湖南省株洲市高三下學期教學質量統(tǒng)一檢測（二）數(shù)學試卷

湖南省株洲市2021屆高三下學期數(shù)學教學質量統(tǒng)一檢測試卷（二）一、單選題（共8題；共40分）1.已知集合A={x||x|≤2,x∈N}，集合B={x|x2+x-A.

{2}

B.

{-3,2}

C.

{-3,1}

D.

2.已知向量a，b滿足|a|=1，b=(-2,1)，且|a-b|=2A.

1

B.

0

C.

1

D.

2年11月23日，中共中央政治局審議通過《關于打贏脫貧攻堅戰(zhàn)的決定》，在脫貧攻堅戰(zhàn)的過程中，某單位從7名申請人中挑選5名工作人員到甲?乙兩個貧困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，則不同的安排方法共有（

）A.

270種

B.

240種

C.

210種

D.

180種4.在△ABC中，內角A?B?C所對的邊分別為a?b?c，若23acosC-3bA.

π6

B.

π4

C.

π3

D.

2π5.如圖為學生做手工時畫的橢圓C1、C2、C3(其中網格是由邊長為1的正方形組成)，它們的離心率分別為A.

e1=e2<e3

B.

e2=6.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內一工廠產生的廢氣進行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(mg/L)與時間t(h)的關系為P=P0e-kt.如果在前5個小時消除了A.

7小時

B.

10小時

C.

15小時

D.

18小時7.若函數(shù)f(x)=(emx-n)A.

m>0,0<n<1

B.

m>0,n>1

C.

m<0,0<n<1

D.

m<0,n>18.高鐵是當代中國重要的一類交通基礎設施，乘坐高鐵已經成為人們喜愛的一種出行方式，已知某市市郊乘車前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區(qū)，路程較短但交通擁擠，所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布N(50,100)；路線②走環(huán)城公路，路程長，但意外阻塞較少，所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布N(60,16)，若住同一地方的甲、乙兩人分別有70分鐘與64分鐘可用，要使兩人按時到達車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別是（

）A.

①、②

B.

②、①

C.

①、①

D.

②、②二、多選題（共4題；共20分）9.從甲袋中摸出一個紅球的概率是13，從乙袋中摸出一個紅球的概率是12，從兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（

A.

2個球都是紅球的概率為16

B.

2個球中恰有1個紅球的概率為12

C.

至少有1個紅球的概率為56

D.

2個球不都是紅球的概率為10.若正實數(shù)a，b滿足a>b且lna?lnb>0A.

loga2>logb2

B.

a?lna>b?11.已知點P(5π48,12)、Q(π6,32)、R(π4,1)、A.

2

B.

4

C.

8

D.

1212.如圖所示，在正方體AC1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是側面BCC1B1，(包含邊界)內的動點，且A1A.

A1F與BE是異面直線

B.

A1F不可能與D1E平行

C.

