一節(jié)創(chuàng)新示范復(fù)習(xí)課的教學(xué)體會(huì) -數(shù)學(xué)理性思維的定向與發(fā)散

一節(jié)創(chuàng)新示范復(fù)習(xí)課的教學(xué)體會(huì)——數(shù)學(xué)理性思維的定向與發(fā)散關(guān)鍵詞：創(chuàng)新、探究、體會(huì)、理性思維、定向、發(fā)散?！?004年高考考試大綱》數(shù)學(xué)科命題基本原則中指出“數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，是培養(yǎng)理性思維的重要載體。通過(guò)空間想象，直觀猜想，歸納抽象，符號(hào)表達(dá)，運(yùn)算推理，演繹推理和模式構(gòu)建等諸方面，對(duì)客觀事物中的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和判斷，形成和發(fā)展理性思維，構(gòu)成數(shù)學(xué)能力的主體?！蹦芰α⒁?，就是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問(wèn)題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，對(duì)知識(shí)的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來(lái)檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力，從而檢測(cè)出考生個(gè)體思維的廣度和深度。由于數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué)，提高學(xué)生的思維能力，是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。那么，可謂理性思維？本人認(rèn)為：理性思維就是目標(biāo)明確，有的放矢的針對(duì)性思維。當(dāng)我們分析，解決一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，為什么要這樣思考而不是那樣思考？為什么要用這種方法而不用那種方法？是按老皇歷循規(guī)蹈矩還是另辟蹊徑？這個(gè)思考，選擇的過(guò)程，就是理性思維。理性思維就是讓學(xué)生思考活動(dòng)的全程。現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間，學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程，其核心是“學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索研究，合作交流，回顧反思，歸納總結(jié)?！痹谶@一新理念下，數(shù)學(xué)教師必須要清晰地認(rèn)識(shí)到自己在課堂教學(xué)過(guò)程中所扮演的角色和所起的作用。必須以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主人，思維為主體，訓(xùn)練為主線，讓學(xué)生成為知識(shí)創(chuàng)造者和理性的追求者。而理性思維有定向性和發(fā)散性，下就我的高三一節(jié)習(xí)題復(fù)習(xí)課略談體會(huì)。例（2002年廣東，全國(guó)試題）（1）給出兩塊面積相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形面積相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明。（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小。（圖1）（圖2）分析：此題主要考查空間思維想象能力、動(dòng)手操作拼圖能力，探究能力和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，同時(shí)還要求應(yīng)用類比，遷移的思想方法，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，體現(xiàn)了當(dāng)前課堂教學(xué)——“研究性學(xué)習(xí)”的新理念。試題要求學(xué)生觀察、思考、實(shí)踐、探究，創(chuàng)作是一個(gè)“考察”和“做”的過(guò)程，以思維和活動(dòng)為主要形式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生親自動(dòng)手，親力親為，要求學(xué)生積極參與活動(dòng)。學(xué)生在涂、畫、剪拼、組合、探索、嘗試等一系列的思維活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，體驗(yàn)和感受生活，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。體現(xiàn)發(fā)展和生成的思維過(guò)程，考查動(dòng)手操作能力。上述思維過(guò)程也體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的發(fā)展性和生成性的特點(diǎn)，以及操作性檢測(cè)的特點(diǎn)，體現(xiàn)出完整的理性思維過(guò)程，要求學(xué)生科學(xué)地思考問(wèn)題，通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論，自己證明驗(yàn)證結(jié)論。猜想與證明結(jié)合，開(kāi)放與收斂相結(jié)合。試題貼近學(xué)生實(shí)際，起點(diǎn)為從小學(xué)開(kāi)始的剪紙操作，從淺表層次引導(dǎo)到理性推證。