意得該四面體ABCD的直觀圖如圖所示，圖中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為2，1，3，1123則四面體ABCD的體積V2134213．323故選：B第4頁(yè)共18頁(yè)100π,100π上恰有10039．已知函數(shù)fx()cos(x),(0,π0)，(0)，且在fxf2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）147149A．,147149300300149151C．,300300149151D．300300B．,,300300【答案】C【分析】利用題給條件列出關(guān)于的不等式組，解之即可求得的取值范圍f(x)cos(x),(0,π0)，【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則π6，所以f(x)cosxπ，63f(0)cos22ππk3π6ππ．f(x)cosx0，可得xπkZkZ由k，．則，x622π49π3所以100π，解之得149151，23300300π51π100π149151300300,.所以的取值范圍是故選：C10．盒子中有9個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，6個(gè)黑球，從中依次隨機(jī)摸出3個(gè)小球，則第三次摸到紅球的概率為（）19A．84115D．14B．C．43【答案】C【分析】對(duì)第一，二次抽到的球的顏色進(jìn)行分類討論，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得結(jié)果.【詳解】第三次摸到紅球包括四種情況：321198784第一次摸到紅球，第二次摸到紅球，第三次摸到紅球，概率為P1；；3626三次摸到紅球，概率為P2第一次摸到紅球，第二次摸到黑球，第987846326第一次摸到黑球，第第一次摸到黑球，第三次摸到紅球的概率為故選：C二次摸到紅球，第三次摸到紅球，概率為P；98784265315二次摸到黑球，第三次摸到紅球，概率為P；98784216615281所以第，PPPPP848484848431234第5頁(yè)共18頁(yè)x2C：1a0,b0的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C交于A，B兩FFF122ab22y211．雙曲線FM1點(diǎn)，且2，ABFFB60，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）FFAFMAF22211245221321A．B．C．D．3378【答案】B【分析】設(shè)BFt，由已知得，利用雙曲線定義知，AF2tBFt2aAF2t2a，22114213在BFF中與中分別利用余弦定理，再結(jié)合BFA△cosAMFcosFMF0，可求得FM1a，121121進(jìn)而得解【詳解】設(shè)BFt，因?yàn)?，所以，AF2tAF2FB222BFBF2a2BFta由雙曲線定義知，則121AFAF2a，則AF2t2a由雙曲線定義知121FFc，因?yàn)椋?設(shè)，ABF60c2a2b2121(t2a)2t2(2c)22(t2a)tcosFBF1t22at4a24c20①；在BFF中，△21212(t2a)2(3t)2(2t2a)22(t2a)3tcosFBA13t210at0在BFA中，211107ta，代入①式，得．ca解得：3310MF點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以23a，MAFAM2cosAMFcosFMF0因?yàn)?，所?2110232103aFM2610142a22aFMaaFM223330FM42111a，2103aFM3111421a14221，7FM3FF又因?yàn)?，所以a1FF314123a12故選：B12．設(shè)log4，，，則（）ablog5clog86912abcA．B．bacC．bcaD．cab【答案】B第6頁(yè)共18頁(yè)【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分別求得a，b，c所在的范圍，即可得到a，b，c的34log4log44log633，則a46663b44b4log5log54log933，則9993c44c4log8log84log1233，則121212babc所以，．4又5a5log4log45log644，則a56664ac．5c5log8log85log1244，則，所以c5121212bac綜上，，故選：B．二、填空題xy1013．若x，y滿足約束條件xy10，則y2x的最大值為______.y0【答案】1zy2x平移可得【分析】畫出可行域，然后把目標(biāo)函數(shù).zy2x，即直線y2xz經(jīng)【詳解】解析：如圖所示，，滿足的平面區(qū)域如圖中陰影所示，令xy過(guò)點(diǎn)0,1z1y2x，即的最大值為1.時(shí)，z最大，且max故答案為：1614．xx1展開式中x6的系數(shù)為______．（答案用數(shù)字作答）3【答案】44第7頁(yè)共18頁(yè)【分析】根據(jù)題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，分析運(yùn)算．