時間序列分析-第四章-均值和自協(xié)方差函數(shù)的估計省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第四章均值和自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計第1頁本章結(jié)構(gòu)均值預(yù)計自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計白噪聲檢驗第2頁§4.1均值預(yù)計相合性中心極限定理收斂速度模擬計算第3頁均值、自協(xié)方差函數(shù)作用AR,MA,ARMA模型參數(shù)能夠由自協(xié)方差函數(shù)唯一確定。有了樣本之后，能夠先預(yù)計均值和自協(xié)方差函數(shù)。然后由均值和自協(xié)方差函數(shù)解出模型參數(shù)。均值和自協(xié)方差能夠用矩預(yù)計法求。還要考慮相合性，漸進分布，收斂速度等問題。第4頁均值預(yù)計公式設(shè)是平穩(wěn)列觀察。

點預(yù)計為把觀察樣本看成隨機樣本時記作大寫第5頁相合性設(shè)統(tǒng)計量是預(yù)計，在統(tǒng)計學(xué)中有以下定義1假如，則稱是無偏預(yù)計。2假如當(dāng)則稱是漸進無偏預(yù)計。3假如依概率收斂到，則稱是相合預(yù)計。4假如收斂到，則稱是強相合預(yù)計。第6頁普通情況下，無偏預(yù)計比有偏預(yù)計來得好，對于由(1.1)定義。有所以是均值無偏預(yù)計。第7頁均值預(yù)計相合性好預(yù)計量起碼應(yīng)是相合。不然，預(yù)計量不收斂到要預(yù)計參數(shù)，它無助于實際問題處理。對于平穩(wěn)序列，假如它自協(xié)方差函數(shù)

收斂到零，則：第8頁第9頁利用切比雪夫不等式得到依概率收斂到。于是是相合預(yù)計。第10頁均值預(yù)計性質(zhì)定理1.1設(shè)平穩(wěn)序列有均值和自協(xié)方差函數(shù)。則1是無偏預(yù)計。2假如則

是相合預(yù)計。3假如還是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列，則是

強相合預(yù)計。

第11頁第三條結(jié)論利用1.5遍歷定理5.1可得。

普通地，任何強相合預(yù)計一定是相合預(yù)計。

線性平穩(wěn)列均值預(yù)計是相合預(yù)計。ARMA模型均值預(yù)計是相合預(yù)計。第12頁獨立同分布樣本中心極限定理若。則能夠據(jù)此計算置信區(qū)間。(1.3)其中1.96也經(jīng)慣用2近似代替。第13頁平穩(wěn)列均值預(yù)計中心極限定理定理1.2設(shè)是獨立同分布，線性平穩(wěn)序列由(1.5)定義。其中平方可和。假如譜密度(1.6)

在連續(xù)，而且則當(dāng)時，第14頁推論當(dāng)絕對可和時，連續(xù)。推論1.3假如和成立，則當(dāng)時而且(1.7)第15頁收斂速度相合預(yù)計量漸進性質(zhì)除了是否服從中心極限定理外，還包含這個預(yù)計量收斂速度。收斂速度描述方法之一是所謂重對數(shù)律。重對數(shù)律成立時，得到收斂速度階數(shù)普通是除了個別情況，這個階數(shù)普通不能再被改進。第16頁收斂速度(2)定理1.4設(shè)是獨立同分布。線性平穩(wěn)序列由(1.5)定義。譜密度。當(dāng)以下條件之一成立時：1當(dāng)以負(fù)指數(shù)階收斂于0.2譜密度在連續(xù)。而且

對某個成立。第17頁則有重對數(shù)律(1.8)(1.9)易見重對數(shù)律滿足時

不收斂。第18頁AR(2)均值計算令

考慮AR(2)模型為模擬方便設(shè)。第19頁AR(2)均值計算(2)第20頁預(yù)計收斂性模擬為了觀察時收斂能夠模擬L個值然后觀察改變。為了研究固定N情況下精度以至于抽樣分布。能夠進行M次獨立隨機模擬，得到M個

觀察值。這種方法對于難以得到預(yù)計量理論分布情況是很有用。第21頁第22頁第23頁第24頁第25頁§4.2自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計自協(xié)方差預(yù)計公式及正定性

相合性

漸進分布模擬計算第26頁自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計公式

(2.2)樣本自相關(guān)系數(shù)(ACF)預(yù)計為(2.3)第27頁自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計公式預(yù)計普通不使用除了預(yù)計形式：(2.4)因為：

我們不對大k值計算

更主要是只有除以N預(yù)計式才是正定。第28頁樣本自協(xié)方差正定性只要觀察不全相同則正定。令記(2.5)只要不全是零則A滿秩。第29頁樣本自協(xié)方差正定性實際上，設(shè)則A矩陣左面會出現(xiàn)一個以值開始非零斜面。顯然是滿秩。故不全相同時正定。

