分層抽樣要求課件

第四章分層抽樣①分層抽樣的概念及特點②抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算③抽樣數(shù)目在各層的分配本章重點：第四章分層抽樣①分層抽樣的概念及特點本章重點：先將總體各單位劃分為若干組（層），然后從各組中按隨機原則分別抽取一定數(shù)目的單位構(gòu)成樣本，以樣本觀測結(jié)果推斷各組的數(shù)量特征和總體數(shù)量特征的一種抽樣組織形式。第一節(jié)分層抽樣概述一、概念：其隨機性體現(xiàn)在：層內(nèi)各單位有相同被抽中的機會（一般情況下），層與層之間相互獨立。（對層而言是全面調(diào)查）先將總體各單位劃分為若干組（層），然后從各組中按隨機原則不僅要求知道總體單位數(shù)N和具體名錄，而且要求掌握至少一個可用以分層的標(biāo)志的全面資料。即對于某一標(biāo)志而言?？傮wN個單位的特征都是可知的。二、特點：1．分層抽樣要求事先對總體有較多的了解。用以分層的標(biāo)志通常有兩類：①與調(diào)查標(biāo)志密切相關(guān)的標(biāo)志。②調(diào)查標(biāo)志本身的過去資料。不僅要求知道總體單位數(shù)N和具體名錄，而且要求掌握至少一個所以，分層抽樣的樣本代表性高低，取決于層內(nèi)樣本對層的代表性，與層間差異無關(guān)。因此，分層抽樣要求盡量擴大層間差異，縮小層內(nèi)差異。即盡量將層內(nèi)差異轉(zhuǎn)化為層間差異。為此，要選好分層標(biāo)志。并適當(dāng)增加分層數(shù)。

2．分層抽樣對層而言是全面調(diào)查，對層內(nèi)單位而言是非全面調(diào)查。當(dāng)總體內(nèi)部層界越明顯，越適合分層抽樣，效果也越好。此外，還可與其他抽樣組織形式（整群、等距）結(jié)合，提高抽樣效果。3．適合于調(diào)查標(biāo)志在各單位的分布差異大的總體。所以，分層抽樣的樣本代表性高低，取決于層內(nèi)樣本對層的代表(二)作用1．分層抽樣的抽樣效率較高，也就是說分層抽樣的估計精度較高。比較定額抽樣，與分層抽樣有何區(qū)別？與簡單隨機樣本比較，分層樣本在總體中的分布更為均勻，不會出現(xiàn)偏于某一部分的不平衡情況，在實際工作中受歡迎。

將相近的單位歸為一層，且每一層必有若干單位抽中，所以，避免了樣本明顯偏高或偏低情況。①分類②確定每類抽選比例③主觀抽樣(二)作用1．分層抽樣的抽樣效率較高，也就是說分層抽樣的估計有時調(diào)查的目的不僅要推算總體指標(biāo)，可能還要推算各層的指標(biāo)。2．分層抽樣不僅能對總體指標(biāo)進行推算，而且能對各層指標(biāo)進行推算。例如，一次全國性抽樣調(diào)查，若以省為層，則調(diào)查后既可得到有關(guān)全國的數(shù)據(jù)，又可得到各省的數(shù)據(jù)，這一點大受各級政府領(lǐng)導(dǎo)的歡迎，也便于部門統(tǒng)計?？墒刮覀儷@得關(guān)于總體內(nèi)部較多的信息。有時調(diào)查的目的不僅要推算總體指標(biāo)，可能還要推算各層的指標(biāo)例如，某項全國范圍的大型抽樣調(diào)查，要編制全國范圍的抽樣框往往是一件非常困難的事，但如果抽樣按行政區(qū)劃或行業(yè)分層后，可以調(diào)動各級主管部門的積極性，分頭編制抽樣框并實施抽樣的組織和調(diào)查工作。為了組織調(diào)查的方便，各層可以根據(jù)層內(nèi)的特點，分別采用不同的抽樣方法。3．