本題另一個(gè)非常獨(dú)特的特點(diǎn)是其開(kāi)放性情景設(shè)計(jì)，是在傳統(tǒng)內(nèi)容的基礎(chǔ)上推陳出新，設(shè)計(jì)出新穎別致的試題，且解法不唯一，為學(xué)生提供了展現(xiàn)創(chuàng)造能力的空間。高考應(yīng)用問(wèn)題的實(shí)踐性反映了研究性學(xué)習(xí)的特色。試題以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)實(shí)踐為基礎(chǔ)，挖掘信息資源。在用“三角形紙片”提出基本要求：用其中一塊剪拼成正三棱錐，另一塊剪拼成正三棱柱，使它們的全面積與原來(lái)的三角形面積相等。這是定向、定量的思維。在第二問(wèn)中將感性的、形象的思維上升到理性的、邏輯的思維，應(yīng)用自己在立幾中學(xué)習(xí)的基本原理進(jìn)行比較和計(jì)算。此題的考查是對(duì)數(shù)學(xué)探究教學(xué)法的一種檢驗(yàn)，且思維很具發(fā)散性和開(kāi)放性，限于篇幅，下僅提供一種基本解法。解：（1）如圖1，沿三角形三邊中點(diǎn)連線（中位線）折起，可拼得一個(gè)正三棱錐。（圖1）（圖2）如圖2，正三角形三個(gè)角上剪出相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組邊邊長(zhǎng)為正三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線折起，可得到一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成正三棱柱的上底。（2）依上剪拼的方法，有Ⅴ柱＞Ⅴ錐。推理如下：設(shè)給出正三角形紙片的邊長(zhǎng)為2，則正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其面積為，其高h(yuǎn)錐==，h柱=tan30°=。V錐-v柱=(，即Ⅴ柱＞Ⅴ錐。就此例題的啟發(fā)，下進(jìn)行理性思維發(fā)散。（課前老師和學(xué)生都準(zhǔn)備了正三角形、矩形、正方形紙片各一塊，并畫出它們的中線、對(duì)角線）。我提出問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們把各紙片沿中線、對(duì)角線分別折成30，45，60，90的二面角，然后根據(jù)分別折成的立體模型，判斷其中有多少個(gè)直角三角形的側(cè)面，并求相應(yīng)立體模型的兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)線距、線面角、體積等。同學(xué)們模仿例題，主動(dòng)地進(jìn)行了不同的演示，折迭，構(gòu)建和計(jì)算，他們都能很快地解決了上面提出的問(wèn)題，而且相互間不斷地進(jìn)行交流和積極探索，興致的課堂氣氛極濃。隨后我又提出：若將這些折起的模型進(jìn)行不同的放置，它們不是折成特殊的二面角，上面的這些問(wèn)題又如何解決？我把問(wèn)題拋給了學(xué)生，讓學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出廣闊的思維空間。同學(xué)們經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的思考，積極探討后，有位同學(xué)大膽地提出：把平面圖形折成立幾模型，由于有些角和邊長(zhǎng)不變，要解決上述問(wèn)題，必須通過(guò)某點(diǎn)作某平面的垂線，運(yùn)用三垂線定理構(gòu)建二面角的平面角，把立幾問(wèn)題化為平幾問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為用直角三角形去解決上述問(wèn)題。我問(wèn)：大家是否同意他的結(jié)論？其他同學(xué)還有補(bǔ)充嗎？……，經(jīng)過(guò)思考，同學(xué)們都表示了贊許。這個(gè)思路很好，我給予了充分的肯定，并加以表?yè)P(yáng)，以激勵(lì)同學(xué)們繼續(xù)積極大膽探索。接著又有位同學(xué)提出：在這塊三角形紙片的中位線上取中點(diǎn)連成中位線又取中點(diǎn)，如此無(wú)限地繼續(xù)下去，求這些正三角形的面積之和。這是一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和問(wèn)題。它把幾何和代數(shù)相結(jié)合，進(jìn)行了形數(shù)溝通。于是我不失時(shí)機(jī)地又給了一個(gè)熱情鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)的掌聲。好了，同學(xué)們?cè)偎伎枷?，將給出的特殊三角形紙片一般化，研究對(duì)于任意三角形的紙片能否剪拼成直三棱的問(wèn)題，是理性思維的深層次發(fā)展。這是當(dāng)年高考的附加題。我給同學(xué)們留下了懸念。其余紙片進(jìn)行空間變位模型折迭，尋求和解決線面間的位置關(guān)系。課后繼續(xù)探索研究。這節(jié)課通過(guò)對(duì)平面幾何圖形紙片的剪拼、折迭成空間立體模型，通過(guò)例題的評(píng)講后進(jìn)行模仿，把問(wèn)題拋給了學(xué)生，讓學(xué)生自己動(dòng)手，積極探索研究，充分體現(xiàn)了把解答問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出廣闊的理性思維空間，使“以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，思維訓(xùn)練為主線的研究性教學(xué)實(shí)踐和理念表現(xiàn)得淋漓盡致。本