作為主子式也是正定。第30頁

相合性定理2.1設(shè)平穩(wěn)序列樣本自協(xié)方差函數(shù)由式(2.2)或(2.4)定義。1假如當(dāng)時，則對每個確定k，

是漸進無偏預(yù)計：第31頁2假如是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列。則對每個確定k,和分別是和強相合預(yù)計：第32頁定理2.1證實下面只對由(2.2)定義樣本自協(xié)方差函數(shù)證實定理2.1。對由(2.4)定義證實是一樣。

設(shè)則是零均值平穩(wěn)序列。利用(2.7)第33頁定理2.1證實第34頁第35頁定理2.1證實第36頁第37頁只考慮線性序列。

設(shè)是4階矩有限獨立同分布

實數(shù)列平方可和。線性平穩(wěn)序列(2.8)

第38頁

有自協(xié)方差函數(shù)(2.9)

有譜密度(2.10)第39頁設(shè)自協(xié)方差函數(shù)列平方可和。設(shè)為獨立同分布。令定義正態(tài)時間序列(2.11)(2.12)第40頁樣本自協(xié)方差和自相關(guān)中心極限定理定理2.2設(shè)是獨立同分布。滿足。假如線性平穩(wěn)序列(2.8)譜密度(2.10)平方可積：第41頁則對任何正整數(shù)h，當(dāng)時，有以下結(jié)果1依分布收斂到2依分布收斂到

第42頁自相關(guān)檢驗例子例2.1(接第三章例1.1)對MA(q)序列。利用定理2.2得到，只要當(dāng)依分布收斂到分布。注意時，中應(yīng)屬于，所以令有

第43頁為期望為0，方差為正態(tài)分布。在假設(shè)是MA(q)下，對m>q有第44頁自相關(guān)檢驗例子現(xiàn)在用表示第三章例1.1中差分后化學(xué)濃度數(shù)據(jù)。在是MA(q)下。用代替真值后分別對計算出第45頁在q=0假設(shè)下，所以應(yīng)該否定q=0.第46頁自相關(guān)檢驗例子實際工作中人們還計算概率

而且把p稱為檢驗p值。顯著p值越小，數(shù)據(jù)提供否定原假設(shè)依據(jù)越充分?，F(xiàn)在在下，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。所以p值幾乎是零，因而必須拒絕是MA(0)假設(shè)。

取q=1時，所以不能拒絕

是MA(1)假設(shè)。第47頁譜密度平方可積充要條件對于實際工作者來講譜密度平方可積條件通常極難驗證。于是希望能把定理2.2中譜密度平方可積條件改加在自協(xié)方差函數(shù)收斂速度上。定理2.3對于一平穩(wěn)序列它自協(xié)方差函數(shù)平方可積充分必要條件是它譜密度平方可積。第48頁這個結(jié)論主要是利用實變函數(shù)論中Fourier級數(shù)理論。只有證實時用了周期圖(如P.67定理3.1證實，那里絕對可和)。證實略。推論2.4設(shè)是獨立同分布白噪聲

滿足假如線性平穩(wěn)序列(2.8)自協(xié)方差函數(shù)平方可和：則定理2.2中結(jié)論成立。第49頁

快速收斂條件下中心極限定理定理2.2要求白噪聲方差有4階矩。下面關(guān)于線性平穩(wěn)序列樣本自相關(guān)系數(shù)中心極限定理不要求噪聲項4階矩有限。定理2.5設(shè)是獨立同分布線性平穩(wěn)序列由(2.8)定義。假如自協(xié)方差函數(shù)

平方可和，而且對某個常數(shù)(2.13)

第50頁則對任何正數(shù)h.當(dāng)時，

依分布收斂到ARMA序列滿足(2.13).ARMA序列白噪聲列是獨立同分布序列時定理2.5結(jié)論成立。第51頁獨立同分布列中心極限定理推論2.6假如是獨立同分布白噪聲，

是樣本自相關(guān)系數(shù)，則對任何正整數(shù)h:1:

依分布收斂到多元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布這里

是單位矩陣。第52頁2：假如則

依分布收斂到第53頁推論2.6證實對白噪聲，定理2.5條件滿足。第二條滿足推論2.4條件。第54頁AR(2)模型實例首先用圖形表示N不一樣時誤差。然后重復(fù)M=1000次計算1000個標(biāo)準(zhǔn)差(稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差)。發(fā)覺N增大時標(biāo)準(zhǔn)誤差減小。誤差隨N減小速度為。根離單位圓近模型其預(yù)計標(biāo)準(zhǔn)誤差大。第55頁第56頁第57頁第58頁第59頁第60頁第61頁§4.3白噪聲檢驗白噪聲檢驗樣本自相關(guān)置信區(qū)間檢驗法第62頁白