66xx3的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為【詳解】對(duì)1x3x16rTCrx1x,r0,1,2,3,4,5,6，3rr16k對(duì)1x的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為TC1x1kCkxk,k0,1,2,...,n，n1k1nkknn由題意可得：1415x12，當(dāng)4時(shí)，CT546x3x6x4rn4,k0，則T10C0x01，11則令415115；∴x6的系數(shù)為11，r=5當(dāng)時(shí)，C561xT656x3xx35n5,k3，則T13C3x310x143則令，561060；∴x6的系數(shù)為0，r6當(dāng)時(shí)，C1xT766x31x66n6,k6，則T16C6x6x176則令，6∴x6的系數(shù)為111；1560144.系數(shù)為：綜上所述：的x644.15．在四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，平面SAC平面ABCD，cosSAC則四棱錐SABCD表面積為______.故答案為：1SC，4，3外接球的18π【答案】【分析】先利用球的性質(zhì)推得OG底面，從而推得外接球球心是外接圓的圓心，在SACABCD中利用正弦定理求得，由R此即可求得所求.SAC【詳解】記的中點(diǎn)為，四棱錐SABCD外接球球心為，連接OG,OA,OB,OC,OD,OS，在SACACGO中過(guò)G作OGAC交SC于O，如圖，11因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，為的GAC中點(diǎn)，所以G是底面外接圓的圓心，ABCD所以O(shè)G底面ABCD，平面ABCDAC，OGAC，OG平面SAC，因?yàn)槠矫鍿AC平面ABCD，平面SAC11第8頁(yè)共18頁(yè)OG底面，ABCD1OG,OG共線，111OG平面，所以平面，則在面內(nèi)，OGOSACSACSAC1所以四棱錐在中，因?yàn)閏osSAC13，0SACπ，SAC22所以sinSAC1cos，234SC則由正弦定理得2Rsin3232，得，R223SAC232218π外接球的表面積為4πR4πS2.所以四棱錐SABCD2故答案為：18π..1()ecosx16．關(guān)于函數(shù)fx有如下四個(gè)命題：ecosx①fx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②fx的圖象關(guān)于對(duì)稱；π,01e③fx的最小值是；e④fx在上單調(diào)遞減．0,π其中所有真命題的序號(hào)是______．【答案】①③④【分析】對(duì)①：根據(jù)偶函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)②：根據(jù)對(duì)稱性的定義分析判斷；對(duì)③：利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)④：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.1ecosxe11ecosx【詳解】因?yàn)?)ecosxefx，fxfx，所以fx為偶函數(shù)，cosxecosxcosx第9頁(yè)共18頁(yè)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故①正確；y11∵f(2π)ecos(2πx)execosxef(x)，所以fx的圖象關(guān)于xπ對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；cos(2πx)cosx，即fx的最小值是1ee，11令tcosx1,1，則在t1,1上單調(diào)遞增，所以yeyetetemin故③正確；1令tcosx在0,π上單調(diào)遞減，在t1,1上單調(diào)遞增，所以fx在上單調(diào)遞減，0,πyetet故④正確；則所有真命題的序號(hào)是①③④．故答案為：①③④.三、解答題17．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且滿足a2，a2a3n3nan．n1n1(1)證明：數(shù)列a3n為等比數(shù)列；n132n2(2)若TS3n，求T的最小值．n2nn【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)17a3(n1)用【分析】（1）把a(bǔ)3n來(lái)表示；nn1（2）求出T，然后判斷T的單調(diào)性，再求最小值.nna2a3n3，所以a3(n1)2a6n2a3n，又因?yàn)閍2，【詳解】（1）因?yàn)閚1nn11nna3(n1)3為等比數(shù)列；na310，2，所以數(shù)列a則1na3n1nn（2）由（1）得a3na322，則a23n，n1n1n1n1nS12n3n(n1)2n13n(n1)，2212n133n(n1)31322nn2n22nn則TS3nn21218n，22n當(dāng)n2時(shí)，218n2n118(n1)2n18，TTnnn1所以當(dāng)n5且nN時(shí)，280，即TT，則TTTn1；TTnn1*nn1456當(dāng)n4時(shí)，TT2380，即TT；4343第10頁(yè)共18頁(yè)2n3當(dāng)且n時(shí)，TT280TTTTT，即，則．