層內(nèi)抽樣方法可以不同，而且便于抽樣工作的組織。例如，某項全國范圍的大型抽樣調(diào)查，要編制全國范圍的抽二、使用場合與分層原則根據(jù)分層抽樣的特點，分層除了可以提供子總體指標(biāo)和便于調(diào)查的組織實施外，通常，使用分層抽樣的主要目的是為了提高估計的精度。為充分利用分層抽樣的特點，在一項抽樣調(diào)查項目中，往往反復(fù)使用分層抽樣方法。在對層進行具體劃分時，通常考慮如下原則：通常按調(diào)查對象的不同類型進行劃分。這時，分層抽樣能夠?qū)γ恳活惖哪繕?biāo)量進行估計。1．層內(nèi)單元具有相同性質(zhì)。二、使用場合與分層原則根據(jù)分層抽樣的特點，分層除了可以提通常用于分層的指標(biāo)有行政區(qū)劃、地理位置、海拔高度、行業(yè)、經(jīng)濟發(fā)達程度、企業(yè)規(guī)模、家庭收入水平、性別等。2．使層間單元的差異盡可能大。從而達到提高抽樣估計精度的目的。3．既按類型又按層內(nèi)單元標(biāo)志值相近的原則進行多重分層，同時達到實現(xiàn)估計層值以及提高估計精度的目的。4．抽樣組織實施的方便。通常按行政管理機構(gòu)設(shè)置進行分層。通常用于分層的指標(biāo)有行政區(qū)劃、地理位置、海拔高度、行業(yè)例如，對全國范圍汽車運輸?shù)某闃诱{(diào)查，調(diào)查目的不僅要推算全國貨運汽車完成的運量，還要推算不同經(jīng)濟成分（國有、集體、個體）汽車完成的運量。為組織的方便，首先將貨運汽車總體按省分層，由各省運輸管理部門負責(zé)省內(nèi)的調(diào)查工作；各省再將省內(nèi)擁有的汽車按經(jīng)濟成分分層；為提高抽樣效率，再按噸位對汽車分層。又如，某高校對學(xué)生在宿舍使用電腦的情況進行調(diào)查，根據(jù)經(jīng)驗，本科生和研究生擁有電腦的狀況差異較大，因此，在抽樣前對學(xué)生按本科生和研究生進行分層是有必要的。例如，對全國范圍汽車運輸?shù)某闃诱{(diào)查，調(diào)查目的不僅要推算全國第二節(jié)分層抽樣的簡單估計設(shè)Xij為第i層第j個單位的標(biāo)志值（i=1，2…k，j=1，2…Ni），為層內(nèi)樣本均值，為層均值，為樣本均值，為總體均值，為層總值，為總體總值，則有：一、層和總體體參數(shù)的估計量。（即總體分為k層，第i層有Ni個單位，ΣNi=N）第二節(jié)分層抽樣的簡單估計設(shè)Xij為第i層第j個單位的標(biāo)志值分層抽樣要求課件上面六個式子中，只有和可通過樣本資料計算，其余四個都需要估計。在簡單估計下，各估計量為：上面六個式子中，只有和可通過樣本資料計算，其余四個都容易證明，是的無偏估計量。進一步可得也是的無偏估計量。（第層單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重）如果令則：容易證明，是的無偏估計量。進一步可得也是的無我們知道，純隨機抽樣的抽樣誤差，是按總體方差計算的，對于分層抽樣，由于對各層而言是全面調(diào)查，故層間不存在抽樣誤差問題。所以，其抽樣方差等于平均層內(nèi)方差。二、分層抽樣簡單估計的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤如果我們對總體方差進行分解，可得總體方差=平均層內(nèi)方差+層間方差我們知道，純隨機抽樣的抽樣誤差，是按總體方差計算的，對于其中：在不重復(fù)抽樣下，根據(jù)前一章公式可知也就是說，每一層可看作一個子總體。