DF不可能與平面AD1E垂直三、填空題（共4題；共20分）13.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex，則f(x)在點14.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若數(shù)列{10n-an}15.已知A，B(不與原點O重合)分別為直線x+y=0與x-y=0上的兩點，C(0,2)，M為動點，且|OA|=|OB|,|CM|=1，記三角形△AOM,△BOM的面積分別為S16.粽子古稱“角黍”，是中國傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米等食材蒸制而成，因各地風俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形狀可以看成所有棱長均為4cm的正四棱錐，則這個粽子的表面積為________cm2.四、解答題（共6題；共70分）17.如圖所示，在四邊形ABCD中，tan∠（1）求∠DAC的大?。唬?）若DC=2，求△ADC周長的最大值18.已知復數(shù)Zn=an+bni(an,bn∈R)，滿足（1）求|Z2|（2）求Z10019.如圖①，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC，四邊形ABEF是正方形：現(xiàn)將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥（1）證明：直線DC與直線E1M（2）求直線BM與平面CE1M20.已知點A(x1,y1)?D(x2,y2)(其中x1<x2)（1）當點B的坐標為(2,0)，且a=6時，求直線AD的方程；（2）記△OAD的面積為S1，梯形ABCD的面積為S2，求證：21.某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習慣，很快找到寶寶想聽的內容.同時提供快樂兒歌、國學經典、啟蒙英語等早期教育內容，且云端內容可以持續(xù)更新.萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務廣大家長，該公司研究部門從流水線上隨機抽取100件萌寵機器人（以下簡稱產品），統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產品的性能指數(shù)在[50,70)的適合托班幼兒使用（簡稱A類產品），在[70,90)的適合小班和中班幼兒使用（簡稱B類產品），在[90,110]的適合大班幼兒使用（簡稱C類產品），A，B，C，三類產品的銷售利潤分別為每件，，（單位：元）.以這100件產品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1,υ1),(u（1）求每件產品的平均銷售利潤；（2）該公司為了解年營銷費用x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用xi，和年銷售量yi(i=1,2,3,4,5)數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖i=1i=1i=1i=1表中ui=lnxi，υ根據(jù)散點圖判斷，y=a?xb可以作為年銷售量y（萬件）關于年營銷費用（i）建立y關于x的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產品一年的收益達到最大？（收益=銷售利潤營銷費用，取e4.159=6422.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2（1）討論f(x)的單調性；（2）若f(x)有兩個極值點x1,x2，且x1答案解析部分湖南省株洲市2021屆高三下學期數(shù)學教學質量統(tǒng)一檢測試卷（二）一、單選題（共8題；共40分）1.已知集合A={x||x|≤2,x∈N}，集合B={x|x2+x-A.

{2}

B.

{-3,2}

C.

{-3,1}

D.

【答案】A【考點】交集及其運算【解析】【解答】集合A={x||x|≤2,x∈N}={0,1,2}，集合所以A∩故答案為：A.

【分析】可求出集合A，B，然后進行交集的運算即可．2.已知向量a，b滿足|a|=1，b=(-2,1)，且|a-b|=2A.

1

B.

0

C.

1

D.

2【答案】C【考點】向量的模，平面向量數(shù)量積的運算【解析】【解答】因為b=(-2,1)，所以|將|a-b|=2兩邊同時平方可得：即a2+b2所以1+5-2a?b=4故答案為：C

【分析】通過向量的模的運算法則，轉化求解向量的數(shù)量積即可．年11月23日，中共中央政治局審議通過《關于打贏脫貧攻堅戰(zhàn)的決定》，在脫貧攻堅戰(zhàn)的過程中，某單位從7名申請人中挑選5名工作人員到甲?乙兩個貧困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，則不同的安排方法共有（

）A.

270種

B.

240種

C.

210種

D.

180種【答案】C【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題【解析】【解答】甲村安排2名，乙村安排3名，則不同的安排方法共有C故答案為：C

【分析】根據(jù)組合和分步計數(shù)原理可得答案。4.在△ABC中，內角A?B?C所對的邊分別為a?b?c，若23acosC-3bA.

π6

B.

π4

C.

π3

D.

2π【答案】A【考點】兩角和與差的正弦公式【解析】【解答】因為23acos所以23sin所以23sin因為A,C∈(0,π)所以sinA≠0,cos所以C=故答案為：A

【分析】利用兩角和的正弦公式可得答案。5.如圖為學生做手工時畫的橢圓C1、C2、C3(其中網格是由邊長為1的正方形組成)，它們的離心率分別為A.

e1=e2<e3

B.

e2=【答案】D【考點】橢圓的簡單性質【解析】【解答】由圖知橢圓C1的半長軸和半短軸分別為：a=2,b=1.5

，橢圓C2的半長軸和半短軸分別為：a=4,b=2橢圓C3的半長軸和半短軸分別為：a=6,b=3所以e1=e2=

e3=所以e2=故答案為：D

【分析】由圖形可知，橢圓C1、C2、C3的長半軸長，短半軸長，分別計算離心率，即可求得結論．6.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內一工廠產生的廢氣進行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(mg/L)與時間t(h)的關系為P=P0e-kt.如果在前5個小時消除了A.

7小時

B.

10小時

C.

15小時

D.

