數(shù)學(xué)人教A版必修4導(dǎo)學(xué)案1.1.2弧度制

1.1.2弧度制1.了解弧度制，明確1弧度的含義.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.掌握弧度數(shù)的計(jì)算公式及其應(yīng)用.(1)定義：以為單位度量角的單位制叫做弧度制.(2)度量方法：長度等于________的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.如圖所示，圓O的半徑為r，的長等于r，∠AOB就是1弧度的角.一定大小的圓心角α的弧度數(shù)是所對弧長與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無關(guān).(3)記法：弧度單位用符號表示，，單位通常省略不寫.【做一做1】下列表述中正確的是()，它是角的一種度量單位一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)數(shù)，零角的弧度數(shù)是.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝.(1)弧長公式：l＝|α|r.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.【做一做2】已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長是40cm(1)角度轉(zhuǎn)化為弧度：360°＝rad,180°＝rad，1°＝rad≈45rad.(2)弧度轉(zhuǎn)化為角度：2πrad＝，πrad＝，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1())°≈57.30°＝57°18′.(3)特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)對應(yīng)表：角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0eq\f(π,12)____________eq\f(5π,12)________________角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度____eq\f(7π,6)eq\f(5π,4)eq\f(4π,3)eq\f(3π,2)eq\f(5π,3)eq\f(7π,4)eq\f(11π,6)____(4)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng).【做一做3－1】把50°化為弧度為() B.eq\f(5,18)π C.eq\f(18,5π) D.eq\f(9000,π)【做一做3－2】把eq\f(2,5)πrad化為度為()A.52° B.36° C.72° D.90°答案：1．(1)弧度(2)半徑長(3)rad【做一做1】D2．正負(fù)0eq\f(l,r)【做一做2】43．(1)2ππeq\f(π,180)(2)360°180°eq\f(180,π)(3)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π2π(4)一一對應(yīng)實(shí)數(shù)角【做一做3－1】B【做一做3－2】C剖析：(1)象限角的表示：角α終邊所在象限集合第一象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<α<2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))第二象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z))第三象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))第四象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(3,2)π<α<2kπ＋2π，k∈Z))(2)軸線角的表示：角α終邊所在的坐標(biāo)軸集合x軸非負(fù)半軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ，k∈Z))x軸非正半軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋π，k∈Z))x軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ，k∈Z))y軸非負(fù)半軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))y軸非正半軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z))y軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))坐標(biāo)軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(k,2)π，k∈Z))剖析：主要從定義、意義、換算、寫法等方面考慮.(1)從定義上：弧度制是以“弧度”為單位度量角的單位制，角度制是以“度”為單位度量角的單位制.因此弧度制和角度制一樣，都是度量角的方法.(2)從意義上：1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角(或該弧)的大小，而1°是圓的周長的eq\f(1,360)所對的圓心角(或該弧)的大??；任意圓心角α的弧度數(shù)的絕對值|α|＝eq\f(l,r)，其中l(wèi)是以角α作為圓心角時(shí)所對的圓弧長，r為圓的半徑.(3)從換算上：1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，1°＝eq\f(π,180)rad.(4)從寫法上：用弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫，這時(shí)弧度數(shù)在形式上雖是一個(gè)不名數(shù)，但我們應(yīng)當(dāng)把它理解為名數(shù)；如果以度“°”為單位表示角時(shí)，度“°”就不能省去.題型一角度與弧度的互化【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度.(1)310°；(2)eq\f(5π,12)rad.分析：利用下列公式換算：1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.反思：n°＝eq\f(nπ,180)rad，xrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)x))°.題型二比較大小【例2】利用計(jì)算器比較sin1和sin1°的大小.反思：比較sinα與sinβ，cosα與cosβ，tanα與tanβ的大小時(shí)，通常使用計(jì)算器來完成，要注意α與β的單位.題型三扇形的弧長和面積公式【例3】已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？分析：設(shè)出扇形的半徑r，弧長l，面積S，列出S關(guān)于r的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值.反思：(1)在弧度制下的弧長公式、扇形的面積公式簡潔明了，靈活應(yīng)用這些公式列方程組求解是解決這類問題的關(guān)鍵；(2)在研究實(shí)際問題中的最值問題時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，這是經(jīng)常用到的思想方法.題型四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)混淆了用弧度制和角度制表示的角【例4】α＝π，β＝π°，則有()A.α＝β B.α＞βC.α＜β D.α與β的大小不確定錯(cuò)解：由于π＝π，則α＝β，故選A.錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中混淆了π與π°的區(qū)別，π的單位是弧度，而π°的單位是度.反思：角度制下的單位不能省略，而弧度制下的單位通常省略不寫，因此要注意區(qū)分弧度制和角度制表示的角.答案：【例1】解：(1)310°＝eq\f(π,180)rad×310＝eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°＝75°.【例2】解：由計(jì)算器eq\x(MODE)eq\x(MODE)2eq\x(sin)1eq\x(＝)470984.eq\x(MODE)eq\x(MODE)1eq\x(sin)1eq\x(。，，，)eq\x(＝)452406.∴sin1＞sin1°.【例3】解：設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為rcm，弧長為lcm，面積為Scm2，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴當(dāng)r＝10時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100cm2，這時(shí)θ＝eq\f(l,r)＝2.【例4】B正解：α＝π＝180°，因?yàn)?80°＞π°，所以α＞β.1．下列各式正確的是()A.＝90 B.＝10° C.3°＝ D.38°＝2．下列各式正確的是()3.7°＜cos3.8° ＞sin2.7°46°＞tan44 ＜tan3．把－900°化為弧度為________.4．若扇形的周長是16cm，圓心角是2rad，則扇形的面積是5．如圖所示，扇形AOB的面積是4cm2，它的周長是10cm答案：1．B2．C借助于計(jì)算器有：cos3.7°≈9＞cos3.8°≈8，所以A項(xiàng)不正確；sin≈8＜sin2.7°≈1，所以B項(xiàng)不正確；tan