所以：上式在重復(fù)抽樣下，則設(shè)有（1－fi）其中：在不重復(fù)抽樣下，根據(jù)前一章公式可知也就是說，每一層可看[例3.1]調(diào)查某地區(qū)的居民奶制品年消費支出，以居民戶為抽樣單元，根據(jù)經(jīng)濟及收入水平將居民戶劃分為4層，每層按簡單隨機抽樣抽取10戶，調(diào)查獲得如下數(shù)據(jù)（單位：元），如表3.1。估計該地區(qū)居民奶制品年消費總支出及估計的標(biāo)準(zhǔn)差。表3.1樣本戶奶制品年消費支出見教材P44頁。[例3.1]調(diào)查某地區(qū)的居民奶制品年消費支出，以居民戶為抽樣？？？思考問題：如何計算與估計該地戶均奶制品消費支出？即如何計算樣本戶戶均奶制品消費支出？算法1：？？？思考問題：如何計算與估計該地戶均奶制品消費支出？即如何算法2：算法3：應(yīng)該采用哪種算法？算法2：算法3：應(yīng)該采用哪種算法？總體比例的估計總體比例Ｐ的估計為：對于一般的分層抽樣，Ｐ的方差為：對于分層隨機抽樣，Ｐ的方差為：總體比例的估計總體比例Ｐ的估計為：對于一般的分層抽樣，Ｐ的方的一個無偏估計為：【例3.2】在例3.1的調(diào)查中，同時調(diào)查了居民戶擁家庭電腦的情況，獲得如下數(shù)據(jù)（單位：臺），如表3.2。估計該地區(qū)居民擁有家庭電腦的比例及估計的標(biāo)準(zhǔn)差。見教材P４６頁。的一個無偏估計為：【例3.2】在例3.1的調(diào)查中，同時調(diào)查如果按等比例抽樣，即各層抽取的單位數(shù)占樣本n的比重等于該層單位數(shù)占總體N的比重。即：則：等比例分層抽樣如果按等比例抽樣，即各層抽取的單位數(shù)占樣本n的比這樣我們就可得出等比例分層抽樣的抽樣平均誤差公式:重復(fù)抽樣這樣我們就可得出等比例分層抽樣的抽樣平均誤差公式:重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣實際應(yīng)用中，以層內(nèi)樣本方差代替總體方差。不重復(fù)抽樣實際應(yīng)用中，以層內(nèi)樣本方差代替總體方差。分層抽樣要求課件解：本題中是等比例分配的分層抽樣。估計區(qū)間為[482±23.84]萬元解：本題中是等比例分配的分層抽樣。估計區(qū)間為[482±23.此時，各層抽樣比也相等：三、各層應(yīng)抽單位數(shù)的確定確定最簡單常用的方法，它只考慮各層單位數(shù)占總體N的比重大小這一因素。（1）比例分配法。此時，各層抽樣比也相等：三、各層應(yīng)抽單位數(shù)的確定由于沒考慮不同層有不同變異程度，而是把它們同等看待了。事實上，變異程度大的層應(yīng)多抽樣本，變異程度小的層應(yīng)少抽樣本，若某層沒有變異，只需抽？?單位就夠了。？？？比例分配法的缺陷：所以，此法不能使抽樣精度達到最高。由于沒考慮不同層有不同變異程度，而是把它們同等看待了。事此法同時考慮了各層單位數(shù)和各層標(biāo)準(zhǔn)差兩個因素。它在給定條件下，所確定的能使估計量的方差達到最小。（2）Neyman（奈曼）分配