n1N*nn1nn1321TTT17T的最小值為17．，即34n綜上，nmin18．某射擊隊(duì)派出甲、乙兩人參加某項(xiàng)射擊比賽，比賽規(guī)則如下：開始時(shí)先在距目標(biāo)50米射擊，但目標(biāo)為100米；第停止射擊；第一次沒(méi)有命中，可以進(jìn)行第二次射擊，二次沒(méi)有命中，還可在50米，命中則此時(shí)目標(biāo)在150米處；若第以進(jìn)行第三次射擊，三次沒(méi)命中則停止射擊，比賽結(jié)束．已知甲11概率分別為，，，乙在50米，100米，150米處擊中目標(biāo)的概率361100米，150米處擊中目標(biāo)的2111分別為，，．452(1)求甲，乙兩人中恰有一人命中目標(biāo)的概率；(2)若比賽規(guī)定，命中目標(biāo)得2分，沒(méi)有命中目標(biāo)得0分，求該射擊隊(duì)得分X（X為甲，乙得分之和）的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)3790；128數(shù)學(xué)期望為.45(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）先根據(jù)題意分別求甲、乙命中目標(biāo)的概率，再求甲，乙兩人中恰有一人命中目標(biāo)的概率；（2）根據(jù)題意可得X的取值為：0，2，4，結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)求分布列和期望.111概率分別為，，，【詳解】（1）因?yàn)榧自?0米，100米，150米處擊中目標(biāo)的所以甲命中目36211111113P111標(biāo)的概率為；22323618因?yàn)橐以?0米，100米，150米處擊11112中目標(biāo)的概率分別為，，．所以乙命中目標(biāo)的概率為45111111722424510P111．2137137371．1810181090P1則甲，乙兩人中恰有一人命中目標(biāo)的概率為（2）X的取值為：0，2，4，1318101271137137371；1810181090P(X0)11P(X2)1；P(X4)91．1371810180則X的分布列為：X024第11頁(yè)共18頁(yè)1379091P180則EX01243791128．12901804519．如圖，在三棱柱ABCABC中，AABACAAC2，ABC90．111111(1)求直線AB與平面ABC所成的角；1AABC的正弦值．(2)若AB1，求二面角1【答案】(1)60(2)86565AEACAEBEAE，，從而得到平1【分析】（1）取AC的中點(diǎn)E，連接，，由題意可得AEBE111ABE面ABC，即直線與平面所成角為ABABCABE，在直角中，求解即可；111（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的BC方向?yàn)閥軸正方向，垂直于平面ABC向上BA的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求AAB出平面的法向量和平面的法向量，即可求1CAB1解.【詳解】（1）如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接，，AEBE1AABACAAC2AEAC，所以1因?yàn)椋?11AEAA2AE222123．111AC1．又因?yàn)锳BC90，所以BE2所以AE2BE2AB2，則，AEBE111又因?yàn)锳CBEE，所以平面，所AEABCABCABE以直線與平面所成角為，1AB11tanABE3ABEABE603，即在直角中，1，111第12頁(yè)共18頁(yè)60AB與平面所成的角為．ABC1（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，垂直于平面向B上xyABC建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳C2，AB1，90，所以的方向?yàn)檩S正方向，z31B0,0,0，C3,0,0，A0,1,0，,,3，BC3，由（1）得，A22131BC3,0,0，BA0,1,0，BA,,3，則221，1nx,y,z設(shè)平面AAB的法向量為1111BAny023,0,3.11，即n13x12y3z0BAn211111，2nx,y,zCAB的法向量為設(shè)平面1222BCn3x022，即n20,23,1.3x12y3z0BAn212222nn365，AABC的平面角為，則cos12設(shè)二面角nn1651123121222sin165865652，則二面角865AABC的正弦值為．所以6516532a3220．已知橢圓C：x221ab0上點(diǎn)yM的距離的最大值21上點(diǎn)P1,與圓x2ya2b2為21．(1)求橢圓C的方程；223(2)若點(diǎn)0,，不過(guò)的動(dòng)直線Q0,1QAQBl與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：動(dòng)直線l39過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．