18小時【答案】B【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【解析】【解答】因為前5個小時消除了10%的污染物，所以P=(1-0.1)解得k=-ln所以P=P0設污染物減少19%所用的時間為t，則(1-0.19)所以t5=2解得t=10，故答案為：B

【分析】由已知t=5h時，P=（110%）P0=90%P0，從而求出k的值，根據(jù)題意污染物減少19%即(1-0.19)P0=0.81P7.若函數(shù)f(x)=(emx-n)A.

m>0,0<n<1

B.

m>0,n>1

C.

m<0,0<n<1

D.

m<0,n>1【答案】B【考點】函數(shù)的圖象【解析】【解答】令f(x)=0得emx=n，即mx=ln解得x=1m由圖象知x=1m當m>0時，n>1，當m<0時，0<n<1，故排除AD，當m<0時，易知y=emx當x→+∞時，y→0，故答案為：B

【分析】通過函數(shù)值為0，求出x的表達式，判斷m，n的范圍，排除選項AD，通過m<0，利用函數(shù)的單調性，結合x與y的關系，判斷排除選項C，即可．8.高鐵是當代中國重要的一類交通基礎設施，乘坐高鐵已經成為人們喜愛的一種出行方式，已知某市市郊乘車前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區(qū)，路程較短但交通擁擠，所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布N(50,100)；路線②走環(huán)城公路，路程長，但意外阻塞較少，所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布N(60,16)，若住同一地方的甲、乙兩人分別有70分鐘與64分鐘可用，要使兩人按時到達車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別是（

）A.

①、②

B.

②、①

C.

①、①

D.

②、②【答案】B【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【解析】【解答】對于甲，若有70分鐘可走，走第一條線路趕到的概率為P(X≤70)=Φ(70走第二條線路趕到的概率為P(X≤70)=Φ(∵Φ(2)<Φ(2.5)，所以甲應走線路②對于乙，若有64分鐘可走，走第一條線路的概率為P(X≤64)=Φ(走第二條線路趕到的概率為P(X≤64)=Φ(∵Φ(1.4)>Φ(1)，所以乙應走線路故答案為：B.

【分析】分別比較甲、乙走路線①，②的概率大小，由此可得出結論。二、多選題（共4題；共20分）9.從甲袋中摸出一個紅球的概率是13，從乙袋中摸出一個紅球的概率是12，從兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（

A.

2個球都是紅球的概率為16

B.

2個球中恰有1個紅球的概率為12

C.

至少有1個紅球的概率為56

D.

2個球不都是紅球的概率為【答案】A,B【考點】相互獨立事件的概率乘法公式【解析】【解答】對于A選項，2個球都是紅球的概率為13×12=對于B選項，2個球中恰有1個紅球的概率為13×(1-對于C選項，至少有1個紅球的概率為1-(1-1對于D選項，2個球不都是紅球的概率為1-13×1故答案為：AB.

【分析】設從甲袋中摸出一個紅球為事件A，從乙袋中摸出一個紅球為事件分別根據(jù)概率公式計算即可．10.若正實數(shù)a，b滿足a>b且lna?lnb>0A.

loga2>logb2

B.

a?lna>b?【答案】C,D【考點】指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點，對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點【解析】【解答】由lna?lnb>0有0<b<a<1或對于A，當0<b<a<1或a>b>1都有l(wèi)oga2<logb對于B，比如當a=12,b=1故a?lna>b?對于C，因為ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0，所以ab+1>a+b對于D，因為lna?lnb>0，所以log故答案為：CD．

【分析】判斷a，b的大小，利用特殊值判斷選項即可．11.已知點P(5π48,12)、Q(π6,32)、R(π4,1)、A.

2

B.

4

C.

8

D.

12【答案】B,C【考點】正弦函數(shù)的圖象【解析】【解答】對于A選項，當ω=2時，f(x)=sin2xf(5π48)=sin5π24≠12，f(π此時，Q、R、S三點在函數(shù)f(x)的圖象上，A選項不合乎題意；對于B選項，當ω=4時，f(x)=sin4xf(5π48)=sin5π12≠12，f(π此時，Q、S兩點在函數(shù)f(x)的圖象上，B選項合乎題意；對于C選項，當ω=8時，f(x)=sin8xf(5π48)=sin5π6=12，f(π此時，P、S兩點在函數(shù)f(x)的圖象上，C選項合乎題意；對于D選項，當ω=12時，f(x)=sin12xf(5π48)=sin5π4≠12，f(π此時，S點在函數(shù)f(x)的圖象上，D選項不合乎題意.故答案為：BC.

