春中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)匯總課時(shí)解直角三角形和其應(yīng)用省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第四章三角形第20課時(shí)

解直角三角形及其應(yīng)用第1頁K課前熱身1.（·沈陽市）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠B＝30°，AB＝8，則BC長是（

）A.B.4C.D.2.（·蘇州市）如圖，長4m樓梯AB傾斜角∠ABD

為60°，為了改進(jìn)樓梯安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調(diào)整后樓梯AC長為（

）A.mB.mC.（）mD.（

）mDB第2頁3.（·寧波市）如圖，一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為34°斜坡，從A滑行至B，已知這名滑雪運(yùn)動(dòng)員

高度下降了140米，則AB＝________米.

（參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）

K課前熱身250第3頁

4.（·南寧市）如圖，從甲樓底部A處測(cè)得乙樓頂部C處仰角是30°，從甲樓頂部B處測(cè)得乙樓底部D處俯角是45°，已知甲樓高AB是120m，則

乙樓高CD是________m.（結(jié)果保留根號(hào)）K課前熱身第4頁考點(diǎn)一

直角三角形邊角關(guān)系1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C對(duì)

邊分別為a，b，c，則：

(1)三邊關(guān)系：a2＋b2＝c2（勾股定理）.(2)三角關(guān)系：∠A＋∠B＋∠C＝______；

∠A＋∠B＝∠C＝______.(3)邊角關(guān)系：sinA＝

；cosA＝

；tanA＝

；sinB＝______；cosB＝______；tanB＝______.K考點(diǎn)歸納180°

90°第5頁2.解直角三角形概念：在直角三角形兩個(gè)銳角、三條邊共________元素中，已知兩個(gè)（最少一個(gè)是邊）元素，

求出其余__________過程，叫做解直角三角形.K考點(diǎn)歸納考點(diǎn)二

解直角三角形三個(gè)元素五個(gè)第6頁3.解直角三角形四種類型：K考點(diǎn)歸納考點(diǎn)二

解直角三角形第7頁4.仰角和俯角（如圖①）：在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下往上看，

______________夾角叫做仰角；從上往下看，_______________夾角叫做俯角.K考點(diǎn)歸納考點(diǎn)三

解直角三角形在實(shí)際應(yīng)用中常見相關(guān)名詞、術(shù)語視線視線和水平線和水平線第8頁5.坡度（或坡比）：我們通常把坡面____________和

____________比叫做坡度（或坡比），用i表示._______與________夾角叫做坡角，如圖②∠α為坡角.即i＝________＝________.K考點(diǎn)歸納考點(diǎn)三

解直角三角形在實(shí)際應(yīng)用中常見相關(guān)名詞、術(shù)語tanα鉛直高度h水平寬度l坡面水平面第9頁6.方位角（如圖③）：平面上，過觀察點(diǎn)O作一條水平線（向右為東向）和一條鉛直線（向上為北向），則從O

點(diǎn)出發(fā)_____________所夾小于90°角叫做方位

角.如圖，OA是表示____________方向一條射線.

其中東北方向是_______________，

東南方向是________________，

__________是北偏西45°方向，

__________是南偏西45°方向.K考點(diǎn)歸納考點(diǎn)三

解直角三角形在實(shí)際應(yīng)用中常見相關(guān)名詞、術(shù)語視線與鉛直線西南方向北偏東60°北偏東45°方向南偏東45°方向西北方向第10頁7.觀察下面三個(gè)圖.K考點(diǎn)歸納考點(diǎn)四

尤其要注意三種基本圖形圖①有結(jié)論：

圖②有結(jié)論：

圖③有結(jié)論：(1)

AB＝AD·tanβ，BE＝CE·tanα；(2)

DC＝AE＝AB－BE＝AD·tanβ－CE·tanα.第11頁【例1】（·長沙市）為加緊城鎮(zhèn)對(duì)接，建設(shè)全域漂亮

鄉(xiāng)村，某地域?qū)，B兩地間公路進(jìn)行改建.如圖，A，B兩地之間有一座山.汽車原來從A地到B地需途經(jīng)C地

沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB

行駛.已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°.(1)開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？(2)開通隧道后，汽車從A地到B地大約能夠少走多少

千米？（結(jié)果準(zhǔn)確到0.1千米）

（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）J精講例題第12頁J精講例題評(píng)析：本題經(jīng)過結(jié)構(gòu)直角三角形并解直角三角形即可求，過頂點(diǎn)作高是結(jié)構(gòu)直角三角形慣用方法.（1）過點(diǎn)C作AB垂線CD，垂足為D，在Rt△BCD中，解直角三角形求出CD；在Rt△ACD中，解直角三角形求出AC，進(jìn)而解答即可；（2）在Rt△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，進(jìn)而求出汽車從A地到B地比原來少走旅程.解：(1)如圖，過點(diǎn)C作AB垂線CD，垂足為D.∵AB⊥CD，sin30°＝

，BC＝80千米，在Rt△BCD中，CD＝BC·sin30°＝80×＝40（千米）.在Rt△ACD中，

AC＝（千米）.∴AC＋BC＝80＋

≈80＋40×1.41＝136.4（千米）.答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米.第13頁J精講例題(2)∵cos30°＝

，BC＝80千米，∴BD＝BC·cos30°＝80×＝40（千米）.∵tan45°＝

，CD＝40千米，∴AD＝＝40（千米）.∴AB＝AD＋BD＝40＋

≈40＋40×1.73＝109.2（千米）.∴汽車從A地到B地比原來少走了AC＋BC－AB＝136.4－109.2＝27.2（千米）.答：開通隧道后，汽車從A地到B地大約能夠少走27.2千米.第14頁評(píng)析：本題考查解直角三角形應(yīng)用——方向角問題.過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C.由題意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120海里，在Rt△APC中，求得PC，AC長；在Rt△BPC中，求得BP，BC長，即可得BA長.【例2】（·天津市）如圖，一艘海輪位于燈塔P北

偏東64°方向，距離燈塔120海里A處，它沿正南方向

航行一段時(shí)間后，抵達(dá)位于燈塔P

南偏東45°方向上B處，求BP和BA

長（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，

取1.414）J精講例題第15頁J精講例題解：過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C.由題意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120海里.在Rt△APC中，sinA＝

，cosA＝，∴PC＝PA·sinA＝120×sin64°，AC＝PA·cosA＝120×cos64°.在Rt△BPC中，sinB＝

，tanB＝

，∴BP＝≈153