《推理與證明》知識點(diǎn)

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《推理與證明》歸納推理合情推理類比推理演繹推理比較法直接證明綜合法剖析法間接證明反證法數(shù)學(xué)歸納法一、推理推理：前提、結(jié)論合情推理:合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：（1）歸納推理：由某類事物的部分對象擁有某些特點(diǎn)，推出該類事物的所有對象擁有這些特點(diǎn)的推理，或者由個(gè)別事實(shí)歸納出一般結(jié)論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.（2）類比推理：由兩類對象擁有某些近似特點(diǎn)和此中一類對象擁有的某些已知特點(diǎn)，推出另一類對象也具有這些特點(diǎn)的推理，簡言之，類比推理是由特別到特別的推理.演繹推理:從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特別狀況下的結(jié)論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特別的推理。重難點(diǎn)：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進(jìn)行證明題型1用歸納推剪發(fā)現(xiàn)規(guī)律、察看：715211；5.516.5211；33193211；關(guān)于隨意正實(shí)數(shù)a,b，1.試寫出使ab211建立的一個(gè)條件能夠是____.點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特點(diǎn)特點(diǎn)是被開方數(shù)之和為22，故ab222、蜜蜂被以為是自然界中最優(yōu)秀的建筑師，單個(gè)蜂巢能夠近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.此中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)f(n1)的關(guān)系式[分析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837f(n)1612186(n1)3n23n1【名師引導(dǎo)】辦理“遞推型”問題的方法之一是找尋相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系題型2用類比推理猜想新的命題[例]已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的1，把這個(gè)結(jié)論推行到空間正四周體，近似的結(jié)論是______.3【解題思路】從方法的類比下手[分析]原問題的解法為等面積法，即

S1ah31arr1h，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，223V1Sh41Srr1h即正四周體的內(nèi)切球的半徑是高14334【名師引導(dǎo)】（1）不單要注意形式的類比，還要注意方法的類比2）類比推理常有的情況有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等二、直接證明與間接證明三種證明方法:綜合法、剖析法、反證法反證法：它是一種間接的證明方法.用這類方法證明一個(gè)命題的一般步驟：假定數(shù)題的結(jié)論不建立；依據(jù)假定進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止斷言假定不建立一定原命題的結(jié)論建立重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、分析幾何等不一樣的數(shù)學(xué)識題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法剖析問題或證明數(shù)學(xué)命題考點(diǎn)1綜合法在銳角三角形ABC中,求證:sinAsinBsinCcosAcosBcosC[分析]ABC為銳角三角形，ABAB，22ysinx在(0,)上是增函數(shù)，sinAsin(B)cosB22同理可得sinBcosC，sinCcosAsinAsinBsinCcosAcosBcosC考點(diǎn)2剖析法已知ab0,求證abab[分析]要證abab，只要證(ab)2(ab)2即ab2abab，只要證bab，即證ba明顯ba建立，所以abab建立【名師引導(dǎo)】注意剖析法的“格式”是“要證只要證”，而不是“由于所以”考點(diǎn)3反證法已知f(x)axx2(a1)，證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根x1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因波及方程的根，可從范圍方面找尋矛盾[分析]假定x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x00且x01且ax0x02x010ax010x021，解得1x02，這與x00矛盾，x012故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根【名師引導(dǎo)】否認(rèn)性命題從正面打破常常比較困難，故用反證法比許多三、數(shù)學(xué)歸納法一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題關(guān)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都建即刻,能夠用以下兩個(gè)步驟:證明當(dāng)n=n0時(shí)命題建立;(2)假定當(dāng)

n=k（??∈??，且??≥??）時(shí)命題建立+0

,證明

n=k+1時(shí)命題也建立

.在達(dá)成了這兩個(gè)步驟后

,就能夠判定數(shù)題關(guān)于不小于

n0的所有正整數(shù)都建立

.這類證明方法稱為

數(shù)學(xué)歸納法.考點(diǎn)1數(shù)學(xué)歸納法題型：對數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識[例1]已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假定

n=k（k

2且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，，則還需證明（）A.n=k+1

時(shí)命題建立

B.n=k+2

時(shí)命題建立C.n=2k+2

時(shí)命題建立

D.n=2

（k+2）時(shí)命題建立[分析]因n是正偶數(shù)，故只要證等式對所有偶數(shù)都建立，因【名師引導(dǎo)】用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意察看幾個(gè)方面：項(xiàng)的次數(shù)（或其余），確立n=k時(shí)命題的形式f(k)（3）從

k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，應(yīng)選B（1）n的范圍以及遞推的起點(diǎn)（f(k1)和f(k)的差別，找尋由

2）察看首末兩k到k+1遞推中，左側(cè)要加（乘）上的式子考點(diǎn)

2

數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用題型1：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1223n(n1)1(n1)22[分析]（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=√2，右=2，不等式建立（2）假定當(dāng)n=k時(shí)等式建立，即1223k(k1)1(k1)21(k2則1223k(k1)(k1)(k2)1)2(k1)(k2)21(k1)2(k1)(k2)(k2)2(k1)(k2)(k1)(k2)02221223k(k1)(k1)(k2)1[(k1)1]22當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也建立綜合（1）（2），等式