【分析】由條件利用正弦函數(shù)的圖象特征，分類討論，求得每種情況下正數(shù)ω的最小值，從而得出結論．12.如圖所示，在正方體AC1中，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是側面BCC1B1，(包含邊界)內的動點，且A1A.

A1F與BE是異面直線

B.

A1F不可能與D1E平行

C.

DF不可能與平面AD1E垂直【答案】A,C,D【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線的判定，空間中直線與直線之間的位置關系【解析】【解答】取BB1，B1C1的中點N，則A1N又A1N?面A1MN，MN?面A1MN，A1N∩MN=N，D1E?面AD1E又A1F//平面D1AE，A1F?平面對于A：因為MN//BC1，所以點F一定不在BC1上，所以A對于B：當點F與點N重合時，A1F//D對于C：因為點F的軌跡是線段MN，又正方體中DB1⊥面AD1E，若DF則DB1//DF，這顯然不可能，所以DF不可能與平面A對于D：因為MN//AD1，AD1?面ABD1，MN?面AB所以點F到面ABD1的距離是定值，所以三棱錐F-AB故答案為：ACD．

【分析】取BB1，B1C1的中點N，M，連接A1M,A1N,MN，BC1，對于A：因為MN//BC1，所以點F一定不在對于C：因為點F的軌跡是線段MN，又正方體中DB1⊥面AD1E，若DF則DB1//DF，這顯然不可能，所以DF不可能與平面AD1E垂直；對于D：因為MN//AD1，AD1?面ABD1，MN?面ABD1三、填空題（共4題；共20分）13.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex，則f(x)在點【答案】exye=0【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】【解答】因為f'(x)=xex，所以f'(1)=e，所以f(x)在點(1,0)處的切線方程為y-故答案為：exye=0

【分析】求導得f'(x)=xex，即可得出f(x)在點14.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若數(shù)列{10n-an}【答案】an=-【考點】等比數(shù)列的通項公式【解析】【解答】取an=-10n，則an+1a所以，數(shù)列{10n-an}故答案為：an=-

【分析】直接利用等比數(shù)列的通項公式求出首項和公差，進一步確定數(shù)列的通項公式.15.已知A，B(不與原點O重合)分別為直線x+y=0與x-y=0上的兩點，C(0,2)，M為動點，且|OA|=|OB|,|CM|=1，記三角形△AOM,△BOM的面積分別為S【答案】[2【考點】兩角和與差的正弦公式【解析】【解答】依題意得點M在以C為圓心半徑為1的圓上，如圖所示：依題意得S1=12|OA|?|OM|sin所以λ=S1當直線OM與圓C相切時，sin∠COM=|CM||OC|=12所以∠AOM=45°+30°=75°此時λ或∠AOM=45°-30°此時λ所以λ故答案為：[2

【分析】依題意得點M在以C為圓心半徑為1的圓上，依題意得S1=12|OA|?|OM|sin∠AOM，S2=12|OB|?|OM|sin∠BOM，16.粽子古稱“角黍”，是中國傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米等食材蒸制而成，因各地風俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形狀可以看成所有棱長均為4cm的正四棱錐，則這個粽子的表面積為________cm2.【答案】16+163；【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】正四棱錐的表面積為S=4×12如下圖所示：

設正四棱錐P-ABCD底面ABCD的中心為點E，則PE⊥底面ABCDAE=12AC=22AB=2VP-設正四棱錐P-ABCD的內切球球心為O，球O的半徑為r由V=13所以，r=3VP-ABCD故答案為：16+163；3

【分析】由三角形面積公式求出側面積，再由正方形面積公式求得底面積，則表面積可求；求出正四棱錐的高，再由等體積法求內切球的半徑，作比得答案．四、解答題（共6題；共70分）17.如圖所示，在四邊形ABCD中，tan∠（1）求∠DAC的大??；（2）若DC=2，求△ADC周長的最大值【答案】（1）解：因為∠DAC=∠BAD-∠BAC，且所以tan∠DAC==tan∠=-3因為∠DAC∈所以∠DAC=π