即在約束條件建立目標(biāo)函數(shù)：下使即：此法同時考慮了各層單位數(shù)和各層標(biāo)準(zhǔn)差兩個因素。它在給定條求關(guān)于的偏導(dǎo)，并令其等于0，得：又由于：①所以：求關(guān)于的偏導(dǎo)，并令其等于0，得：按此法確定的，有最小的估計量方差為：代入①有：（請同學(xué)們自己去推導(dǎo)）按此法確定的，有最小的估計量方差為：代入①有：（請同學(xué)們?nèi)舾鲗拥臉?biāo)準(zhǔn)差相等，則有：即為比例分配。？？？最優(yōu)分配可能可能出現(xiàn)的情況嗎？若各層的標(biāo)準(zhǔn)差相等，則有：即為比例分配。？？？最優(yōu)分配可能可△某些層需要超過100%抽樣時的修正在某些特殊情形，例如某些層的方差特別大，按最優(yōu)分配方法，這些層有可能需要超過100%抽樣，即。此時的處理辦法（？）：提出你自己的思路來！對這些層進行100%抽樣，然后將剩下的待分配的樣本是再按最優(yōu)分配公式在其余層內(nèi)分配。解決思路：△某些層需要超過100%抽樣時的修正在某些特殊情形，例如按最優(yōu)分配公式，若有某層（不妨記為第1層）的最優(yōu)分配樣本量，則令實際抽樣量：步驟如下：對其余各層:(i≥2)若仍有:如:按最優(yōu)分配公式，若有某層（不妨記為第1層）的最優(yōu)分配樣本量則令:(i≥3)遇到類似情況同樣處理，直到所有分配的樣本量都不超過為止。而此時最優(yōu)分配達到的最小方差公式②需作相應(yīng)的修改，對于那些作全面調(diào)查的層，不產(chǎn)生抽樣誤應(yīng)，因此方差只來自實際抽樣的層。則令:(i≥3)遇到類似情況同樣處理，直到所有分配的樣本其中為僅對最后實際分配的層求和，為這些層中抽樣的樣本量之和。某些層需要超過100%抽樣時的修正之例：其中為僅對最后實際分配的層求和，為這些層例：某個總體分為四層，資料如下，設(shè)n=80，問如何進行各層樣本分配（奈曼分配）？層NiSiNiSini1234510200400400500102020005000200080009.4123.539.4137.65∑6151700080例：某個總體分為四層，資料如下，設(shè)n=80，問如何進行各層樣計算步驟如下：1、按正常公式計算n列于表的右列。其中1、2層均超過各自的層中所包含的單元數(shù)，必須進行修正。2、令n1=N1=5，然后將剩下待分配的樣本量n-N1=75仍按奈曼分配公式分配到2—4層，結(jié)果是：3、再令，然后將剩下65個樣本單元仍按奈曼分配公式分配到3—4層，結(jié)果是：計算步驟如下：1、按正常公式計算n列于表的右列。其中1、2層因此最終結(jié)果是：5；10；13；52此時的估計量方差達到最小值：因此最終結(jié)果是：5；10；13；52此時的估計量方差達到最小考察，、和調(diào)查費用C三個因素。即要在調(diào)查總費用既定、各層單位調(diào)查費用不同的條件下，所確定的能使估計量的方差達到最小。（三）經(jīng)濟分配法（最優(yōu)分配）其中C為總調(diào)查費用，C0為固定費用，Ci為第層的單位調(diào)查費用。也就要在約束條件：下，使最小?？疾?，、和調(diào)查費用C三個因素。即要在調(diào)查總費用既定、建立目標(biāo)函數(shù)：求偏導(dǎo)并令其為0得:又由于兩式相除若各層單位調(diào)查費用相等，則該式同與奈曼分配得:得:建立目標(biāo)函數(shù)：求偏導(dǎo)并令其為0得:又由于兩式相除若各層單位調(diào)按經(jīng)濟方法確定的估計量的方差為：若各層單位調(diào)查費用相等，則上式等同于奈曼分配。按經(jīng)濟方法確定的估計量的方差為：若各層單位調(diào)查費用相等，例：設(shè)某總體N=5000，分三層，資料如下表。n=100，問在三種分配方法下的ni以及估計量方差.結(jié)果請同學(xué)們自己計算。例：設(shè)某總體N=5000，分三層，資料如下表。