高中數(shù)學人教A版選擇性課件第一章空間向量與立體幾何章末整合

章末整合第一章2021內(nèi)容索引0102知識網(wǎng)絡整合構建題型突破深化提升知識網(wǎng)絡整合構建題型突破深化提升專題一應用空間向量證明位置關系例1如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.證明

(1)如圖所示,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Axyz.設PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分別為AB,PC的中點,方法技巧

利用空間向量證明平行、垂直關系的方法(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可.(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩個不共線向量來線性表示直線的方向向量.(3)證明面面平行的方法:①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量);②轉化為線面平行、線線平行問題.(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個平面的法向量互相垂直;②轉化為線面垂直、線線垂直問題.變式訓練1如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有側棱長及底面邊長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.(方法3)如圖,取BC,B1C1的中點O,O1,連接AO,OO1.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都為中點,所以OB⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.如圖所示,建立空間直角坐標系Oxyz,則B(1,0,0),D(-1,1,0),專題二應用空間向量求空間距離例2如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;(2)求點C到平面AEC1F的距離.解

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設F(0,0,z).由題意得AEC1F為平行四邊形,方法技巧

向量法求點面距離的步驟

變式訓練2在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CC1的中點.(1)求證:AD∥平面A1EFD1;(2)求直線AD與平面A1EFD1的距離.(1)證明

如圖,以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),所以所以DA∥D1A1.又D1A1?平面A1EFD1,DA?平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1.專題三應用空間向量求空間角例3如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM所成的角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD夾角的余弦值.解

以A為原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).方法技巧

向量法求線面角、兩平面夾角的方法(1)利用空間向量求直線與平面所成的角的兩種方法:①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量,將問題轉化為求兩個方向向量的夾角或其補角;②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,則其余角就是斜線和平面所成的角.(2)利用空間向量求兩平面夾角的兩種方法:①利用定義,分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小,再由此得兩平面的夾角;②通過平面的法向量來求:設二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2,則兩平面夾角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>),注意取銳角或直角.變式訓練3在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中點.(1)求異面直線AE與CP所成角的余弦值;(2)若點F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求點F的坐標;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.解

(1)如圖所示建立空間直角坐標系Dxyz.由題意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E為PB的中點,∴E(1,1,1),專題四空間中的折疊與探究性問題例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點.(1)求證:A1B∥平面ADC1.(2)求平面ADC1與平面ABC夾角的余弦值.(3)線段A1B1上是否存在點E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定點E的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明

連接A1C,交AC1于點O,連接OD,如圖.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點.又D為BC的中點,所以OD為△A1BC的中位線,所以A1B∥OD.因為OD?平面ADC1,A1B?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解

由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1兩兩垂直,以B為原點,分別以BC,BA,BB1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz.(3)解

存在.假設存在滿足條件的點E.因為點E在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),方法技巧

解決存在性問題的基本策略假設題中的數(shù)學對象存在(或結論成立),然后在這個前提下進行邏輯推理,若能推導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實,說明假設成立,即存在,并可進一步證明;若推導出與條件或實際情況相矛盾的結論,則說明假設不成立,即不存在.變式訓練4如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求證:PD⊥PB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求

的值;若不存在,說明理由.(1)證明

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴PD⊥AB.又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)解

如圖,取AD中點為O,連接CO,PO.∵CD=AC=,∴CO⊥AD.∵PA=PD,∴PO⊥AD.以O為坐標原點,OC,OA,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),例5(2020陜西漢中高二檢測)如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2,E,F分別是CD的兩個三等分點,若把等腰梯形沿虛線AF,BE折起,使得點C和點D重合,記為點P,如圖②.(1)求證:平面PEF⊥平面ABEF;(2)求平面PAE與平面PAB夾角的余弦值.(1)證明

∵四邊形ABCD為等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2,E,F是CD的兩個三等分點,∴四邊形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,∴BE⊥平面PEF.又BE?平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF.(2)解

過點P作PO⊥EF于點O,過點O作BE的平行線交AB于點G,則PO⊥平面ABEF,以O為坐標原點,以OG,OE,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.方法技巧

解決與折疊有關問題的方法解決與折疊有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,折線同一側的,線段的長度是不變量,而位置關系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.變式訓練5如圖所示,平面多邊形ABCDE中,AE=ED,AB=BD,AB=,AD=2,AE=,CD=1,AD⊥CD,現(xiàn)沿直線AD,將△ADE折起,得到四棱錐P-ABCD.(1)求證:PB⊥AD;(2)若PB=,求PD與平面PAB所成角的正弦值.(1)證明

取AD的中點O,連接OB,O