（2）解：由正弦定理得DCsin∠DAC所以AD=43所以△ADC的周長為2+AD+AC=2+4=2+43=2+43=2+4sin(因為0<∠ACD<所以π6<所以12<所以△ADC的周長的最大值為2+4【考點】兩角和與差的正切公式，正弦定理【解析】【分析】（1）利用兩角和差的正切公式即可求出∠DAC

的大小；

（2）由正弦定理可得AD=433sin∠ACD,AC=2+AD+AC=2+433(sin∠ACD+sin∠ADC)=2+4sin(∠ACD+π6)

，

18.已知復數(shù)Zn=an+bni(an,bn∈R)，滿足（1）求|Z2|（2）求Z100【答案】（1）解：由題意知，Z2=a2|Z2

（2）解：a1=1,a2∵Zn=a又Zn+1=an+1則{an}是以1為首項，1∵b1=0,b故Z100=100+2i【考點】復數(shù)求?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由題意知，

Z2=a2+b2i

，

Z1=1,Z2=Z1+1+2i=2+2i，再根據(jù)模長公式得出|Z2|

的值；

（2）由Zn=an-b19.如圖①，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC，四邊形ABEF是正方形：現(xiàn)將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥（1）證明：直線DC與直線E1M（2）求直線BM與平面CE1M【答案】（1）證明：建立如圖所示空間直角坐標系：設AD=1，則D(2,1,0),C(2,0,0),E1所以DM=(-所以DM=12CE1因為DM,CE1所以DM//CE1所以C,D,M,E1在直角梯形ABCD中，因為AD//BC，設CD∩AB=P則P∈CD,P所以P∈平面CDME1，P∈又因為平面CDME1∩平面所以P∈M所以直線DC與直線E1M

（2）解：由（1）知BM=(1,1,22設平面CE1M的一個法向量為則{n?CE1=0令x=1，得n=(1,0,2設直線BM與平面CE1M所成的角為所以sinθ=|cos故直線BM與平面CE1M【考點】用空間向量求直線與平面的夾角【解析】【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標系，設AD=1，求出D，C，E1，M的坐標，

得出DM=12CE1

，則

DM//CE1

，所以

C,D,M,E1

四點共面，再由平面

CDME1

∩

平面

BAME1=ME1，可得直線DC與直線

E20.已知點A(x1,y1)?D(x2,y2)(其中x1<x2)（1）當點B的坐標為(2,0)，且a=6時，求直線AD的方程；（2）記△OAD的面積為S1，梯形ABCD的面積為S2，求證：【答案】（1）解：由題知點B的坐標為(2,0)，因為|BC|=6，所以點C(8,0)，故點A(2,y1)，因為點A，點D在曲線上，滿足曲線方程，故y1=8×2=4故點A(2,4)，D(8,8)，所以直線AD的方程為y-4=

（2）解：設直線AD方程為y=kx+m，聯(lián)立{y2因為直線與曲線相交于兩點，所以Δ=(2km-根據(jù)韋達定理有{x1所以|AD|=1+k原點O到直線AD的距離d=|m|1+所以S1=S2=故S1S由題知y1y又因為x1<x2代入曲線方程有y1<所以m>0，所以0<km<2，故S1S【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）由B的坐標，可得A的坐標，又|BC|=6

，可得D的坐標D(8,8)

，運用直線的斜率公式，即可得到所求直線方程；

（2）設直線AD的方程為y=kx+m．M（0，m），運用三角形的面積公式可得S1=12|AD|?d=a2|m|21.某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習慣，很快找到寶寶想聽的內容.同時提供快樂兒歌、國學經典、啟蒙英語等早期教育內容，且云端內容可以持續(xù)更新.萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務廣大家長，該公司研究部門從流水線上隨機抽取100件萌寵機器人（以下簡稱產品），統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產品的性能指數(shù)在[50,70)的適合托班幼兒使用（簡稱A類產品），在[70,90)的適合小班和中班幼兒使用（簡稱B類產品），在[90,110]的適合大班幼兒使用（簡稱C類產品），A，B，C，三類產品的銷售利潤分別為每件，，（單位：元）.以這100件產品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1,υ1),(u（1）求每件產品的平均銷售利潤；（2）該公司為了解年營銷費用x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷費用xi，和年銷