n=100，問計算結(jié)果如下：計算結(jié)果如下：在等比例分配法下，各層應(yīng)抽單位數(shù)為：估計量的方差為：在等比例分配法下，各層應(yīng)抽單位數(shù)為：估計量的方差為：在奈曼分配法下，各層應(yīng)抽單位數(shù)為：同理可得：估計量方差為在奈曼分配法下，各層應(yīng)抽單位數(shù)為：同理可得：估計量在最優(yōu)分配法下，各層應(yīng)抽單位數(shù)為：同理可得：在最優(yōu)分配法下，各層應(yīng)抽單位數(shù)為：同理可得：估計量方差為：估計量方差為：①相差不大時；可見對于相同的n，在不同分配法下，有不同的ni和不同的估計量方差。但事實上，當(dāng)各層相差不大時，經(jīng)濟分配法意義不大。同時，在多數(shù)情況下，奈曼分配法也無多大“優(yōu)勢”。???②未知要用S來代替時。都難以保證奈曼分配法一定優(yōu)于比例分配法①相差不大時；可見對于相同的n，在不同分配法下，有不同樣本量的確定一、一般公式令ni=nwi,其中wi已經(jīng)選定,于是當(dāng)方差V給定時,可由以下公式:得到確定樣本量的一般公式為：樣本量的確定一、一般公式令ni=nwi,其中wi已經(jīng)選定,當(dāng)按比例分配時，實際工作中，n的計算可分兩步走,先計算:然后進行修正：當(dāng)按比例分配時，實際工作中，n的計算可分兩步走,先計算:當(dāng)按Neyman分配時當(dāng)按最優(yōu)分配(經(jīng)濟分配)時,由下式:當(dāng)按Neyman分配時當(dāng)按最優(yōu)分配(經(jīng)濟分配)時,由下式:例：某總體N=5000，分三層，資料如下：分層NiσiCi1231000270013001002125102610125265530合計5000------------要求在總體均值估計量方差不超過350的前提下，分別計算比例分配、奈曼分配、最優(yōu)（經(jīng)濟）分配下的樣本容量。例：某總體N=5000，分三層，資料如下：分層NiσiCi1根據(jù)表中資料可計算得到：根據(jù)表中資料可計算得到：分層抽樣要求課件四、分層抽樣簡單估計的效果分析一般情況下，對于相同的n，有≤≤因為：四、分層抽樣簡單估計的效果分析一般情況下，對于相同的n，有≤而：即層內(nèi)平均方差+層間方差而：即層內(nèi)平均方差+層間方差從而：顯然≥從而：顯然≥又因為：而：故：當(dāng)各層標(biāo)準(zhǔn)差相等時，等號成立。另外，一般介于與之間。又因為：而：故：當(dāng)各層標(biāo)準(zhǔn)差相等時，等號成立。分層抽樣的其他問題：一、什么時采用分層抽樣如前所述，分層抽樣的效果一般優(yōu)于純隨機抽樣，因而在實際中得到廣泛應(yīng)用。但是否任何一次抽樣都應(yīng)該采用分層抽樣呢？這就涉及到以下幾個問題：１、如果說分層抽樣的效果優(yōu)于純隨機抽樣，那么從所增加的人力財力與所提高的抽樣精度對比上看是否值得？分層抽樣的其他問題：一、什么時采用分層抽樣如前所述，分層如果分層抽樣并不需要增加什么費用，或者說所增加的費用有限，那么只要其他條件適合，就可采用分層抽樣組織形式。如果分層抽樣在方差上下降的幅度不大，那么有時從工作簡便性考慮，即使分層抽樣不會增加費用，也寧可采用純隨機抽樣。如果分層抽樣并不需要增加什么費用，或者說所增加的費用有限２、分層抽樣的效果是否一定優(yōu)于純隨抽樣？當(dāng)層間方差大，層內(nèi)方差小，即分層合理時，分層抽樣效果優(yōu)于純隨機抽樣；但如果分層標(biāo)志選擇不當(dāng)，造成分層極不合理時，可能會發(fā)生相反的情況。