第13頁(yè)共18頁(yè)x2(1)1；43y2【答案】l過(guò)定點(diǎn)(2)證明見(jiàn)解析，直線【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值得到方程組，解出參數(shù)即可得橢圓C的方程；（2）分別討論斜率存在與否，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算建立方程求解.其中斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算建立方程.3x2C1）因?yàn)闄E圓：1ab0過(guò)點(diǎn)P1,，所以1，2ab2219y2【詳解】（a24b232a32123a32P1,與圓xy上點(diǎn)的距離的最大值為(10)2121，解得點(diǎn)M222a2，3，bx2y2．∴橢圓C的方程為143（2）證明：i.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，ll設(shè)直線：ykxm，2ykxm34kx28kmx4m120，聯(lián)立得23x4y212212Ax,y，Bx,y，則設(shè)點(diǎn)4m21234k21122xx12QAQBx,yx,yxxyy232322332112212123232232xxkxmkxm1kxxkmkxxm23121212121k24m21228km334k2232392kmkm，34k23．化簡(jiǎn)得74m30m1或mm2733ykx1或l：ykx7，因?yàn)?,1ykx則直線為：ll不過(guò)，則直線為l：，即直線l過(guò)定點(diǎn)70,73．332xtAt,3tBt,3t，ii.當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：，不妨設(shè)，244第14頁(yè)共18頁(yè)所以QAQBt,3t2t,3t2t23tt293，493744323223243439t0，直線l：x00,1，此時(shí)過(guò)點(diǎn)，不滿足題意．所以l0,73．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)l【點(diǎn)睛】（1）直線與圓錐曲線問(wèn)題，首先需討論斜率存在與否；（2）直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般設(shè)出直線，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，通過(guò)韋達(dá)定理去表述題設(shè)條件（如本題的向量數(shù)量積），即可化簡(jiǎn)尋找參數(shù)間的關(guān)系，從而得出直線過(guò)定點(diǎn)與否的結(jié)論.21．已知函數(shù)fxxlnx3x4lnx1的最小值為M．(1)求M的值；1xxgxg1x的最小值為N，證明：gxfxfgnN，且函數(shù)g(2)若，*1n1nnx2022logN2022．M2【答案】(1)M(2)證明見(jiàn)解析4ln23【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)fx的單調(diào)性，即可求得M的值；11x（2）計(jì)算可得出gx22021fxf，設(shè)函數(shù)hxfxf，其中x0，利用導(dǎo)數(shù)2022x求出函數(shù)hx的最小值，可得出N的值，進(jìn)而可求得logN的值，即可證得結(jié)論成立.2M0,，【詳解】（1）解：因?yàn)閒xxlnx3x4lnx1，該函數(shù)的定義域?yàn)?x1，其中x0，，令pxfx且fxlnxx121x40且px不恒為零，x1px則2x12xx10,上單調(diào)遞增，所以fx在又因?yàn)閒10，所以，當(dāng)x0,1時(shí)，fxf10，fx單調(diào)遞減；當(dāng)x1,時(shí)，fxf10，fx單調(diào)遞增.fxf14ln23，則fx的最小值為4ln23，則M4ln23．所以min第15頁(yè)共18頁(yè)x1x11xgxg（2）證明：xg2gxg22gxg2022202120212020202020192019x1x122020gxg2fxf．2021111xhxfxf，其中0，設(shè)函數(shù)x121ln11xx111x2flnx21hxfxx1xxx21xx1x12(x1)x11x22(x1)x12(x1)fx，22lnxlnxlnxx1x2x2x0,1時(shí)，1）可知，當(dāng)hx0，hx單調(diào)遞減；fx0，則由（x1,時(shí)，hx0，hx單調(diào)遞增fx0，則.當(dāng)hxh12f124ln23，所以min4ln23202222022，2x22021hx220224ln23，則N4ln23minmin則g2022M因此，logN2022．2M【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的最值的方法：（1）若函數(shù)fx在區(qū)間a,b上單調(diào)，則fa與fb