所以不是任何分層的分層抽樣都有好的效果。２、分層抽樣的效果是否一定優(yōu)于純隨抽樣？當(dāng)層間方差大，層３、如果不采用分層抽樣，純隨機抽樣的估計精度是否達到事先所設(shè)計的要求？這是從抽樣推斷的實際需要來考慮的。有時，分層抽樣所能提高的精度可能是很有限的，但為了達到事先設(shè)計的精度要求或盡量提高抽樣精度，哪怕是一點點，那么在樣本容量不能增加的情況下，分層抽樣是必要和值得的。３、如果不采用分層抽樣，純隨機抽樣的估計精度是否達到事先所設(shè)二、如何選擇分組標(biāo)志？為了使分層抽樣的層間方差盡量大，選擇好分層標(biāo)志是關(guān)鍵中的關(guān)鍵。如果分層標(biāo)志選擇有誤，就可能使分層抽樣的誤差比純隨機抽樣的還要大。例：男300320150160165170女315320155120某總體由６名男職工和４名女職工組成，月獎金（元）分別為:(n=5).容易計算:二、如何選擇分組標(biāo)志？為了使分層抽樣的層間方差盡量大，選1、在純隨機抽樣下估計量方差為：2、按工資高低分兩層，每次抽取50%的單位，其估計量方差為：高320320315300低165170155120150160說明分層抽樣的效果較好。1、在純隨機抽樣下估計量方差為：2、按工資高低分兩層，每次抽3、按性別分層進行分層抽樣，每層仍抽50%的單位，估計量方差為：估計量方差比純隨機抽樣的還大，這樣的分層抽樣是很不好的。分層抽樣中選擇好分組標(biāo)志的關(guān)鍵是讓調(diào)查標(biāo)志分層后的層間方差達到最大。提出以下幾點思路：3、按性別分層進行分層抽樣，每層仍抽50%的單位，估計量方差1、如果具備調(diào)查標(biāo)志的全面的過去資料，而且變化不會太大，那么以調(diào)查標(biāo)志本身的過去資料來分層是值得提倡的。例如某省以縣為單位進行糧食總產(chǎn)量分層抽樣調(diào)查，那么就可以按各縣過去的糧食總產(chǎn)量資料進行分層。2、盡量利用自然分層標(biāo)志。如居民按居住地域標(biāo)志分為城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民兩層；土地按自然耕作條件分層等。1、如果具備調(diào)查標(biāo)志的全面的過去資料，而且變化不會太大，那么3、充分利用那些能決定調(diào)查標(biāo)志數(shù)量差異的品質(zhì)標(biāo)志。例如：職業(yè)往往能決定收入高低，因此職業(yè)標(biāo)志作為居民收入抽樣調(diào)查的分層標(biāo)志是合適的。再如，居民的性別差異能決定個人消費支出結(jié)構(gòu)的差異，因此以性別標(biāo)志作為居民消費支出結(jié)構(gòu)調(diào)查的分層標(biāo)志也是合適的。優(yōu)先選擇品質(zhì)標(biāo)志的另一個理由是：其標(biāo)志表現(xiàn)較數(shù)量標(biāo)志少得多，界限也易確定。4、在多個可供選擇的數(shù)量標(biāo)志中，應(yīng)選擇那個與調(diào)查標(biāo)志相關(guān)系數(shù)之絕對值最大者。3、充分利用那些能決定調(diào)查標(biāo)志數(shù)量差異的品質(zhì)標(biāo)志。例三、分幾層分層標(biāo)志選好后的問題是，如何確定分層數(shù)。分層數(shù)的多少與分層抽樣效果有關(guān)。思考？？？：在正常情況下，層數(shù)多少與層間